让学生学会数学思考

曾建英

综合题常以函数与图形、代数计算与几何证明、特殊图形的性质与判定、画图分析与列方程求解等问题融为一体，此类题具有涉及的知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、方法灵活的特点，既考查了数学核心知识，也考查了重要的数学思想方法。

例题 如图1，已知点A（6■，0），B（0，6），经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动。设它们运动的时间为t秒。 ■

⑴用含t的代数式表示点P的坐标；

⑵过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系。

1.从条件出发进行分析

⑴由“A（6■，0），B（0，6）”我们可以得到OA、OB的长度。 “点的坐标与线段长度的相互转化”是解决图形与坐标问题的金钥匙，可知△AOB是个直角三角形。确定△AOB的形状非常重要，因为，在综合题中，适当地选择或构造直角三角形，就为运用勾股定理、锐角三角形函数，甚至为相似的运用准备了条件，而直角三角形是实现几何计算的常用载体。

⑵“经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动”这一条件理解起来比较困难。对于这种同时运动的问题，我们可以转化为分两次运动来理解，即点P从B沿BA方向运动t秒，即BP=t，然后向下运动（平移）t秒，即OB由6变为6-t。用含未知数的式子表示出相关的变量，为列式解答做好准备。

2.从问题入手进行分析

问题⑴中，“用含t的代数式表示点P的坐标”，要得到坐标，一般有两种方法，一是通过解析求坐标，这种方法叫做解析式法（代数法）；二是由边的长度来转化为坐标，这种方法称之为图形法（几何法）。本题采用后一种办法，此法一般都要选择或构造与坐标轴互相垂直（或平行）的线段，并计算相关线段的长度。计算这种线段的长度要充分利用线段间的和差关系、相似三角形的相似以及解直角三角形的相关知识是计算线段长度的常用手段。

解：⑴∵OB=6，OA=6■，∴∠OAB=30°。

如图2，作PH⊥OB于H ，可得PB=t，∠BPH=30°。

∴BH=■ ，HP=■t；

∴OH=6-t-■=6-■。

∴P （■，6-■）

■

问题⑵要探索形成特定图形所具有的特定条件，往往“线段的长度”是不可或缺的条件。所以在思考上，我们要围绕“特殊的位置”“特殊的数量”“特殊的图形”三个角度来思考，它们三者的关系是互为依存、相互支撑的。“圆与直线OC相切”这是特殊的位置，我们可以假定此位置、此图形的存在，然后围绕此结论存在所需要的数量条件建立方程式，解方程。（解答过程略）

反思总结

1.在探索形成特定图形所具有的特定条件，往往是从图形特殊的位置、特殊图形判定寻找突破，最后由特殊的数量关系来一锤定音，前者给我们提供计算的依据和方法。

2.要善于用含未知数的式子表示线段的长度，这是在解答动态变化问题的关键所在。在这一过程中要充分观察，发现、运用线段之间和差关系，甚至要借助于直角三角形、相似三角形的图形功能。

3.要善于利用相似三角形的对应边成比例与直角三角形之间边与角的关系、勾股定理来构建方程。大多数几何计算问题的解决，很大程度上取决于“相关直角三角形的选取和构造”或“相似三角形的选取和构造”。此外，利用特殊图形的特有的数量关系、图形的面积公式也是建立方程的手段，也不能忽视。◆（作者单位：江西省于都县第六中学）

□责任编辑：周瑜芽endprint

综合题常以函数与图形、代数计算与几何证明、特殊图形的性质与判定、画图分析与列方程求解等问题融为一体，此类题具有涉及的知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、方法灵活的特点，既考查了数学核心知识，也考查了重要的数学思想方法。

例题 如图1，已知点A（6■，0），B（0，6），经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动。设它们运动的时间为t秒。 ■

⑴用含t的代数式表示点P的坐标；

⑵过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系。

1.从条件出发进行分析

⑴由“A（6■，0），B（0，6）”我们可以得到OA、OB的长度。 “点的坐标与线段长度的相互转化”是解决图形与坐标问题的金钥匙，可知△AOB是个直角三角形。确定△AOB的形状非常重要，因为，在综合题中，适当地选择或构造直角三角形，就为运用勾股定理、锐角三角形函数，甚至为相似的运用准备了条件，而直角三角形是实现几何计算的常用载体。

⑵“经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动”这一条件理解起来比较困难。对于这种同时运动的问题，我们可以转化为分两次运动来理解，即点P从B沿BA方向运动t秒，即BP=t，然后向下运动（平移）t秒，即OB由6变为6-t。用含未知数的式子表示出相关的变量，为列式解答做好准备。

2.从问题入手进行分析

问题⑴中，“用含t的代数式表示点P的坐标”，要得到坐标，一般有两种方法，一是通过解析求坐标，这种方法叫做解析式法（代数法）；二是由边的长度来转化为坐标，这种方法称之为图形法（几何法）。本题采用后一种办法，此法一般都要选择或构造与坐标轴互相垂直（或平行）的线段，并计算相关线段的长度。计算这种线段的长度要充分利用线段间的和差关系、相似三角形的相似以及解直角三角形的相关知识是计算线段长度的常用手段。

解：⑴∵OB=6，OA=6■，∴∠OAB=30°。

如图2，作PH⊥OB于H ，可得PB=t，∠BPH=30°。

∴BH=■ ，HP=■t；

∴OH=6-t-■=6-■。

∴P （■，6-■）

■

问题⑵要探索形成特定图形所具有的特定条件，往往“线段的长度”是不可或缺的条件。所以在思考上，我们要围绕“特殊的位置”“特殊的数量”“特殊的图形”三个角度来思考，它们三者的关系是互为依存、相互支撑的。“圆与直线OC相切”这是特殊的位置，我们可以假定此位置、此图形的存在，然后围绕此结论存在所需要的数量条件建立方程式，解方程。（解答过程略）

反思总结

1.在探索形成特定图形所具有的特定条件，往往是从图形特殊的位置、特殊图形判定寻找突破，最后由特殊的数量关系来一锤定音，前者给我们提供计算的依据和方法。

2.要善于用含未知数的式子表示线段的长度，这是在解答动态变化问题的关键所在。在这一过程中要充分观察，发现、运用线段之间和差关系，甚至要借助于直角三角形、相似三角形的图形功能。

3.要善于利用相似三角形的对应边成比例与直角三角形之间边与角的关系、勾股定理来构建方程。大多数几何计算问题的解决，很大程度上取决于“相关直角三角形的选取和构造”或“相似三角形的选取和构造”。此外，利用特殊图形的特有的数量关系、图形的面积公式也是建立方程的手段，也不能忽视。◆（作者单位：江西省于都县第六中学）

□责任编辑：周瑜芽endprint

综合题常以函数与图形、代数计算与几何证明、特殊图形的性质与判定、画图分析与列方程求解等问题融为一体，此类题具有涉及的知识点多、覆盖面广、条件隐蔽、关系复杂、思路难觅、方法灵活的特点，既考查了数学核心知识，也考查了重要的数学思想方法。

例题 如图1，已知点A（6■，0），B（0，6），经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动。设它们运动的时间为t秒。 ■

⑴用含t的代数式表示点P的坐标；

⑵过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？并说明此时⊙P与直线CD的位置关系。

1.从条件出发进行分析

⑴由“A（6■，0），B（0，6）”我们可以得到OA、OB的长度。 “点的坐标与线段长度的相互转化”是解决图形与坐标问题的金钥匙，可知△AOB是个直角三角形。确定△AOB的形状非常重要，因为，在综合题中，适当地选择或构造直角三角形，就为运用勾股定理、锐角三角形函数，甚至为相似的运用准备了条件，而直角三角形是实现几何计算的常用载体。

⑵“经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线上以每秒1个单位的速度沿直线向右下方向作匀速运动”这一条件理解起来比较困难。对于这种同时运动的问题，我们可以转化为分两次运动来理解，即点P从B沿BA方向运动t秒，即BP=t，然后向下运动（平移）t秒，即OB由6变为6-t。用含未知数的式子表示出相关的变量，为列式解答做好准备。

2.从问题入手进行分析

问题⑴中，“用含t的代数式表示点P的坐标”，要得到坐标，一般有两种方法，一是通过解析求坐标，这种方法叫做解析式法（代数法）；二是由边的长度来转化为坐标，这种方法称之为图形法（几何法）。本题采用后一种办法，此法一般都要选择或构造与坐标轴互相垂直（或平行）的线段，并计算相关线段的长度。计算这种线段的长度要充分利用线段间的和差关系、相似三角形的相似以及解直角三角形的相关知识是计算线段长度的常用手段。

解：⑴∵OB=6，OA=6■，∴∠OAB=30°。

如图2，作PH⊥OB于H ，可得PB=t，∠BPH=30°。

∴BH=■ ，HP=■t；

∴OH=6-t-■=6-■。

∴P （■，6-■）

■

问题⑵要探索形成特定图形所具有的特定条件，往往“线段的长度”是不可或缺的条件。所以在思考上，我们要围绕“特殊的位置”“特殊的数量”“特殊的图形”三个角度来思考，它们三者的关系是互为依存、相互支撑的。“圆与直线OC相切”这是特殊的位置，我们可以假定此位置、此图形的存在，然后围绕此结论存在所需要的数量条件建立方程式，解方程。（解答过程略）

反思总结

1.在探索形成特定图形所具有的特定条件，往往是从图形特殊的位置、特殊图形判定寻找突破，最后由特殊的数量关系来一锤定音，前者给我们提供计算的依据和方法。

2.要善于用含未知数的式子表示线段的长度，这是在解答动态变化问题的关键所在。在这一过程中要充分观察，发现、运用线段之间和差关系，甚至要借助于直角三角形、相似三角形的图形功能。

3.要善于利用相似三角形的对应边成比例与直角三角形之间边与角的关系、勾股定理来构建方程。大多数几何计算问题的解决，很大程度上取决于“相关直角三角形的选取和构造”或“相似三角形的选取和构造”。此外，利用特殊图形的特有的数量关系、图形的面积公式也是建立方程的手段，也不能忽视。◆（作者单位：江西省于都县第六中学）

□责任编辑：周瑜芽endprint