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探析最短路径问题

2014-12-03李桂生

中学生数理化·教与学 2014年12期
关键词:奶站对称点所求

李桂生

在中考数学试卷中常常出现求几条线段之和最小值的试题.这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况,不但能了解学生综合运用数学知识解题能力,而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考,深入了解学生的探索能力与识别能力,这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义.

现特对求线段和最小值的几种题型进行分析、归纳.

一、两点在一条直线异侧

图1

例1如图1,已知A、B在直线l的两侧,在l上求一点P,使得PA+PB最小.

解:连接AB,线段AB与直线l的交点P,就是所求.(根据两点之间线段最短)

二、两点在一条直线同侧

例2如图2,要在街道旁修建一个奶站C,向居民区A、B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使从A、B到它的距离之和最短.

图2图3

解:只有A、C、B在同一直线上时,才能使AC+BC最小.作点A关于直线“街道”的对称点A′,然后连接A′B,交“街道”于点C,则点C就是所求的点.如图3.因为点A关于直线“街道”的对称点A′,所以AC=A′C.所以AC+BC=A′C+BC,由三角形三边关系可知,A′C+BC>A′B,所以当点C移到点C′时,AC+BC=A′C+BC= A′C′+BC′=A′B. 故此时AC+BC最小.

三、一点在两相交直线内部

例3如图4,已知A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.

图4图5

解:如图5,分别作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;连接A′,A″,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求.因为AB= A′B、AC= A″C,所以当A′B、BC和A″C三条线段在一条直线上时,三条边AB、BC和AC的长度恰好能够体现在一条直线上时,三角形的周长最小.

图6

例4如图6,A、B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)

解:将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E;连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置,MN即为所建的桥.由平移的性质,得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A、B两地的距离为:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若桥的位置建在CD处,连接AC、CD、DB、CE,则AB两地的距离为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在△ACE中,因为AC+CE>AE ,所以AC+CE+MN>AE+MN,即AC+CD+DB>AM+MN+BN.所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短.

四、求圆上动点与定点的距离最小的方案设计

在此问题中,可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得到最优设计方案.

例5一点到圆上的点的最大距离为9,最短距离为1,则圆的半径为多少?

图7图8

解:如图7,当点A在圆外,则最小距离AB=1,最大距离AC=AB+2R=9,所以R=4.如图8,当点A在圆内,则最小距离AB=1,最大距离AC=2R-AB=9,所以R=5.

总之,在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而解决问题.

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