探析最短路径问题

李桂生

在中考数学试卷中常常出现求几条线段之和最小值的试题.这类试题通过考查点在直线上运动时与它相关线段和的最值情况，不但能了解学生综合运用数学知识解题能力，而且还能通过让学生对 “动”与“定”之间的关系的思考，深入了解学生的探索能力与识别能力，这对指导初中数学教师的教学及引导学生的学习有着重要的意义.

现特对求线段和最小值的几种题型进行分析、归纳.

一、两点在一条直线异侧

图1

例1如图1，已知A、B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.

解：连接AB，线段AB与直线l的交点P，就是所求.（根据两点之间线段最短）

二、两点在一条直线同侧

例2如图2，要在街道旁修建一个奶站C，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短.

图2图3

解：只有A、C、B在同一直线上时，才能使AC+BC最小.作点A关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的点.如图3.因为点A关于直线“街道”的对称点A′，所以AC=A′C.所以AC+BC=A′C+BC，由三角形三边关系可知，A′C+BC>A′B，所以当点C移到点C′时，AC+BC=A′C+BC= A′C′+BC′=A′B. 故此时AC+BC最小.

三、一点在两相交直线内部

例3如图4，已知A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

图4图5

解：如图5，分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于点B、点C，则点B、点C即为所求.因为AB= A′B、AC= A″C，所以当A′B、BC和A″C三条线段在一条直线上时，三条边AB、BC和AC的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小.

图6

例4如图6，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

解：将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E；连接AE交河对岸与点M，则点M为建桥的位置，MN即为所建的桥.由平移的性质，得BN∥EM且BN=EM，MN=CD，BD∥CE，BD=CE，所以A、B两地的距离为：AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN.若桥的位置建在CD处，连接AC、CD、DB、CE，则AB两地的距离为AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN.在△ACE中，因为AC+CE>AE ，所以AC+CE+MN>AE+MN，即AC+CD+DB>AM+MN+BN.所以桥的位置建在CD处，AB两地的路程最短.

四、求圆上动点与定点的距离最小的方案设计

在此问题中，可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得到最优设计方案.

例5一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？

图7图8

解：如图7，当点A在圆外，则最小距离AB=1，最大距离AC=AB+2R=9，所以R=4.如图8，当点A在圆内，则最小距离AB=1，最大距离AC=2R-AB=9，所以R=5.

总之，在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而解决问题.