离散T-S模糊系统的状态反馈鲁棒镇定

李 丽，王福忠，姚 波

(1.沈阳师范大学 数学与系统科学学院，辽宁 沈阳110034;2.沈阳工程学院基础教学部，辽宁沈阳110136)

Takagi和Sugeno在1985年提出了T-S模糊模型的概念，在目前的模糊控制研究领域是十分活跃的一个分支。由于T-S模糊模型可以通过模糊规则给出非线性系统的局部线性表示，因此它能够描述或逼近一类非线性系统，其本质是一种非线性的模型，易于表达复杂系统的动态特性。

近几年来，许多学者在离散T-S模糊系统稳定性分析的研究方面取得了诸多成就。文献［1-2］在Lyapunov直接法的基础上，提出了利用公共Lyapunov函数进行稳定性分析的方法，即在所有子系统中寻找公共正定矩阵。但对于规则数较大的模糊系统，很难找到满足所有规则的。为了降低寻找的保守性，文献［3-5］应用模糊Lyapunov函数对系统的稳定性进行判定，此方法在一定程度上降低了寻找的保守性。文献［7］应用文献［6］所提出的双交叠模糊分划及最大交叠规则组的概念，构造出离散型分段模糊Lyapunov函数，进而提出了一个判定离散T-S模糊系统是否稳定性的充分条件。文献［8］提出了有效最大交叠规则组集和有效最大交叠组的概念，构造了离散型分段模糊Lyapunov函数，得到了一个新的判定离散模糊系统是否稳定的充分条件，减少了以往稳定性判别方法的保守性和难度。文献［9］提出了一种新的T-S模糊系统放宽的二次稳定方法，得到一个新的判定模糊系统是否稳定的充分条件，降低了以往结论的保守性。由于不确定性常常降低系统性能，甚至导致系统不稳定，文献［10］运用文献［9］的方法研究了连续时间不确定系统的稳定性问题，得到一个新的判定连续模糊系统是否稳定的充分条件，具有更小的保守性;文献［11］也基于文献［9］研究了离散模糊系统的稳定性问题，但没有考虑不确定的情况。

1 离散不确定T-S模糊模型的描述

T-S模糊控制系统能够表示一般的非线性系统。对于一个离散不确定非线性系统，它的第条模糊规则具有如下形式:

式中 i=1，2，…，r，r为模糊规则数，xT(k)=［x1(k)，x2(k)，…，xn(k)］为模糊集，x(k)与u(k)为模糊系统的状态向量和输入向量。Ai，Bi为常数矩阵，ΔAi和ΔBi是适当维数的时变矩阵，代表系统模型中的参数不确定性。通过中心平均反模糊化、乘积推理和单点模糊化方法，得到系统全局模型如下:

其中

wi(x(k))的一些基本性质如下:

则

离散T-S模糊模型中的一个状态反馈控制器定义如下:

其中Ki是要确定的定常控制增益。设计目标是确定如下形式的状态控制器，使系统(2)鲁棒镇定。

(2)和(3)组成闭环系统(5)

由于系统(1)有时为不确定矩阵，很难设计控制器增益矩阵。为了找到该增益矩阵Ki，不确定矩阵应在合理假设下除去。因此，一般假设不确定矩阵ΔAi和ΔBi是范数有界和结构化的。

假设1:考虑的参数不确定性是范数有界的，以如下形式存在:

［ΔAiΔBi］ =DiFi(k)［EAiEBi］

其中 Di，EAi，EBi是具有适当维数的已知常数矩阵，Fi(k)为未知矩阵函数，满足FTi(k)Fi(k)≤ I，I是适当维数的单位矩阵。

引理1［12］:给定适当维数的矩阵S、D和E，其中S是对称的，则:S+DFE+ETFTDT＜0，对所有满足FTF≤I的矩阵F成立，当且仅当存在一个常数ε＞0，使得

3 改进的T-S模糊系统状态反馈鲁棒控制器设计

那么式(14)成立，即:

如果式(5)成立，则Λc＜0，系统(2)经模糊控制器(3)渐进稳定。

下面证明(11)、(12)、(13)分别与(6)、(7)、(8)等价。

将假设1应用到(11)中，得到

对式(16)左右两侧分别乘diag(III εiii)即得式(6)。

第三个LMI(7)，第四个 LMI(8)分别与(12)、(13)等价，证明过程与以上证明过程相似。

因此，定理1得证。

证毕。

4 仿真示例

考虑如下的T-S模糊系统［10］:

其中

参数不确定选择如下:

利用MATLAB工具箱可以得到:

5 结论

在参数不确定的情况下，对离散T-S模糊系统的稳定性和控制器设计问题进行了研究。其中，定理1的方法将模糊控制器的设计问题转化为对一些标准的LMI问题进行求解，从而方便地利用Matlab工具箱等软件来解决有多种设计要求的控制器设计问题。而且，定理1的判定条件比以往问题所提出的条件更保守，更宽松。

［1］ Tanaka K，Sugeno M.Stability analysis and design of fuzzy control system［J］.Fuzzy Sets and Systems，1992，45(2):135-156.

［2］ Wang H O，Tanaka K，Griffin M F.An approach to fuzzycontrol of nonlinear systems:Stability and design issues［J］.IEEE Trans on Fuzzy Systems，1996，4(1):14-23.

［3］ Daafouz J，Riedinger P，Lung C.Stability analysis andcontrol synthesis for switched systems:A switched Lyapunov function approach［J］.IEEE Trans on Automatic Control，2002，47(11):1883-1887.

［4］王 岩，张庆灵，孙增圻，等.离散模糊系统分析与设计的模糊 Lyapunov 方法［J］.自动化学报，2004，30(2):255-260.

［5］ Mozelli L A，Palhares R M，Avellar G S C.A systematic approach to improve multiple Lyapunov function stability and stabilization conditions for fuzzy systems［J］.Information Sciences，2009，179(8):1149-1162.

［6］修智宏，任 光.T-S模糊控制系统的稳定性分析及系统化设计［J］.自动化学报，2004，30(5):731-741.

［7］张松涛，任 光.基于分段模糊Lyapunov方法的离散模糊系统分析与设计［J］.自动化学报，2006，32(5):813-818.

［8］张松涛.离散T-S模糊系统的稳定条件［J］.控制与决策，2012，27(8):1175-1179.

［9］ Fang C H，Liu Y S，Kau S W，et al.A new LMI-based approach to relaxed quadratic stabilization of T-S fuzzy control systems［J］.IEEE Trans.Fuzzy Systems(S1063-6706)，2006，14(3):386-397.

［10］齐 丽.不确定T-S模糊系统的鲁棒控制器设计［D］.沈阳:东北大学，2008.

［11］宗春菊.离散T-S模糊控制系统稳定性分析与控制器设计［D］.沈阳:东北大学，2008.

［12］ Chadli M，EI Hajjaji A.Output robust stabilization of uncertain Takagi-Sugeno model［C］//2005 European Control Conference.Decision and Control.Seville:Proceedings of the IEEE Conference on Decision and Contorol，2005:3393-3398.