亚纯函数及其k阶导数的一个正规定则

王旭吾

（湖北汽车工业学院 科 技学院，湖北十堰442002）

0 引言

1912年，Montel[1]证明了：

定理1 设 F为区域D 上的一个全纯函数族，若对任意的f∈F，f≠0，且 f≠1，则 F在D 内正规。

1992年，Schwick.W[2]把公共值与正规定则联系起来，证明了：

定理2 设F为区域D 上的一个亚纯函数族，a1，a2，a3为3个不相等的复数，若对任意的f∈F，a1，a2，a3为f与f′在D 上的IM 公共值，则 F在D内正规。

2000年，庞学诚和Zalcman[3]，证明了：

定理3 设F为单位圆盘△上的亚纯函数族，a，b为2个不等的有穷复数，若对任意的f∈F，为f与f′在△上 IM 分担 a和b，则 F在单位圆盘△内正规。

2004年，王晓晶[4]证明了：

定理4 设F为单位圆盘△上的亚纯函数族，a为非零有限复数。若对任意的f∈F，f的零点是重级的，并且 f与f′IM 分担 a，则 F在D 内正规。

2005年，章文华[5]证明了：

定理5 设F为单位圆盘△上的亚纯函数族，k为一正整数，a为一个非零的有穷复数。若对任意的f∈F，f与f（k）IM 分担 a，并且 f（z）的零点重数不小于（k+1），则F在单位圆盘△内正规。

本文中推广了上述结论，证明了更一般的结论：

定理A 设F为单位圆盘△上的亚纯函数族，k为一正整数，a（z）是一个非零的全纯函数。若对任意的f∈F，有f与f（k）IM 分担 a（z）及f（z）的零点重数不小于（k+1），则F在单位圆盘△内正规。

1 重要引理

引理 1[6]设F为区域D上的一个全纯函数族，对于任意的f∈F，f的零点的重级至少为k，且 f（z）＝0时，必有F在z0处不正规，那么对于每一个 α，0≤α≤k，存在：实数 r，0＜r＜1；点列 zn，zn→z0；函数列 fn∈F；正数列 ρn→0，使得函数

在C 上局部一致收敛于一个非常数的整函数g（ξ），且

引理 2[7]正规的亚纯函数的级至多为2，正规的全纯函数的级至多为1。

引理 3[8]设R（z）是一个有理函数，k是一个正整数，b是一个非零复数，若R（z）的零点重级不小于（k+1），且 R（k）＝b，则

其中α，β，γ，δ是常数，且

引理 4[9]设 f（z）为有穷级的超越亚纯函数，k是一个正整数，设a是一个非零的有限复数，若f（z）的所有零点的重数不小于（k+1），则 f（k）无穷次地取到a。

2 定理A的证明

假设F在单位圆盘△内z0处不正规，根据引理 1，必存在：实数 r，0＜r＜1；点列 zn∈△，zn→z0；函数列 fn∈F；正数列 ρn→0，使得函数

在C 上局部一致收敛于一个非常数的亚纯函数G（η），且

由引理2可知，G（η）是一个有限级的亚纯函数。可以得到以下结论：

1）G（η）的零点级数至少为（k+1）；

2）G（k）（η）≠a（z0）；

3）G（η）的极点是多级的。

证明 1）假设存在点η0，使得 G(η0)＝0。G（η）是非常数的亚纯函数，则由Hurwitz 定理，存在一个序列｛ηn｝，ηn→η0，有

因为f的零点级数为（k+1），当j＝0，1，2，…，k时所以G（ξ）的零点级数至少为（k+1）级。1）得证。

证明 2）假设存在一点η0，使得 G（k）（η0）＝a（z0），因为G（k）（η0）＝a（z0），但 G（k）（η）≠a（z0），由Hurwitz 定理，存在一个序列 ηn，ηn→η0，使得

即

证明 3）由之前结论知a（z0）≠0。设 η0是G（η）的极点。假设 η0不是G（η）的多级极点，则存在一个圆盘

由Hurwitz 定理，在K中存在唯一的一个序列ηn，ηn→η0，其中ηn是Gn（η）的一级极点。易得 ηn是（η）的（k+1）重极点，故 η0是（η）的（k+1）重极点。且在K中有Gn（η）→G（η）和（η）→G（k）（η）。

因为Gn（ηn）→∞（n→∞）且在K中有

故存在一组序列 ηn，ηn→η0，且

于是这与2）矛盾。所以G（η）的极点是多级的。

由引理4可知G（η）是非常数的有理函数，由引理3可知G（η）有简单极点，这与3）矛盾。

所以F在z0处正规。又根据引理 1，F在单位圆盘△上正规。

定理A 证毕。

[1]P.Montel.Lecons zlecons surles families normales defonctions analytiques et leursapplications[M].Paris：Gauthier-Villars，1927.

[2]W.Schwick.Sharing values and normality[J].Archiv derMathematik，1992，59：50-54.

[3]Pang X.C.，L.Zalcman.Normality and shared values[J].Arkiv for Mate Matik.，2000，38（6）：171-182.

[4]Wang X.J.Normality of a Family of Meromorphic functions[J].西南师范大学学报，2004，29（1）：22－24.

[5]Zhang.W.H.Normal Families and Uniqueness Related to Shared Values[J].数学研究与评论，2005，25（1）：31－36.

[6]L.Zalcman.Normal families new perspectives[J].Bull.Amer.Math.Soc.New Ser，1998，35：215－230.

[7]J.Clunie，W.K.Hayman.The spherical derivative of integral and meromophic function[J].Comm.Math.Helv.，1966，40：117－148.

[8]Wang Y.F，Fang M.L.Picard values and normal families of meromorphic functionswith multiple zeros[J].Acta Math.Sinica New Series，1998，14（1）：17－26.

[9]W.Bergweiler，A.Eremenko.On the singularities of the inverse to a meromorphic functionof nite order[J].Rev.Mat.Iberoamericana，1995，11：355－373.