三角函数的最值和综合应用
2014-12-03吴文尧
吴文尧
重点：熟悉基本三角函数最值的求法；通过变形、换元等方法把非基本的三角函数化为基本的三角函数或基本的代数函数的最值问题.
难点：含参数的三角函数最值问题；三角函数最值的综合应用问题.
1. 三角函数的值域或最值的考查，一般有以下两种形式：一种是化为一个角的三角函数的形式，如y=Asin（ωx+φ）+k，要注意角的取值范围的考虑；另一种是转化为以某一三角函数为未知数的常见函数问题，如y=f（sinx），要注意数形结合思想的应用. 具体类型有：
（1）y=asinx+b（或y=acosx+b）型：利用三角函数的有界性或单调性求解.
（2）y=asinx+bcosx型：引用辅助角化为y=sin（x+φ）的形式再利用三角函数的有界性求解.
（3）y=asin2x+bcosx+c（或y=acos2x+bsinx+c）型：先进行换元，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法或图象法求解.
（4）y=或y=型：用分离常数法化为只在分母上含有变量的关系，再根据有界性求解.
（5）y=或y=型：可借助直线的斜率的关系用数形结合的方法求解.
（6）含有sinx±cosx，sinx·cosx型：设t=sinx±cosx，将sinx·cosx转化为t的关系式，化为关于t的函数的最值问题进行处理.
（7）y=asinx+型：利用函数的单调性求解.
2.对于三角函数最值的应用问题通常可用“目标函数”的方法解决，其解题步骤可总结为：“变量→函数→值域”.变量：选择一个量为目标函数的自变量（通常选择某一个角为变量）；函数：求出目标函数的解析式及定义域；最值：求出目标函数的值域，即得所需结论.
例1 （2014年高考新课标卷II）设函数f（x）=sin.若存在f（x）的极值点x0满足x+[f（x0）]2 A. （-∞，-6）∪（6，+∞） B. （-∞，-4）∪（4，+∞） C. （-∞，-2）∪（2，+∞） D. （-∞，-1）∪（4，+∞） 思索 要求得m的取值范围，只需要得到m满足的不等式，故把条件“存在f（x）的极值点x0满足x+[f（x0）]2 破解 由=kπ+解得x0=k+m，此时f（x0）=±. x+[f（x0）]2 例2 在△ABC中，已知内角A=，边BC=2. 设内角B=x，周长为y. （1）求函数y=f（x）的解析式和定义域； （2）求y的最大值. 思索 三角函数最值的考查更多是综合性的应用，三角函数中的三角形问题与三角公式的恒等变换的结合是近年高考考查的热点.本题第（1）问利用正弦定理表示出三角形另两边关于角B的函数关系；第（2）问利用三角公式进行恒等变换，将函数化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值. 破解 （1）△ABC的内角和A+B+C=π，由A=，B>0，C>0得0 （2）因为y=4sinx+cosx+sinx+2=4sinx++2 例3 （2014年高考浙江卷）如图1，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练. 已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小. 若AB=15 m，AC=25 m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是________.（仰角θ为直线AP和平面ABC所成的角） 图1 思索 （1）注意到在图中没有画出角θ，所以首先要画出直线AP和平面ABC所成的角. 图2 （2）如图2，要求tanθ的最大值，即求PQ∶QA的最大值，注意到CQ=PQ，所以原问题转化为：在△AQC中，求两边长的比QC∶QA的最大值.已知∠ACQ为定值，因此可选择∠QAC=φ为目标函数的变量，然后把tanθ表示成φ的函数，进而求出tanθ的最大值. 破解 作PQ⊥BC于Q，则PQ⊥平面ABC，连接AQ，则∠PAQ为直线AP和平面ABC所成的角θ. 由已知，BC=20 m，所以sin∠ACB=，令∠QAC=φ，在△AQC中，由正弦定理可知===AQ，即=sinφ. 又因为CQ=PQ，在Rt△PQA中，tanθ==·sinφ≤，即φ=90°时，tanθ的最大值为. 点评 这是一个立体几何与三角函数综合的最值问题，解决这类问题通常有以下两种方法：一是利用目标函数法解决；二是利用几何意义法解决. 在用目标函数法求最值时，当可用某一线段长作为目标函数的变量，也可用某一角的大小作为目标函数的变量时，多数情况下选择以角为变量，因为角的几何意义比较明显，且学过的一些三角公式可以发挥作用（如该例题没有选择以BQ或CQ为目标函数的变量，而选择∠QAC为目标函数的变量）. 本题还可以利用几何意义法解决，你能想到吗？ 例4 （2014年高考辽宁卷）对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，且使u=2a+b最大时，S=-+的最小值为________. 思索 本题可以运用三角代换的方法，把它化归为三角函数的最值问题.
破解 4a2-2ab+4b2-c=0？圳5（a-b）2+3（a+b）2=2c？圳2+2=1，所以可令a-b=cosθ，a+b=sinθ，解得
a=sinθ+cosθ，b=sinθ-cosθ.？摇所以u=2a+b=（3sinθ+cosθ）=（sinθ+cosθ）=sinθ+cosθ=·sin（θ+φ）（其中φ=arcsin）. 所以θ+φ=时，umax=，此时，sinθ=cosφ=，cosθ=sinφ=.由此可得a=，b=，所以S=-+=-+= -+=--2.所以=，即c=时，Smin=-2.
1.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是________.
2. 已知函数f（x）=-sin2x++6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值.？摇
3. 如图3，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B，P在单位圆上，且已知B-，，∠AOB=α，∠AOP=θ（0<θ<π），=+，四边形OAQP的面积为S.
（1）求cosα+sinα；
（2）求·+S的最大值及此时θ的值θ0 .
图3
4. 已知向量a=cosx，sinx，b=cos，-sin，c=（1，-1），其中 -≤x≤， f（x）=（a+c2-3）（b+c2-3），求f（x）的最大值和最小值.
5. 如图4，扇形OPQ的半径为R，圆心角∠POQ=α0<α<，求扇形的内接矩形的面积S的最大值.
图4
参考答案
1.
2. （1）函数f（x）的最小正周期为π.
（2）函数f（x）的最小值为-2，最大值为2.
3. （1）因B-，，∠AOB=α，cosα=-，sinα=，故cosα+sinα=.
（2）由已知得，A（1，0），P（cosθ，sinθ），所以=（1+cosθ，sinθ），·=1+cosθ. 又S=sinθ，所以·+S=sinθ+cosθ+1=sinθ++1（0<θ<π），则·+S的最大值为+1，此时θ=.
4. 最大值为，最小值为-8.
5. （1）当内接矩形仅有一个顶点在弧PQ上时（如图5），设∠AOP=θ，在Rt△AOD中，AD=Rsinθ，OD=Rcosθ.在Rt△BOC中，OC=BCcotα=ADcotα=Rsinθcotα，所以CD=OD-OC=Rcosθ-Rsinθcotα.其面积S=f（θ）=CD·DA=R2（sinθcosθ-cotαsin2θ）？摇=R2（sin2θ+cotα·cos2θ-cotα）=·（sin2θsinα+cosα·cos2θ-cosα）=·[cos（α-2θ）-cosα]，所以θ=时，Smax=R2=R2tan.
图5 图6
（2）当内接矩形有且仅有两个顶点在弧PQ上时（如图6），设弧PQ的中点为T，A，B在OT上的射影分别为F，E，则矩形ABEF是扇形OTP的内接矩形，且仅有一个顶点在弧TP上，∠POT=. 由（1）可知，矩形ABEF的面积的最大值为R2tan，所以矩形ABCD的面积的最大值Smax=R2tan.由于tan=>2tan，所以R2tan>R2tan. 由（1）（2）可知，Smax=R2tan.endprint
破解 4a2-2ab+4b2-c=0？圳5（a-b）2+3（a+b）2=2c？圳2+2=1，所以可令a-b=cosθ，a+b=sinθ，解得
a=sinθ+cosθ，b=sinθ-cosθ.？摇所以u=2a+b=（3sinθ+cosθ）=（sinθ+cosθ）=sinθ+cosθ=·sin（θ+φ）（其中φ=arcsin）. 所以θ+φ=时，umax=，此时，sinθ=cosφ=，cosθ=sinφ=.由此可得a=，b=，所以S=-+=-+= -+=--2.所以=，即c=时，Smin=-2.
1.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是________.
2. 已知函数f（x）=-sin2x++6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值.？摇
3. 如图3，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B，P在单位圆上，且已知B-，，∠AOB=α，∠AOP=θ（0<θ<π），=+，四边形OAQP的面积为S.
（1）求cosα+sinα；
（2）求·+S的最大值及此时θ的值θ0 .
图3
4. 已知向量a=cosx，sinx，b=cos，-sin，c=（1，-1），其中 -≤x≤， f（x）=（a+c2-3）（b+c2-3），求f（x）的最大值和最小值.
5. 如图4，扇形OPQ的半径为R，圆心角∠POQ=α0<α<，求扇形的内接矩形的面积S的最大值.
图4
参考答案
1.
2. （1）函数f（x）的最小正周期为π.
（2）函数f（x）的最小值为-2，最大值为2.
3. （1）因B-，，∠AOB=α，cosα=-，sinα=，故cosα+sinα=.
（2）由已知得，A（1，0），P（cosθ，sinθ），所以=（1+cosθ，sinθ），·=1+cosθ. 又S=sinθ，所以·+S=sinθ+cosθ+1=sinθ++1（0<θ<π），则·+S的最大值为+1，此时θ=.
4. 最大值为，最小值为-8.
5. （1）当内接矩形仅有一个顶点在弧PQ上时（如图5），设∠AOP=θ，在Rt△AOD中，AD=Rsinθ，OD=Rcosθ.在Rt△BOC中，OC=BCcotα=ADcotα=Rsinθcotα，所以CD=OD-OC=Rcosθ-Rsinθcotα.其面积S=f（θ）=CD·DA=R2（sinθcosθ-cotαsin2θ）？摇=R2（sin2θ+cotα·cos2θ-cotα）=·（sin2θsinα+cosα·cos2θ-cosα）=·[cos（α-2θ）-cosα]，所以θ=时，Smax=R2=R2tan.
图5 图6
（2）当内接矩形有且仅有两个顶点在弧PQ上时（如图6），设弧PQ的中点为T，A，B在OT上的射影分别为F，E，则矩形ABEF是扇形OTP的内接矩形，且仅有一个顶点在弧TP上，∠POT=. 由（1）可知，矩形ABEF的面积的最大值为R2tan，所以矩形ABCD的面积的最大值Smax=R2tan.由于tan=>2tan，所以R2tan>R2tan. 由（1）（2）可知，Smax=R2tan.endprint
破解 4a2-2ab+4b2-c=0？圳5（a-b）2+3（a+b）2=2c？圳2+2=1，所以可令a-b=cosθ，a+b=sinθ，解得
a=sinθ+cosθ，b=sinθ-cosθ.？摇所以u=2a+b=（3sinθ+cosθ）=（sinθ+cosθ）=sinθ+cosθ=·sin（θ+φ）（其中φ=arcsin）. 所以θ+φ=时，umax=，此时，sinθ=cosφ=，cosθ=sinφ=.由此可得a=，b=，所以S=-+=-+= -+=--2.所以=，即c=时，Smin=-2.
1.若△ABC的内角满足sinA+sinB=2sinC，则cosC的最小值是________.
2. 已知函数f（x）=-sin2x++6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间0，上的最大值和最小值.？摇
3. 如图3，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点B，P在单位圆上，且已知B-，，∠AOB=α，∠AOP=θ（0<θ<π），=+，四边形OAQP的面积为S.
（1）求cosα+sinα；
（2）求·+S的最大值及此时θ的值θ0 .
图3
4. 已知向量a=cosx，sinx，b=cos，-sin，c=（1，-1），其中 -≤x≤， f（x）=（a+c2-3）（b+c2-3），求f（x）的最大值和最小值.
5. 如图4，扇形OPQ的半径为R，圆心角∠POQ=α0<α<，求扇形的内接矩形的面积S的最大值.
图4
参考答案
1.
2. （1）函数f（x）的最小正周期为π.
（2）函数f（x）的最小值为-2，最大值为2.
3. （1）因B-，，∠AOB=α，cosα=-，sinα=，故cosα+sinα=.
（2）由已知得，A（1，0），P（cosθ，sinθ），所以=（1+cosθ，sinθ），·=1+cosθ. 又S=sinθ，所以·+S=sinθ+cosθ+1=sinθ++1（0<θ<π），则·+S的最大值为+1，此时θ=.
4. 最大值为，最小值为-8.
5. （1）当内接矩形仅有一个顶点在弧PQ上时（如图5），设∠AOP=θ，在Rt△AOD中，AD=Rsinθ，OD=Rcosθ.在Rt△BOC中，OC=BCcotα=ADcotα=Rsinθcotα，所以CD=OD-OC=Rcosθ-Rsinθcotα.其面积S=f（θ）=CD·DA=R2（sinθcosθ-cotαsin2θ）？摇=R2（sin2θ+cotα·cos2θ-cotα）=·（sin2θsinα+cosα·cos2θ-cosα）=·[cos（α-2θ）-cosα]，所以θ=时，Smax=R2=R2tan.
图5 图6
（2）当内接矩形有且仅有两个顶点在弧PQ上时（如图6），设弧PQ的中点为T，A，B在OT上的射影分别为F，E，则矩形ABEF是扇形OTP的内接矩形，且仅有一个顶点在弧TP上，∠POT=. 由（1）可知，矩形ABEF的面积的最大值为R2tan，所以矩形ABCD的面积的最大值Smax=R2tan.由于tan=>2tan，所以R2tan>R2tan. 由（1）（2）可知，Smax=R2tan.endprint
