数学中的对称美及其应用

王建成

一、对称美

数学对称美最直观的感觉就是数学图形的对称美，对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小形状相排列上具有一 一对应的关系，在几何图形中等腰三角形是轴对称图形，圆是关于圆心成中心对称的图形，也是关于直径成轴对称图形，正方行关于其中心是对称的，而对于球形既是中心对称图形，也是轴对称图形，同时也是面对称图形，毕达哥拉斯曾经说过：”一切立体图行中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。”在解析几何当中，我们还学习了圆柱，圆锥，旋转曲面，椭球面等……这些图形都具有对称性，正是因为这些图形的对称性才有了今天生活中那么多美丽图案，给我们的生活增添了美的感受。

笛卡儿创建了解析几何以后，将代数方程与几何图形建立起了一种对称关系，使代数与几何化为一体，达到了完美的统一，例如代数中的x1+x2， 均为对称多项式，而对称多项式又具有许多有趣的性质，在我们解决某些复杂的代数问题时就可以利用这些性质，用更巧妙的灵活的办法来解决。又例如在三角形中的正弦定理可以说是几何关系与代数对称美的亲密结合，例如在三角形ABC中有。其中

在代数运算上的数学美可以说是数学里的一个奇迹，例如：下面的一列计算结果应该会让你叹为观止吧！

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

111111×111111=12345654321

1111111×1111111=1234567654321

11111111×11111111=123456787654321

111111111×111111111=12345678987654321

在我们进行组合数的运算时，其对称美的性质也为我们的计算带来了一些方便，其公式可归纳为：即与首项，末项等距离的两结果相等。

从更广泛的意义上讲，数论中的奇数和偶数（从奇偶性上区分），质数和合数（从可分解性区分）。也可看成是对称关系，从运算角度看：+ 与 -，×与÷，乘幂与开方，指数与对数，微分与积分，矩阵与逆矩阵，………这些互逆运算也可以视为一种“对称”关系，从函数角度看，函数与反函数，也可以看成一中“对称”（更一般的，变换与反变换，映像与逆映像等等也属于对称）。从命题的角度看，正定理与逆定理，否定理与逆否定理等也存在着“对称”关系，这一点可以从图中显现出来：

应该指出的是，无论是代数中的某些“对称”（如代数多项式变动一些文字的排列），还是几何中的“对称”，人们总可以从中抽取某些共同的本质属性，加以抽象，从而产生新的概念。利用群论可以研究代数方程根的置换理论，研究几何图形变换（包括对称），研究晶体结构等。

二、对称美的应用

1.对称美在数学研究中的作用

数学的对称性除了作为数学自身的属性外，也是数学发现与创造的美学方法之一。许多数学家往往出于对数学对称美的考虑而获得重要的数学结果。

2.补全数学对称美

有些数学问题系对称图形，对偶数式等的一部分，粗看残缺不齐，没有规律，处理起来颇为不易，这时，不妨将其补全为对称问题，利用其对称美来解，饶有趣味。

例：在球面上有4个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是（ ）。（1991年的全国高考题。）

分析 ：把三凌锥P-ABC“补美”构造为菱长为a的正方体，容易求得正方体的对角线长为，从而外接球半径为，故球面面积

3. 构造数学对称美

很多数学问题并不具有对称美的特征，但是我们通过观察，类比，联想，构造出与它对称的图形或者对偶的命题，利用我们赋予给数学问题的美，则我们就能够找到巧妙别致的解体思路。

例：如果，证明：。

分析 对两正数用来构造美，设，取，则，由的构造知道，，这样，两数通过构造就成为两个对称的数，于是得到了下面这个式子：

4.对称美具有检验真理的作用

科学史上许多伟人的发明和发现，都是由于追求美感所指引的，但数学的对称美也具有检验真理的作用，大家所熟悉的 ，是数学中的最重要的常数，计算 的近似值，一直以来都引发许多数学家的兴趣，即使不是学数学的人们，都以能够背诵其值的小数位数的值而进行了许多努力，随着计算技术的发展，他别是计算机的出现，计算出的 的小数点的为数不断被刷新，1872年，英国学者威廉。向克斯计算出小数点后的707位，若干年后。数学家法格逊发现，向克斯算出的707位数字中，0—9这10个数字中出现的频率相差太大，这完全不符合数学对称美的审美原则，法格逊有一种直觉，他怀疑向克斯的计算可能有错误，于是下决心进行检验，法格逊整整花了一年的时间进行检验，终于发现707位中只有前面的527位是正确的，但凭借当时的条件，法格逊仍然未能证明他出自审美要求的猜想是正确的，人们想验证它，但却苦于已知的位数太少，直到1937年法国学者让。盖克和芳旦娜对的小数点后1106位中的各数字出现的频率进行统计，其记录是：各个数字出现的次数虽然有差异，但出现的频率却都是 ，这个记录从而证明了法格逊的猜想是正确的。因此说数学中的对称美的具有检验真理的作用。

综上所述，对称性在数学中是普遍存在的，对称性在数学的研究与学习中也扮演着重要的角色，因此我们在从事数学学习与研究的过程中，应注意挖掘数学中丰富多彩的美的因素，利用数学美的简单性，对称性，相似性，和谐性与奇异性考察数学对象，思考数学问题，形成数学思维的美学方法和解题策略。endprint

一、对称美

数学对称美最直观的感觉就是数学图形的对称美，对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小形状相排列上具有一 一对应的关系，在几何图形中等腰三角形是轴对称图形，圆是关于圆心成中心对称的图形，也是关于直径成轴对称图形，正方行关于其中心是对称的，而对于球形既是中心对称图形，也是轴对称图形，同时也是面对称图形，毕达哥拉斯曾经说过：”一切立体图行中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。”在解析几何当中，我们还学习了圆柱，圆锥，旋转曲面，椭球面等……这些图形都具有对称性，正是因为这些图形的对称性才有了今天生活中那么多美丽图案，给我们的生活增添了美的感受。

笛卡儿创建了解析几何以后，将代数方程与几何图形建立起了一种对称关系，使代数与几何化为一体，达到了完美的统一，例如代数中的x1+x2， 均为对称多项式，而对称多项式又具有许多有趣的性质，在我们解决某些复杂的代数问题时就可以利用这些性质，用更巧妙的灵活的办法来解决。又例如在三角形中的正弦定理可以说是几何关系与代数对称美的亲密结合，例如在三角形ABC中有。其中

在代数运算上的数学美可以说是数学里的一个奇迹，例如：下面的一列计算结果应该会让你叹为观止吧！

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

11111×11111=123454321

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在我们进行组合数的运算时，其对称美的性质也为我们的计算带来了一些方便，其公式可归纳为：即与首项，末项等距离的两结果相等。

从更广泛的意义上讲，数论中的奇数和偶数（从奇偶性上区分），质数和合数（从可分解性区分）。也可看成是对称关系，从运算角度看：+ 与 -，×与÷，乘幂与开方，指数与对数，微分与积分，矩阵与逆矩阵，………这些互逆运算也可以视为一种“对称”关系，从函数角度看，函数与反函数，也可以看成一中“对称”（更一般的，变换与反变换，映像与逆映像等等也属于对称）。从命题的角度看，正定理与逆定理，否定理与逆否定理等也存在着“对称”关系，这一点可以从图中显现出来：

应该指出的是，无论是代数中的某些“对称”（如代数多项式变动一些文字的排列），还是几何中的“对称”，人们总可以从中抽取某些共同的本质属性，加以抽象，从而产生新的概念。利用群论可以研究代数方程根的置换理论，研究几何图形变换（包括对称），研究晶体结构等。

二、对称美的应用

1.对称美在数学研究中的作用

数学的对称性除了作为数学自身的属性外，也是数学发现与创造的美学方法之一。许多数学家往往出于对数学对称美的考虑而获得重要的数学结果。

2.补全数学对称美

有些数学问题系对称图形，对偶数式等的一部分，粗看残缺不齐，没有规律，处理起来颇为不易，这时，不妨将其补全为对称问题，利用其对称美来解，饶有趣味。

例：在球面上有4个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是（ ）。（1991年的全国高考题。）

分析 ：把三凌锥P-ABC“补美”构造为菱长为a的正方体，容易求得正方体的对角线长为，从而外接球半径为，故球面面积

3. 构造数学对称美

很多数学问题并不具有对称美的特征，但是我们通过观察，类比，联想，构造出与它对称的图形或者对偶的命题，利用我们赋予给数学问题的美，则我们就能够找到巧妙别致的解体思路。

例：如果，证明：。

分析 对两正数用来构造美，设，取，则，由的构造知道，，这样，两数通过构造就成为两个对称的数，于是得到了下面这个式子：

4.对称美具有检验真理的作用

科学史上许多伟人的发明和发现，都是由于追求美感所指引的，但数学的对称美也具有检验真理的作用，大家所熟悉的 ，是数学中的最重要的常数，计算 的近似值，一直以来都引发许多数学家的兴趣，即使不是学数学的人们，都以能够背诵其值的小数位数的值而进行了许多努力，随着计算技术的发展，他别是计算机的出现，计算出的 的小数点的为数不断被刷新，1872年，英国学者威廉。向克斯计算出小数点后的707位，若干年后。数学家法格逊发现，向克斯算出的707位数字中，0—9这10个数字中出现的频率相差太大，这完全不符合数学对称美的审美原则，法格逊有一种直觉，他怀疑向克斯的计算可能有错误，于是下决心进行检验，法格逊整整花了一年的时间进行检验，终于发现707位中只有前面的527位是正确的，但凭借当时的条件，法格逊仍然未能证明他出自审美要求的猜想是正确的，人们想验证它，但却苦于已知的位数太少，直到1937年法国学者让。盖克和芳旦娜对的小数点后1106位中的各数字出现的频率进行统计，其记录是：各个数字出现的次数虽然有差异，但出现的频率却都是 ，这个记录从而证明了法格逊的猜想是正确的。因此说数学中的对称美的具有检验真理的作用。

综上所述，对称性在数学中是普遍存在的，对称性在数学的研究与学习中也扮演着重要的角色，因此我们在从事数学学习与研究的过程中，应注意挖掘数学中丰富多彩的美的因素，利用数学美的简单性，对称性，相似性，和谐性与奇异性考察数学对象，思考数学问题，形成数学思维的美学方法和解题策略。endprint

一、对称美

数学对称美最直观的感觉就是数学图形的对称美，对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小形状相排列上具有一 一对应的关系，在几何图形中等腰三角形是轴对称图形，圆是关于圆心成中心对称的图形，也是关于直径成轴对称图形，正方行关于其中心是对称的，而对于球形既是中心对称图形，也是轴对称图形，同时也是面对称图形，毕达哥拉斯曾经说过：”一切立体图行中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。”在解析几何当中，我们还学习了圆柱，圆锥，旋转曲面，椭球面等……这些图形都具有对称性，正是因为这些图形的对称性才有了今天生活中那么多美丽图案，给我们的生活增添了美的感受。

笛卡儿创建了解析几何以后，将代数方程与几何图形建立起了一种对称关系，使代数与几何化为一体，达到了完美的统一，例如代数中的x1+x2， 均为对称多项式，而对称多项式又具有许多有趣的性质，在我们解决某些复杂的代数问题时就可以利用这些性质，用更巧妙的灵活的办法来解决。又例如在三角形中的正弦定理可以说是几何关系与代数对称美的亲密结合，例如在三角形ABC中有。其中

在代数运算上的数学美可以说是数学里的一个奇迹，例如：下面的一列计算结果应该会让你叹为观止吧！

1×1=1

11×11=121

111×111=12321

1111×1111=1234321

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111111×111111=12345654321

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在我们进行组合数的运算时，其对称美的性质也为我们的计算带来了一些方便，其公式可归纳为：即与首项，末项等距离的两结果相等。

从更广泛的意义上讲，数论中的奇数和偶数（从奇偶性上区分），质数和合数（从可分解性区分）。也可看成是对称关系，从运算角度看：+ 与 -，×与÷，乘幂与开方，指数与对数，微分与积分，矩阵与逆矩阵，………这些互逆运算也可以视为一种“对称”关系，从函数角度看，函数与反函数，也可以看成一中“对称”（更一般的，变换与反变换，映像与逆映像等等也属于对称）。从命题的角度看，正定理与逆定理，否定理与逆否定理等也存在着“对称”关系，这一点可以从图中显现出来：

应该指出的是，无论是代数中的某些“对称”（如代数多项式变动一些文字的排列），还是几何中的“对称”，人们总可以从中抽取某些共同的本质属性，加以抽象，从而产生新的概念。利用群论可以研究代数方程根的置换理论，研究几何图形变换（包括对称），研究晶体结构等。

二、对称美的应用

1.对称美在数学研究中的作用

数学的对称性除了作为数学自身的属性外，也是数学发现与创造的美学方法之一。许多数学家往往出于对数学对称美的考虑而获得重要的数学结果。

2.补全数学对称美

有些数学问题系对称图形，对偶数式等的一部分，粗看残缺不齐，没有规律，处理起来颇为不易，这时，不妨将其补全为对称问题，利用其对称美来解，饶有趣味。

例：在球面上有4个点P，A，B，C，如果PA，PB，PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球面的面积是（ ）。（1991年的全国高考题。）

分析 ：把三凌锥P-ABC“补美”构造为菱长为a的正方体，容易求得正方体的对角线长为，从而外接球半径为，故球面面积

3. 构造数学对称美

很多数学问题并不具有对称美的特征，但是我们通过观察，类比，联想，构造出与它对称的图形或者对偶的命题，利用我们赋予给数学问题的美，则我们就能够找到巧妙别致的解体思路。

例：如果，证明：。

分析 对两正数用来构造美，设，取，则，由的构造知道，，这样，两数通过构造就成为两个对称的数，于是得到了下面这个式子：

4.对称美具有检验真理的作用

科学史上许多伟人的发明和发现，都是由于追求美感所指引的，但数学的对称美也具有检验真理的作用，大家所熟悉的 ，是数学中的最重要的常数，计算 的近似值，一直以来都引发许多数学家的兴趣，即使不是学数学的人们，都以能够背诵其值的小数位数的值而进行了许多努力，随着计算技术的发展，他别是计算机的出现，计算出的 的小数点的为数不断被刷新，1872年，英国学者威廉。向克斯计算出小数点后的707位，若干年后。数学家法格逊发现，向克斯算出的707位数字中，0—9这10个数字中出现的频率相差太大，这完全不符合数学对称美的审美原则，法格逊有一种直觉，他怀疑向克斯的计算可能有错误，于是下决心进行检验，法格逊整整花了一年的时间进行检验，终于发现707位中只有前面的527位是正确的，但凭借当时的条件，法格逊仍然未能证明他出自审美要求的猜想是正确的，人们想验证它，但却苦于已知的位数太少，直到1937年法国学者让。盖克和芳旦娜对的小数点后1106位中的各数字出现的频率进行统计，其记录是：各个数字出现的次数虽然有差异，但出现的频率却都是 ，这个记录从而证明了法格逊的猜想是正确的。因此说数学中的对称美的具有检验真理的作用。

综上所述，对称性在数学中是普遍存在的，对称性在数学的研究与学习中也扮演着重要的角色，因此我们在从事数学学习与研究的过程中，应注意挖掘数学中丰富多彩的美的因素，利用数学美的简单性，对称性，相似性，和谐性与奇异性考察数学对象，思考数学问题，形成数学思维的美学方法和解题策略。endprint