奇异函数能量法在分析梁自振频率中的应用
2014-12-12丁婷丁圣果姜宇
丁婷+丁圣果+姜宇
摘 要：在实际工程中，很多情况要计算梁的自振频率，本文在已有的计算方法上加以总结，应用奇异函数表达变截面梁的惯性矩I（x）及质量分布集度m（x），采用能量法可较方便计算梁的自振频率，给出的满足各种边界条件的振型函数便于读者使用。本文将不同算例的计算结果进行了分析，研究结果表明，采用不同振型函数所得的计算结果相差在±5%范围，用以估计变截面梁基频的上限值是工程上可接受的。
关键词：奇异函数；能量法；自振基频；变截面梁；振型函数
能量法在工程中的应用[1][2]很普遍，通过用奇异函数能量法来分析梁的频率，得到一个合理的结果，对促进建筑工程的发展将起到很大的作用。
对于变截面梁，无论梁上的惯性矩I和质量 分布度m是随截面位置变量x连续变化还是分段突变（图1），这两个量均可用奇异函数表示[4]：
1.计算自振基频的能量法
根据自由振动的能量特征，梁振动基频的能量法计算式为[3]：
（2）式代入（1）式后，分子和分母涉及的奇异函数的积分采用下式[2]
2. 梁的振型函数
振型函数 即杆件振动时轴线的曲线函数形式，一般均为由初等函数构造的连续函数，针对单跨梁按基频自振问题，表一给出不同支承条件下 的函数形式。关于振型函数 有必要作以下说明：
2.1 必须是满足梁端位移边界条件的连续函数
2.2 应尽可能不要隐含违反梁端的力边界条件的形式。
例如，对于梁左端铰支的情况应有 ， ，表明梁端弯矩为零，转角不为零。对于几何关于梁跨中垂线对称的梁，应有 ，
对于梁左端固支的情况应有 ， ，表明梁端弯矩不为零，转角为零。对于几何关于梁跨中垂线对称的梁，应有 。
2.3 对于端部约束较复杂的梁，可采用四项幕函数叠加的形式逼近振型[3]：
2.4无论梁段上如何变截面，其振型函数 的连续性是存在的，且满足条件（1）（2）的初等函数并不难设定。
我们的众多算例表明，具有相同端部约束条件及相同梁段几何特征的梁，采用不同振型函数计算结果相差在±5%，且与精确解误差 。
算例
算例一：分段等截面简支梁（见图4），各段矩形截面高（垂直于纸面方向尺寸）相同，计算垂直于纸面方向的自振频率。
采用不同振型函数的计算结果相差1.4%。
算例二：简支鱼腹梁，矩形截面宽（垂直于纸面尺寸相同），求竖向自振频率。
设振型函数为正弦曲线：
鱼腹段的变截面梁高也为正弦曲线：
4.结论
4.1奇异函数因具备表达非连续物理量的强劲功能在经典力学中已得到广泛应用[5][6][7]。
4.2对于变截面梁，无论其习惯性矩I和分布质量m随截面位置x连续变化还是分段突变，这两个量均可采用奇异函数在全梁段的定义域上表示。设定满足梁端边界条件的振型函数后，梁的自振频率即可用常规积分求得。
4.3 为求得基频，振型曲线宜简单，尽可能少捌点，采用不同振型函数 所得结果相差在±3%范围。
4.4 基于振动时的势能泛函极值原理，所得结果为频率上限解。
参考文献
[1] 周勇军、张晓栋.高墩连续刚构桥纵向振动基频的能量法计算公式《长安大学学报》[J]？2013，03：p52-58
[2] 张荣山、刘兵.计算梁自振频率的几种简化实用方法 特种结构[J]2002年01期
[3] 丁圣果.分析结构力学[M].贵州科技出版社 2010.12
[4] 王燮山.奇异函数及其在力学中的应用[M].科学出版社，1993.12
[5] 丁圣果.奇异函数力法在在分析框-剪结构抗侧作用效应中的应用[J] 建筑技术开发.2004.9vol 31 no 9 71-74
[6] 丁圣果 李绮文 高层建筑水平加强层作用初探[J] 工程力学.1996增刊 537-540
[7] 郑涛、丁圣果.用奇异函数方法计算阶梯形变截面条形基础 贵州工业大学学报[J].2001.6.vol 30no 6.P97）97-102
[8] 焦春节、丁洁民.体外预应力钢-混凝土组合连续梁自振频率分析[J]工程力学2011，02期：193-197
[9] 王佳伟、贾艳敏.预应力简支钢箱梁自振频率研究[J]工程力学，2009，26（1）：p120-124
[10] 熊辉霞、张耀庭 体外预应力混凝土梁自振频率分析[J]工程力学2008，25，S2期：173-176
摘 要：在实际工程中，很多情况要计算梁的自振频率，本文在已有的计算方法上加以总结，应用奇异函数表达变截面梁的惯性矩I（x）及质量分布集度m（x），采用能量法可较方便计算梁的自振频率，给出的满足各种边界条件的振型函数便于读者使用。本文将不同算例的计算结果进行了分析，研究结果表明，采用不同振型函数所得的计算结果相差在±5%范围，用以估计变截面梁基频的上限值是工程上可接受的。
关键词：奇异函数；能量法；自振基频；变截面梁；振型函数
能量法在工程中的应用[1][2]很普遍，通过用奇异函数能量法来分析梁的频率，得到一个合理的结果，对促进建筑工程的发展将起到很大的作用。
对于变截面梁，无论梁上的惯性矩I和质量 分布度m是随截面位置变量x连续变化还是分段突变（图1），这两个量均可用奇异函数表示[4]：
1.计算自振基频的能量法
根据自由振动的能量特征，梁振动基频的能量法计算式为[3]：
（2）式代入（1）式后，分子和分母涉及的奇异函数的积分采用下式[2]
2. 梁的振型函数
振型函数 即杆件振动时轴线的曲线函数形式，一般均为由初等函数构造的连续函数，针对单跨梁按基频自振问题，表一给出不同支承条件下 的函数形式。关于振型函数 有必要作以下说明：
2.1 必须是满足梁端位移边界条件的连续函数
2.2 应尽可能不要隐含违反梁端的力边界条件的形式。
例如，对于梁左端铰支的情况应有 ， ，表明梁端弯矩为零，转角不为零。对于几何关于梁跨中垂线对称的梁，应有 ，
对于梁左端固支的情况应有 ， ，表明梁端弯矩不为零，转角为零。对于几何关于梁跨中垂线对称的梁，应有 。
2.3 对于端部约束较复杂的梁，可采用四项幕函数叠加的形式逼近振型[3]：
2.4无论梁段上如何变截面，其振型函数 的连续性是存在的，且满足条件（1）（2）的初等函数并不难设定。
我们的众多算例表明，具有相同端部约束条件及相同梁段几何特征的梁，采用不同振型函数计算结果相差在±5%，且与精确解误差 。
算例
算例一：分段等截面简支梁（见图4），各段矩形截面高（垂直于纸面方向尺寸）相同，计算垂直于纸面方向的自振频率。
采用不同振型函数的计算结果相差1.4%。
算例二：简支鱼腹梁，矩形截面宽（垂直于纸面尺寸相同），求竖向自振频率。
设振型函数为正弦曲线：
鱼腹段的变截面梁高也为正弦曲线：
4.结论
4.1奇异函数因具备表达非连续物理量的强劲功能在经典力学中已得到广泛应用[5][6][7]。
4.2对于变截面梁，无论其习惯性矩I和分布质量m随截面位置x连续变化还是分段突变，这两个量均可采用奇异函数在全梁段的定义域上表示。设定满足梁端边界条件的振型函数后，梁的自振频率即可用常规积分求得。
4.3 为求得基频，振型曲线宜简单，尽可能少捌点，采用不同振型函数 所得结果相差在±3%范围。
4.4 基于振动时的势能泛函极值原理，所得结果为频率上限解。
参考文献
[1] 周勇军、张晓栋.高墩连续刚构桥纵向振动基频的能量法计算公式《长安大学学报》[J]？2013，03：p52-58
[2] 张荣山、刘兵.计算梁自振频率的几种简化实用方法 特种结构[J]2002年01期
[3] 丁圣果.分析结构力学[M].贵州科技出版社 2010.12
[4] 王燮山.奇异函数及其在力学中的应用[M].科学出版社，1993.12
[5] 丁圣果.奇异函数力法在在分析框-剪结构抗侧作用效应中的应用[J] 建筑技术开发.2004.9vol 31 no 9 71-74
[6] 丁圣果 李绮文 高层建筑水平加强层作用初探[J] 工程力学.1996增刊 537-540
[7] 郑涛、丁圣果.用奇异函数方法计算阶梯形变截面条形基础 贵州工业大学学报[J].2001.6.vol 30no 6.P97）97-102
[8] 焦春节、丁洁民.体外预应力钢-混凝土组合连续梁自振频率分析[J]工程力学2011，02期：193-197
[9] 王佳伟、贾艳敏.预应力简支钢箱梁自振频率研究[J]工程力学，2009，26（1）：p120-124
[10] 熊辉霞、张耀庭 体外预应力混凝土梁自振频率分析[J]工程力学2008，25，S2期：173-176
摘 要：在实际工程中，很多情况要计算梁的自振频率，本文在已有的计算方法上加以总结，应用奇异函数表达变截面梁的惯性矩I（x）及质量分布集度m（x），采用能量法可较方便计算梁的自振频率，给出的满足各种边界条件的振型函数便于读者使用。本文将不同算例的计算结果进行了分析，研究结果表明，采用不同振型函数所得的计算结果相差在±5%范围，用以估计变截面梁基频的上限值是工程上可接受的。
关键词：奇异函数；能量法；自振基频；变截面梁；振型函数
能量法在工程中的应用[1][2]很普遍，通过用奇异函数能量法来分析梁的频率，得到一个合理的结果，对促进建筑工程的发展将起到很大的作用。
对于变截面梁，无论梁上的惯性矩I和质量 分布度m是随截面位置变量x连续变化还是分段突变（图1），这两个量均可用奇异函数表示[4]：
1.计算自振基频的能量法
根据自由振动的能量特征，梁振动基频的能量法计算式为[3]：
（2）式代入（1）式后，分子和分母涉及的奇异函数的积分采用下式[2]
2. 梁的振型函数
振型函数 即杆件振动时轴线的曲线函数形式，一般均为由初等函数构造的连续函数，针对单跨梁按基频自振问题，表一给出不同支承条件下 的函数形式。关于振型函数 有必要作以下说明：
2.1 必须是满足梁端位移边界条件的连续函数
2.2 应尽可能不要隐含违反梁端的力边界条件的形式。
例如，对于梁左端铰支的情况应有 ， ，表明梁端弯矩为零，转角不为零。对于几何关于梁跨中垂线对称的梁，应有 ，
对于梁左端固支的情况应有 ， ，表明梁端弯矩不为零，转角为零。对于几何关于梁跨中垂线对称的梁，应有 。
2.3 对于端部约束较复杂的梁，可采用四项幕函数叠加的形式逼近振型[3]：
2.4无论梁段上如何变截面，其振型函数 的连续性是存在的，且满足条件（1）（2）的初等函数并不难设定。
我们的众多算例表明，具有相同端部约束条件及相同梁段几何特征的梁，采用不同振型函数计算结果相差在±5%，且与精确解误差 。
算例
算例一：分段等截面简支梁（见图4），各段矩形截面高（垂直于纸面方向尺寸）相同，计算垂直于纸面方向的自振频率。
采用不同振型函数的计算结果相差1.4%。
算例二：简支鱼腹梁，矩形截面宽（垂直于纸面尺寸相同），求竖向自振频率。
设振型函数为正弦曲线：
鱼腹段的变截面梁高也为正弦曲线：
4.结论
4.1奇异函数因具备表达非连续物理量的强劲功能在经典力学中已得到广泛应用[5][6][7]。
4.2对于变截面梁，无论其习惯性矩I和分布质量m随截面位置x连续变化还是分段突变，这两个量均可采用奇异函数在全梁段的定义域上表示。设定满足梁端边界条件的振型函数后，梁的自振频率即可用常规积分求得。
4.3 为求得基频，振型曲线宜简单，尽可能少捌点，采用不同振型函数 所得结果相差在±3%范围。
4.4 基于振动时的势能泛函极值原理，所得结果为频率上限解。
参考文献
[1] 周勇军、张晓栋.高墩连续刚构桥纵向振动基频的能量法计算公式《长安大学学报》[J]？2013，03：p52-58
[2] 张荣山、刘兵.计算梁自振频率的几种简化实用方法 特种结构[J]2002年01期
[3] 丁圣果.分析结构力学[M].贵州科技出版社 2010.12
[4] 王燮山.奇异函数及其在力学中的应用[M].科学出版社，1993.12
[5] 丁圣果.奇异函数力法在在分析框-剪结构抗侧作用效应中的应用[J] 建筑技术开发.2004.9vol 31 no 9 71-74
[6] 丁圣果 李绮文 高层建筑水平加强层作用初探[J] 工程力学.1996增刊 537-540
[7] 郑涛、丁圣果.用奇异函数方法计算阶梯形变截面条形基础 贵州工业大学学报[J].2001.6.vol 30no 6.P97）97-102
[8] 焦春节、丁洁民.体外预应力钢-混凝土组合连续梁自振频率分析[J]工程力学2011，02期：193-197
[9] 王佳伟、贾艳敏.预应力简支钢箱梁自振频率研究[J]工程力学，2009，26（1）：p120-124
[10] 熊辉霞、张耀庭 体外预应力混凝土梁自振频率分析[J]工程力学2008，25，S2期：173-176
