智力游戏中的数学模型研究

李 阳 门 博

（沈阳师范大学，辽宁 沈阳 110034）

1 课题研究的背景及意义

随着人们对教育的逐步重视，探索新型的教育模式已经成为教育发展的新要求。为了能够使学生主动参与到数学探究式学习中去，教育者就必须考虑在原有的教育模式上进行创新，必须明白智力游戏在数学教学中的重要作用。因此，应用游戏中的数学模型来启发学生的学习显得尤为重要。

数学建模是数学研究的重要方法，它是沟通数学知识与实践的重要桥梁。通过对游戏中的数学模型教学研究，可以推进学生对数学建模知识的学习，促进探究能力的提高。游戏中的数学模型研究，能更好的将数学知识与实际联系起来，让学生体会到数学的价值，提高学生应用数学，学习数学的兴趣，诣在为学校教育建设提供宝贵的意见。

2 探究过程

2.1 前期阶段

2.1.1 查看并整理有关不同种类的智力游戏的网络资料及书籍，统计出所有智力游戏中应用数学建模方法的模型实例。

2.1.2 对不同的智力游戏进行整合，分析其在实际教学中的作用。

2.1.3 分析典型实例，建立对应的数学模型，并注意与中学数学研究性课题衔接，为学生提供更多的教育模式，让更多的学生参与到数学模型研究性学习中。

2.2 数学模型构建与求解阶段：

问题：把一张壹佰元的纸币兑换成伍拾元、拾元、伍元、贰元和壹元的纸币，所有的兑换种数有多少[3]？

分析：解此题需要运用数学建模的方法，这个问题的数学模型为：

其中u，v 分别代表伍拾元和拾元的纸币张数，x，y，z 代表伍元，贰元和壹元的纸币张数，显然，u 只能取0，1，2 三种可能。

(Ⅰ)当u=2，只有一种兑换方法﹛2，0，0，0，0﹜；

（Ⅱ）当u=1，(1.1)归为：

v 有六种取值可能：5，4，3，2，1，0.

当v=5，只有唯一解﹛1，5，0，0，0﹜；

显然，在（1.2.1）中，x 只可能取值为0，1，2

当x=2 时，必有y=z=0，所以（1.2.1）有一个解为﹛2，0，0﹜；

当x=1 时，（1.2.1）成为：

令y 分别为0，1，2 可得（1.2.2）有3 个不同的解，记为（1.2.2）—3.

当x=1 时，（1.2.1）成为：

令y 分别为0，1，…，5 可得（1.2.3）有6 个不同的解，记为（1.2.3）—6.

所以，方程（1.2.1）有10 个不同解，记为（1.2.1）—10.

利用如上解法，可得（1.2.4）有29 个解，记为（1.2.4）—29；

当v=2，归为30=5x+2y+z，根据表1-1 及求解规则得1+3+6+8+11+13+16=58 个解；

当v=1，归为40=5x+2y+z，可得97 个解；

当v=0，归为50=5x+2y+z，可得146 个解；

所以，（1.2）有341 个解，记为（1.2）—341.

显然，v 可取值为10，9，…，0，当v 值取定后，问题归到（1.2.1）型：

经过简单的运算，可得到（1.3）解的个数。我们略去计算过程，列出一个简单的表1：

表1

把表1 最后一行上的11 个数字相加，就得到（1.3）有2156 个解。

最后，(Ⅰ)、（Ⅱ）、(Ⅲ)三类合起来，得（1.1）有2498 个解，也即壹佰元的兑换方法有2498 种。

［1］乔建中.教学模式新探[M].安徽人民出版社，2010.

［2］姜启源.数学模型[M].高等教育出版社，1999.

［3］倪进，朱明书.数学与智力游戏[M].大连理工大学出版社，2008，4.