小学数学教学应重视表象的桥梁作用

2014-11-28曹炯

教学与管理(小学版) 2014年8期

曹炯

新课程实施以来，笔者观摩了许多示范课、研讨课，发现这么一个现象：上课教师往往在学生观察一定量的直观事物后，就直接总结归纳概念，然后运用概念进行应用判断。这就导致很多学生不能真正理解概念，不能灵活运用概念。学生在学习中出现了明显的思维断层，即在数学教学中从直观感知阶段一下子跳到概括阶段，而后又从概括阶段一下子跳到应用（具体化）阶段，忽略了中间的思维过渡——表象（也是一种知识表征），从而也就缺乏数学思考、数学抽象的能力。

事实上，生动的直观只能为儿童提供理解的起点，而表象的建立则能帮助他们更快地摆脱具体事物的束缚，顺利地向抽象思维过渡。人的思维就是在感性认识，特别是表象的基础上，借助于词语，以知识经验为中介而实现的。事实上，图形（即表象）和文字符号的适当应用即可看成是实现数学抽象的关键所在。

一、正确、丰富的感知，是记忆性表象的基础

儿童思维始终是以直观形象为主，而且必须以学生原有的生活经验建立表象，作为思维的支撑点，这样的思维才会顺畅。但是很多情况下，往往因为有关的表象不能被及时唤醒和提取，从而造成学生解题的困难。这就不得不让我们正视这样一个问题：建立学生思维的表象首先要有正确、丰富的感知。心理学认为，人对事物的第一次接触是最敏感的，教学的成功与否，其中重要一条就是看首次接触数学问题时，学生能否通过各种途径形成正确的表象。表象的清晰度越高，其在学习中起到的促进作用就越大。教学中教师必须重视对数学对象的第一印象，让学生充分感知、建立表象，进而通过归纳、抽象、概括，建构出模型。有经验的教师常常在教学中采取“过电影”的教学策略，即在学生感知了具体事物之后，隐去事物，让学生闭眼回想刚才的事物或情境，帮助学生建立准确鲜明的表象。例如教学《长方体和正方体的认识》时，教师紧紧抓住以下几个环节：

“看”。让学生看实物，如讲例题带实物，学生做习题看实物等。

“拆”。让学生把一个长方体纸盒沿着棱剪开，再展开，看一看展开后的形状，这样，可以使学生把展开后每个面与展开前这个面的位置联系起来。

“做”。让学生做长方体。从形体上要求做三种长方体：长、宽、高不等的；底面是正方形的；长、宽、高相等的。

“画”。教学时，把一个长方体放在桌上，让学生看一看最多能看到它的几个面，然后画立体图和展开图，要求学生练习时也能画。并在一开始的练习中要求学生每题必画，形成正确清晰的表象。

值得注意的是，从上述的案例中我们可以看到：表象的建立首先应是典型的；其次要求所提供的感知材料必须与学生已有的知识经验相结合，否则儿童的认知结构里缺少同化新知识的要素，不利于儿童头脑中概念表象的形成；第三，让学生动手操作，多种感官参与学习，促进表象的形成。

经过充分感知之后的直观事物以心理表象的形式贮存于记忆中，只能达到表象的记忆水平。在数学教学中教师要有意识地帮助学生积累大量的记忆水平的表象，因为大量积累的记忆水平的表象为学生的思维提供了广阔的基础。

二、再造性表象，是构建数学模型的关键

学生学习数学的困难往往发生在由具体直观向抽象思维过渡的“关键点”上，这个时候教师就需要给他们“搭桥”，即给予“依靠”，帮助他们度过难关。教师提供的这种“依靠”，必须带有逐步抽象化的机制，这就是表象不断积累和不断概括的过程。

在关于数学中表象使用的探讨中，引人注目的是波利亚的研究：他基于自己的数学经验提出了成功解题的一系列启发性建议，其中的一条就是“画一个图”，以此来帮助学生很好地学习数学。教师在教学中应该有意识地帮助、训练学生根据数学语言，通过转换自觉主动地重现、再造表象，即教师要努力帮助学生从记忆性表象水平向再造性表象水平发展。因为很多时候，教师教学时，不需要生活经验，只需要激发学生的再造表象就可以了，从而借助表象，逐步发展学生的抽象能力。这里再造表象——视觉空间表征往往被认为是一种有效的学习策略。

例如数学教学中涉及的一些数学术语导致学生不能正确转换成心理表象，从而影响学生的思考，长此以往，就会造成学生解题的困难。如：爱心商店销售了42袋奶粉，还剩17袋，问商店今天原来有多少袋奶粉？有的学生一看到刺激“还剩”，就会引起用减法的错误反应。

由于缺乏应有的“生活数学”表象，这时教师采取的策略就是运用再造表象模拟情境的发生，从而帮助学生顺利地解决问题。

由上可见，运用再造表象解决问题是极富教育价值的。W·多弗勒曾提出：充分而有效的表象图式可以为学生认知数学概念提供支架，因为能够促进个体获得最佳数学理解的途径是领悟命题表达以及与之相对应的表象图式间的相互作用，即数学理解应该建立在形式与内容间的相互联系上，很多数学内容的主观意义完全可以依托表象图式结构而建构。

《课程标准》中指出：应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程。一旦具有的认知图式的部分信息被激活，整个图式就被激活。学生在解决问题的过程中，如果缺乏基本图式，或者原有的图式已模糊，就不能由问题情境的刺激检索或构造出与其相匹配的图式，此时解决问题就会受阻。建立这样一种心理表象能有效地帮助学生解题。同时，值得注意的是构建数学模型过程中，表象的建立一定要注意变式，也只有这样，才能在学习中把握数学模型的本质概念，顺利构建数学模型。

三、创造性表象，是表象性思维的升华

丰富和利用学生的各种表象，特别辅之以联想、想象，会使知识在生动、具体的模拟情境中，得以在内心进行演练与重组，从而加深对知识的理解。在小学数学教学中，很多问题更是离不开数学中的想象表象。例如无限性的理解等，如不依靠想象，就无法得到正确而清晰的极限概念。这是由于人的认识的有限性，对无限问题不可能用经验的方法直接地加以检验，而只能依靠想象，依靠理性思维去把握。例如射线的教学：endprint

（出示线段AB）问：如果以A为端点，向B点方向无限延伸，（教师边说边演示）会是什么样的图形呢？闭上眼睛，想象一下。

师：能把你们想象的图形在纸上画出来吗？

学生作图如下（绝大部分学生都将自己想象的图形画到了纸的边缘）：

师：（展示部分学生作的图形）为什么你们把图形画到了纸的边缘？

生：因为是无限的，它就要延伸到很长很长，所以要画到纸的边缘。

师：那么，画到纸的边缘，是否就画完了你所想象的图形呢？

生：我认为就是给再大的纸也是画不完的。

生：我认为有，假如有一张像宇宙那么大的纸，不就能画了？

师：看来，确实无法找到一张纸，能完全画出想象中的图形。

师：你们知道像这样的图形，在数学中叫它什么吗？

生：射线。（此时学生对于射线的形象在头脑中已有初步的表象。）

师：对啊！射线有些麻烦。它的无限延伸，使得我们无法完整地画出来，可是，为了数学交流的需要，我们总得想个办法来表示射线。你们能想出好办法吗？

生：画一部分，然后在下面写上“无限延伸”四个字。

生：在最后画上省略符号。

师：想不想知道数学上究竟是怎样规定的？

（教师边说边演示作图，在与学生的协商交流中，让学生明确射线的画法。）

从以上的教学片断中我们看到，正是在想象性表象的基础上，一方面学生体验到了射线的“无限性”，另一方面揭示了“想象”与“图例表达”之间的矛盾。从而创造出射线的表示方法，并理解和接受一种数学规定——用一种有限性的射线画法来表达具有无限性的射线，在纯抽象概念与表示抽象概念的表象间建立联系，并适时降低了图例的有限性对射线本质——无限性的负面影响。

因此，表象的最高水平表现为创造性水平。法国数学家阿达玛的研究表明，多数老一辈数学家是借助于表象思维进行思考的。这种具体、直观的或模糊、片断的形象，并非严格推导，也不同于数学中抽象思维所使的概念、理论等，但当它闪现在脑海中时，往往正是人们认识数学对象的本质属性或者寻求解决问题的关键所在。小学数学教学亦然，教师精心组织的直观演示与操作活动，以及学生自己动手操作中清晰的过程和程序，可以在学生的头脑中留下深刻的动态表象，这不仅对于学习抽象的概念、性质和方法极其有利，而且能使学生在知其所以然的基础上获得深刻的理解和牢固的记忆。

现在的数学课堂教学，虽然在新课程理念的影响下，已经注重培养学生的创新思维，但利用表象来帮助学生认识身边的事物及了解和探究它们的一些内在规律，却还是被动的、机械呆板的，不够灵活和实在，表现为学生的知识生成和组合及创造发展方面的欠缺，这尤其需要我们作更多的探索和思考。

参考文献

[1] 郑隆.形象·灵感·审美与数学创造.武汉：湖北教育出版社，1990.

[2] [美]G.波利亚著.怎样解题.北京：科学出版社，1982.