古代数学中的一元一次方程

吴强

方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》. 《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作. 书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章.

1. 鸡兔同笼问题

鸡兔同笼是中国古代的数学名题之一. 大约在1 500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题. 书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚. 问笼中各有几只鸡和兔？

【分析】 这个问题中数量之间有这样的相等关系：鸡头的数量+兔头的数量=35，鸡脚的数量+兔脚的数量=94.

我们可以用一个相等关系设未知数，另一个相等关系建立方程.

解：设鸡的数量是x只，则兔子的数量是（35-x）只.

根据题意得，2x+4（35-x）=94.

解之得，x=23.

35-x=12.

答：笼中鸡有23只，兔子有12只.

2. 宝塔装灯问题

我国明代数学家吴敬所著的《九章算术比类大全》中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为：远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？（倍加增指从塔的顶层到底层）.

【分析】根据题意，设顶层的红灯有x盏，则第二层有2x盏，依次第三层有4x盏，第四层有8x盏，第五层有16x盏，第六层有32x盏，第七层有64x盏，总共381盏，列出方程，解方程即可得解.

解：设顶层的红灯有x盏.

由题意得：

x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381

127x=381

x=3.

答：塔的顶层有3盏灯.

3. 良马驽马问题

元代朱世杰所著《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行两百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”

【分析】根据题意，驽马先行一十二日，则驽马先行了1 800里，这个问题中数量之间有这样的相等关系：驽马跑的路程+1 800里=良马跑的路程.

解：设良马x天能追上驽马.

根据题意得，150x+1 800=240x.

解之得，x=20.

答：良马20天可以追上驽马.

4. 丢番图的墓志铭

希腊数学家丢番图（公元3-4世纪）被认为是代数学的鼻祖，但人们对于丢番图的生平知道得非常少，历史上甚至没有一本正式的著作里留下他完整的生平介绍. 他唯一的简历是从《希腊诗文集》中找到的. 这是由麦特罗尔写的丢番图的“墓志铭”. “墓志铭”是用诗歌形式写成的：“过路的人，这儿埋葬着丢番图. 他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年. 再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭. 五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半. 晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年. ”根据以上信息，请你算出：（1） 丢番图的寿命. （2） 丢番图开始当爸爸时的年龄.（3） 儿子死时丢番图的年龄.

【分析】 根据题意，只要知道丢番图的寿命，其他的年份都可以通过他的寿命算出来.

解：设丢番图的寿命是x岁.

根据题意得，+++5++4=x.

解之得，x=84.

+++5=38.

84-4=80.

答：丢番图的寿命是84岁，丢番图当爸爸时是38岁，儿子死时丢番图80岁.

我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说：“程，课程也. 二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程.”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式. 一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程. 方程这个概念在《九章算术》中的“方程”章最早出现. 其中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，也是世界数学史上一份非常宝贵的遗产. 这一成就进一步证明：中华民族是一个充满智慧和才干的伟大民族.

（作者单位：江苏省常州外国语学校）