突出价值，优化方法
2014-11-29方常春
方常春
摘 要： 本全文剖析中学数学课程中导数的价值，尤其是工具价值.举例说明了怎样运用导数这一工具，优化、深化函数的研究.
关键词： 导数 工具 价值 研究函数
从导数本身的重要性和高考的发展趋势看，我们应该高度重视导数单元的学习.那么，我们应该采取怎样的学习策略呢？本文试图探讨这一问题.
1.剖析中学数学课程中导数的价值
《普通高中数学课程标准教学要求》中的“课程目标”明确指出：通过导数及其应用的教学，（1）理解导数的含义，体会导数的思想及其内涵；（2）掌握导数在研究函数的单调性、极值等性质中的作用；（3）感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用及变量数学的思想方法，提高学生运用导数的知识和函数的思想分析、解决数学问题与实际问题的能力.
由此可见，教学目标对导数及其应用的教学明显地呈三个递进的层面，其中（1）介绍了导数的文化价值，（2）（3）则突出强调了导数的工具价值.对中学生来说，后者无疑是重点.
2.导数的工具价值的主要体现
我们再从近几年的全国高考新课程卷的命题重点来看，利用导数研究函数性态的数学试题有上升的趋势.在这类试题中，导数只不过是一种工具，求导的过程并不难，它不是这类试题的最终落脚点，它的最终落脚点是考查函数的性质及其应用，即以导数为工具，优化、深化函数的研究.
中学数学新课程中导数的工具性和应用主要表现在三个方面：切线的斜率（导数的几何意义）；函数的单调性；函数的极值和最值.
对这些内容学生应从基本概念、基本技能到思想方法都要清楚明了、烂熟于心，形成完善的认知结构.认知心理学告诉我们，学生只有形成完善的认知结构才能转化为能力，从而解决更高层次的问题.
3.优化函数研究方法的应用示例
根据以上的剖析，我们应该把重点放在突出导数的工具价值，优化、深化函数的研究等方面，试举一例说明之.
例：已知函数f（x）=■x■-ax+（a-1）lnx，a>1，
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）证明：若a<5，则对于任意x■，x■∈（0，+∞），x■≠x■，有■>-1.
解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），.
f′（x）=x-a+■=■=■.
①若a-1=1，即a=2，则f′（x）=■，故f（x）在（0，+∞）上单调增加.
②若a-1<1，而a>1，故1 当x∈（0，a-1）及x∈（1，+∞）时，f′（x）>0. 故f（x）在（a-1，1）上单调减少，在（0，a-1），（1，+∞）上单调增加. ③若a-1<1，即a>2，同理可得f（x）在（1，a-1）上单调减少，在（0，1），（a-1，+∞）上单调增加. （2）考虑函数g（x）=f（x）+x=■x■-ax+（a-1）lnx+x， 则g′（x）=x-（a-1）+■≥2■-（a-1）=1-（■-1）■， 由于1 有g（x■）-g（x■）>0，即f（x■）-f（x■）+x■-x■>0，故■>-1； 当0 [简评]本题运用导数研究函数性质的特点非常明显，命题者的意图是将导数作为研究函数性质的工具，求导的过程并不难，难点设计在第二问的构造思想，即构造一个函数：g（x）=f（x）+x=■x■-ax+（a-1）lnx+x.如果以“课程目标”为纲，类似的例子不胜枚举. 由此可见，在导数单元的学习中，我们要防止仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习，而忽视它的思想和价值.不应把重点放在求函数导数的纯技巧、高难度的训练上，避免过量的形式化的运算练习，而应该突出导数的工具价值，优化研究数学问题（特别是函数）的方法，从而强化学生的应用意识.
