矩阵迹的性质与应用

赵馨 魏福红 章树玲

摘要：关于矩阵迹的性质，全面的描述尚不多见，本文给出了矩阵迹的性质，指出了其性质在矩阵计算中的用处，举例说明结果的有效性。

关键词：矩阵迹 性质 应用

1 概述

矩阵的迹及其应用是高等数学的重要内容，也是工程理论研究中的重要工具。本文在前人研究的基础上，首先介绍了矩阵迹的相关性质，然后给出了零矩阵，不相似矩阵，数幂矩阵，列矩阵，幂等矩阵及矩阵不等式的证法，最后对矩阵的应用给出实例。

2 迹基本概念

定义2.1 称trA=■a■为A的迹。

3 矩阵迹的性质

性质3.1 tr（A±B）=trA±trB

性质3.2 tr（kA）=k·trA（k为任意常数）

性质3.3 tr（AB）=tr（BA）

性质3.4 trA=trA′

性质3.5 tr（A2）=■■aijaji

性质3.6 tr（AA′）=■■aij2

性质3.7 trA=■λi （λi 是A的特征值）

性质3.8 tr（A2）=■λi2

性质3.9 若A～B，则trA=trB

性质3.10 若A≠0，A>0，则trA>0

4 矩阵迹的应用

应用4.1 设A，B为同阶实对称矩阵，若A-B正定，则A和B不相似。

证：假设A，B相似，则由性质3.9知，trA=trB，再由性质3.1得 tr（A-B）=trA-trB=0。

故由性质3.10 知A-B不是正定阵，与已知矛盾！从而，A和B不相似。

应用4.2 设n阶矩阵A的对角线上元素全是1，且其特征值为复数，求证A？燮1。

证：设λi（i=1，2，…，n）为A的全部特征值，且λi？叟0，i=1，2，…，n，则有

A=λ1λ2…λn，tr（A）=λ1+λ2 +…+λn

又A的主对角线上的元素全是1，知tr（A）=n，则

■？燮■=■=1

所以，A=λ1λ2…λn？燮1

应用4.3 已知n阶方阵A，若对所有的n阶方阵X有tr（AX）=0，则A=0

证：设A≠0，则有某akm≠0。作矩阵X=（xij），使xmk=1，（i，j）≠（m，k）时，xij=0则矩阵AX主对角线上的元素C■=■a■x■=a■，l=k0， l≠k，tr（AX）=■Cll=akm≠0，

与已知矛盾！故A=0

应用4.4 设A，B，C都是n×n矩阵，且AC=CA， BC=CB，C=AB-BA，则存在不大于n的自然数m，使得Cm=0。

证：先证trCk=0（k为任意自然数）

Ck=Ck-1（AB-BA）=A（Ck-1B）-（Ck-1B）A（1）

由（1）和性质3.1、3.2得：trCk=tr[A（Ck-1B）]-tr[（Ck-1B）A]=0

再证C的特证值都等于0。

设C的特征值为λ1，λ2，…，λn则存在可逆矩阵T，使

C=T-1λ1 * ？埙0 λ2T

即有

0=trCk=λ1k+λ2k+…+λnk （k=1，2，…）（2）

不失一般性，设C的互异的非零特征值为λ1，λ2…，λs，且重数分别为r1，r2，…，rs则（2）式变为：0=r1λ1k+r2λ2k+…+rsλsk （k=1，2，…）。

取前S个等式，因为范德蒙行列式不等于零，因此r1=r2=…=rs=0，即非零特征值都是0重，故C的特征全为0。

再证Cm=0， 由于C的每个若当块都形如

Ji=0 1 0 ？埙 ？埙 1 0■i=1，2，…，t

因此令：

m=max{n1，n2，…，nt}，

则Cm=T-1J■■ ？埙 J■■T=0

参考文献：

[1]北京大学数学力学系.高等代数[M].北京高等教育出版社，1978.

[2]牛华伟，张厚超.关于矩阵迹的性质与应用[J].宁波职业技术学院学报，2009年4月.

[3]方保镕.矩阵论[M].北京：清华大学出版社，2004.

[4]宋占奎.矩阵的迹在解题中的应用[J].陕西工学院学报，2001年3月.