单级倒立摆基于LMI的H∞控制

吕磊等

摘要：采用拉格朗日方法对单级倒立摆系统进行了数学建模，并进行了稳定性、可控性、可观测性分析。针对单级倒立摆系统的控制问题，采用基于线性矩阵不等式（LMI）的H∞控制算法，并应用matlab对该倒立摆系统进行了仿真实验。结果表明，基于LMI的H∞控制方法考虑了被控对象中存在的各种不确定因素，抑制了扰动对输出的影响，系统的振荡小，调节时间短，响应速度快，使系统具有较强的鲁棒性和较好的动态性能，能够较好地完成倒立摆的运动控制。

关键词：单级倒立摆；H∞控制；拉格朗日；线性矩阵不等式

中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1009-3044（2014）31-7488-05

Abstract： The paper applies Lagrange to single inverted pendulum，models the mathematical model and analyses its stability，controllability and observability.As for the control of a single inverted pendulum，this paper uses H∞ Control based on LMI algorithm and carries out a simulation experiment based on the inverted pendulum in MATLAB.The result shows that this control algorithm considers a lot of uncertain factors，restrains the influence of disturbance.The system has a little oscillation and accommodation time.The algorithm make the system have strong robustness and good dynamic performance，and can effectively finish the motion control of inverted pendulum systems.

Key words： single inverted pendulum； H∞ Control； Lagrange； LMI

1 概述

倒立摆系统结构简单、成本低廉、形象直观、构件组成参数和形状易于改变，它是各种控制理论、控制策略的良好实验装置。倒立摆系统是一种典型的单输入、多输出、强耦合、开环不稳定、不确定、高阶次的复杂非线性系统，它是控制理论中研究的常见对象。研究倒立摆系统以及其控制方法具有很大的理论价值和实际意义。近年来，学者们对倒立摆系统进行了大量的研究，取得了许多的成果。倒立摆系统已由原有的直线倒立摆系统扩展为平面倒立摆系统、环形倒立摆系统等，其控制方法也已经有经典控制理论方法、现代控制理论方法、智能控制理论方法等[1]。倒立摆系统的许多研究成果已经广泛应用于机器人控制技术、卫星姿态控制、火箭稳定发射、工业复杂对象的控制等。

单级倒立摆系统主要是由小车、倒立摆、轨道和电机组成，如图1所示。它的控制目标是通过给小车底座施加一个控制量（如驱动力F），使小车停留在预定的位置，并且使摆杆不超过一个预先定义好的垂直偏离角度范围，即摆杆不会倒下。

在单级倒立摆的控制方面，众多学者应用了不同的控制方法。例如，刘惠超等运用了LQR最优控制方法对单级倒立摆系统进行了仿真实验[2]；李振山应用了积分滑块的方法对倒立摆系统进行了控制[3]；李明杰等运用了分数阶[PIλDμ]控制器对单级倒立摆实现了仿真实验[4]；于春梅等应用了MATLAB和ADAMS软件联合仿真，实现了控制平台的设计[5]。

针对此系统，笔者采用拉格朗日方法建模，并对倒立摆系统进行稳定性、可控性、可观测性分析，通过使用基于LMI的H∞控制方法，利用matlab仿真实验，分析仿真曲线并得出相应结论。

5 结论

本文针对单级倒立摆的控制问题，应用了基于 LMI的H∞控制算法，通过Lyapunov理论分析其稳定性。仿真结果表明，基于LMI的H∞控制方法考虑了被控对象中存在的各种不确定因素，抑制了扰动对输出的影响，系统的振荡小，调节时间短，响应速度快，使系统具有较强的鲁棒性和较好的动态性能，能够较好地完成倒立摆的运动控制。

参考文献：

[1] 孙灵芳，孔辉，刘长国，毕磊.倒立摆系统及研究现状[J].机床与液压，2008（7）.

[2] 刘惠超，孔庆忠.基于MATLAB的倒立摆LQR控制方法的研究[J].机械工程与自动化，2014（4）.

[3] 李振山，陈勇，雷军委.倒立摆系统的建模与积分滑模控制[J].海军航空工程学院学报，2014（3）.

[4] 李明杰，赵志诚，桑海.单级倒立摆的分数阶[PIλDμ]控制器设计[J].太原科技大学学报，2014（1）.

[5] 于春梅，易奎，侯惠让，毕效辉.基于虚拟样机技术的控制系统实验平台开发[J].实验技术与管理， 2014（2）.

[6] 宋君烈，肖军，徐心和.倒立摆系统的Lagrange方程建模与模糊控制[J].东北大学学报，2002（4）.

[7] 王孝武.现代控制理论基础[M].北京：机械工业出版社，2006.

[8] 李艳辉，李红星，李建华，闵江喆.鲁棒H_∞控制在非线性倒立摆系统中的应用[J].大庆石油学院学报. 2007（5）.

[9] 俞立.鲁棒控制-线性矩阵不等式处理方法[M].北京：清华大学出版社，2002.