Banach空间中渐近伪压缩映象迭代序列的强收敛性

李万继

（湖北汽车工业学院理学院，湖北十堰442002）

关于渐近非扩张和渐近伪压缩映象不动点的迭代逼近问题,在Hilbert 空间、一致凸空间和Banach空间的框架下在文献[1-7]中讨论过。

本文中将继续讨论渐近伪压缩映象和渐近非扩张映象的不动点迭代逼近问题,其证明方法大大简化了文献[6]中的方法，并且研究了在新的定义下的Ishikawa 隐式迭代序列,及其迭代产生的序列的收敛性。

引理1[8]设是非负实数列满足不等式an+1≤(1+δn)an+bn,∀n≥1，如果则存在。

定理 设D是E中一非空有界闭凸子集,T∶D→D是具实数列的一致L-Lipschitz的渐近伪压缩映象,L≥1。如果F(T)≠φ(F(T)表示T的不动点集),q ∈F(T)是任一给定的点,而且存在一严格增加的函数使得

成立。

式中：j(xn+1-q)∈J(xn+1-q)是按渐近伪压缩映象定义中由xn+1和q所确定的元。对∀x0∈D 定义Ishikawa隐式迭代序列

3）αn→0,βn→0(n→+∞);

4）0 ＜βnL ＜1

证明：首先证明所定义的迭代序列是有意义的。

设一映象V,D→D 如下

对∀x1∈D,由可得y1∈D,再由知x2∈D,又由又可得 y2∈D; 再由知x3∈D,继续下去可得序列。

下面证{xn}强收敛于q。为了证明的需要，将式（1）变为

由迭代序列（2）,可作如下估计：

那么

则

则式（3）变为

因为

所以

并且存在N0,当故

因此

2）证明{xn}强收敛于q。

观察不等式

则

令δ=inf{‖ ‖xn+1-q∶n≥0}≥0。下面证明δ=0。否则δ ＞0,则

由于φ是严格增的,则φ(‖ ‖xn+1-q)≥φ(δ)＞0,那么

取和得

由于αn→0,βn→0 且有界。

故

那么又可得到

由归纳法知：对任 意i≥1,有xnj+i→q和ynj+i→q（nj→+∞)。由此得到xn→q,即{}xn强收敛于q。证毕。

[1]Goebel K,kirk W A.A fixed point theorem for asymptotically nonexpansive mappings[J].Pro Amer Math Soc,1972,35（1）∶171-174.

[2]张石生.Banach 空间中渐近非扩张映象不动点的迭代逼近问题[J].应用数学学报，2001，24（2）：236-241.

[3]Schu,Iterative construction of fixed points of asymptotically nonexpansive mappings[J].J.Math.Anal.Appl.,1991,158∶407-413.

[4]Kirk W A.A fixed point theorem for mappings which do not increase distance Amer[J].Math.Monthly,1965,72∶1004-1006.

[5]Liu Q H.Convergence theorems of the sequence of iterates for asymptotically demi-contractive and hemi-contractive mappings[J].Nonlinear Anal.TMA.,1996,26（11）∶1835-1842.

[6]唐玉超，刘理蔚.赋范线性空间中渐近伪压缩映象的不动点迭代逼近[J].应用数学学报，2007，30（5）∶810-815.

[7]Chang S S.Some results for asymptotically pseudo-contractive mappings and asymptotically non-expansive mappings[J].Proc.Amer.Math.Soc,2000,129（3）∶845-853.

[8]Osilike M O,Aniagbosor SC,Akuchu B G.Fixed points of asymptotically demicontrative mappings in arbitrary Banach spaces[J].Pan Amer Math J,2002（12）∶77-88.