利用可视化思维工具释放小学生数学思维

郑炜珍

一、问题的提出

数学是一切科学技术的基础，一切的科学都是通过数学计算来发现并解决问题的。数学的发展与思维有着密切关系。在学校教学中，大多数有丰富教学经验的数学教师都发现一个普遍现象：当数学题目或题型发生变化，学生便无法应对，失分率至少提高20%。为什么会这样呢？其实“知识加工”和 “问题解决”的思考过程往往是不多见的，而且教师和学生都更多关注答案，忽视答案的生成过程。然而，学生思维的发展并不来自于 “答案的累积”，而来自于 “生成答案的思维方法和过程”。教师应该思考怎么才能使学生在数学学习过程中逐步获得 “深入思考的意识，不断追问的习惯，奇思妙想的胆略”，使他们能够在今后的学习中有着自己个性的见解，能自由 “放牧”独立的思想，获得敏锐的生活视野，在解决生活中的数学问题上游刃有余。要解决这些问题，笔者认为，必须变 “强调答案”为“强调解答的过程”，变 “依靠感性经验答题”为 “运用理性思考解题”，而这就要求我们必须把 “看不见的”思维的过程和方法清晰地呈现出来，以便学生更好地理解、记忆和运用。一图胜千字，图是最直观的语言，易读、易懂、易记而且记得牢。因此，实现 “思维可视化”的最有效方式便是用 “图”把 “思维”呈现出来。

本文所提的可视化思维工具是指运用一系列图示技术把本来不可视的思维 （思考方法和思考路径）呈现出来，使其清晰可见的过程。被可视化的 “思维”更有利于理解和记忆，因此可以有效提高信息加工及信息传递的效能，主要使用韦恩图、X-Y-W线图、鱼骨图、思维导图、金字塔图、蝴蝶图、包容关系图、PMI表格等。可视化思维图表将知识以图解的方法表示出来，直接作用于学生的感官，对学习者提高理解能力和记忆能力，发展逻辑思维和创造性思维有着巨大作用，它在教育领域的应用是学习方式的一场新的革命。本文以 《密铺》一课为例，通过可视化思维工具实现思想和问题的可视化、对想法和信息进行整理，利用思维可视化工具释放小学生数学思维的自由。

二、六年级 《密铺》数学实践课教学实例

（一）养成运用思维可视化工具进行知识整理、构建知识体系的学习习惯

六年级学生抽象思维已初步形成，可以让他们掌握常用思维可视化工具的手绘方法并形成技能。如：韦恩图、X-Y-W线图、鱼骨图、思维导图、金字塔图、蝴蝶图、包容关系图、PMI表格等。大概用了3节课，我就把常用思维可视化工具的手绘方法教完。那时刚好是六年级第二学期，新课内容只用7周就讲授完，剩下的时间都是复习课，因此我会经常布置学生用可视化思维工具进行知识整理、构建知识体系。学生在课间也分享交流这些可视化思维工具，很期待周五的作业。

有一位名字叫方斯蕾的学生对可视化思维工具已到非常着迷的程度。有一次我布置学生回家选一种可视化思维工具整理某一知识内容，她却意犹未尽地用各种可视化思维工具整理了很多不同方面的数学知识。又过2周她告诉我她自己在家运用可视化思维工具整理了自己这段时间的数学错题。可见，学生们在不知不觉中养成了运用思维可视化工具进行知识整理、构建知识体系、分析错题的学习习惯。图1、图2是学生的两张作品。

图1

图2

（二）创造性地使用教材，把缺乏思维挑战性的教材变为有利于思维发展的资源

我发现很多数学课堂缺乏起码的吸引力，主要原因是学习内容对学生没有一定难度，缺乏思维挑战性。这样的课堂教学很容易导致学生处于 “浅思考”甚至 “不思考”状态，妨碍学生思维能力的发展。学生思维能力发展不起来，后期的学习必然会越来越吃力，这样便导致一种不断加深的恶性循环。

下面谈谈我为什么选择用六年级的学生上五年级上册教材中的 《密铺》。

五年级上册的教学目标是知道哪些图形可以密铺就行了，请看这页电子课本 （见图3）。而到了初中二级，教学目标则要求是要掌握图形能否密铺的理由。对比两者的目标，掌握平面图形能否密铺的理由更需要学生具备一定的思维能力。六年级的学生本应做好中小衔接的准备，因此我大胆地进行教学内容的重组；让学生不仅知道哪些图形可以密铺，还让学生掌握图形能否密铺的理由，让学生在实践活动中建模：图形拼接点的几个角能围成360度的就可以密铺。

图3

（三）开展基于问题的协作建模学习活动，释放学生的思维自由，培养学生多种数学思维能力

1.问题情境的创设要有开放性

问题情境的创设要求教师在上课时要善于把备课时的陈述句转变成疑问句。如这节课的问题情境不应该是教师提供生活中密铺的图片，然后告诉学生这就是密铺。这样的课就没提供学生思考的空间，学生是被老师牵着鼻子走的。应该怎样创设问题情境？我们可以先出示生活中一些能密铺的图形，一些不能密铺的图形 （如图4），让学生自己产生疑问：为什么有的图形能密铺，有的图形却不能密铺呢？带着这样的疑问和好奇心，就会产生强烈的任务驱动，开启学生个人思维。

2.在开放的独立学习任务中培养学生个体的思维能力

图4

我在很多公开课上发现存在一些问题：在小组交流时学生并不是全都在积极思考；有时经过讨论，只有个别学生愿意汇报；在交流时有个别学生在忙别的事情；课堂上教师要求讨论时，学生都在讲，但没有听众；讨论看似热闹而没有效果。没有独立思考的合作交流，只是形式上的合作。没有独立思考的交流，只是信息的单项传递，不会产生共鸣和惊奇，合作交流必然流于形式。鉴于这种情况，我在课堂教学中采取的方法是，让每个学生先完成独立任务单再小组完成协作学习任务单，实现人人思考，个个动手，发展个人思维能力。

为了更大程度地释放学生思维的自由，这节课的小组协作任务定为每组研究任务不同，组内再进行分工，这样的研究也会更有思维价值。小组的任务分别有研究三角形、梯形、长方形、正方形、平行四边形等。在一个小组内，再细分研究任务，如研究三角形的小组，不同的同学分别研究等腰三角形、等边三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角形等。有的小组更将学习内容深化，如有一个组每个组员分别研究圆形、梯形、等边三角形、正五边形、正六边形等；有个小组研究不规则的图形能否密铺。不同的任务驱动学生每个个体的思维在数学的知识海洋自由翱翔，自主学习，真正落实培养学生每个个体的思维能力。

我设计的本节课的独立学习任务单如下：

根据小组课前分工，请你把图形用胶水铺在彩色折纸上，看能否密铺，再完成以下内容：

?

3.利用可视化思维工具开展基于问题的小组协作建模学习活动，让学生保持高密度和高强度的思维状态

研究表明：人类的思维特征是呈放射性的，进入大脑的每一条信息、每一种感觉、记忆或思想 （包括每一个词汇、数字、代码、食物、香味、线条、色彩、图像、节拍、音符和纹路），都可作为一个思维分支表现出来，它呈现出来的就是放射性立体结构 （见图5）。每一张思维导图总是从一个中心主题开始，形成一种从中心向四周发射的无穷无尽的分支链的形式。导图利用本身所具备的逻辑归纳的特点，可以帮助我们从材料中找出重点，选择并提炼关键词，进行全面的逻辑梳理与归纳。

图5

在这节课中，我让每个小组开展小组协作学习，把全组学生的独立学习任务单排成一列，讨论找出能否密铺的原因，讨论全组准备利用的思维可视化工具，每组根据能否密铺画出一个思维图，在思维图中分析出每种图形能否单独密铺的理由，并把刚才每人贴在彩色折纸上的图贴在思维图相应的位置中，实现思维可视化 （例见图6、图7）。在本节课中基于任务驱动独立学习后的小组成员有共同的目标或愿景、表现出高度团队的凝聚力、实行权力共享和责任分担、成员彼此鼓励支持、成员相互关怀照顾、充分重视每位成员的闪光点和光明面、最大限度地挖掘或发挥每位成员的潜力、他们利用思维图一起思考，进行头脑风暴，从 “个别优秀”到 “人人优秀”。

图6

图7

小组协作学习活动后开展组间观摩 （如图8），再相互比较。各组组长讲解答问，其他组员到各组评价反思可视，最后归纳互补，建构数学模型。整个活动培养了学生语言表述能力、观察能力、想象能力、概括能力、比较能力、构造能力、综合能力、转化能力、模型化能力等思维能力。

这样，通过特定的图示来显现特定的组织类型和结构关系，为教学者和学习者提供了一种使用信息和认知加工的思维支持框架。

图8

（四）在填写PMI反思表格的过程中促学生高级思维的形成

数学反思能力的发展与数学思维水平有关，抽象逻辑思维本身就是一种反思的思维。数学反思能力的发展，有助于提高认知效率，缩短认知时间。在这节课准备下课前我让学生在填写PMI反思表格的过程中提升高级思维水平，促进学生思维的可持续发展。PMI反思表格见图9。

图9

在学习收获那栏，学生们分别写到： “我学到用导图分析问题”； “我学会了什么是密铺和能否密铺的理由”；“我收获了用鱼骨图分析图形能否密铺的理由”； “这次我学会如果图形密铺，围成拼接点几个角的度数之和必须360度”； “用思维图分析问题更直接清晰”； “我体验了同学间合作完成一件事的配合”； “我收获到团队精神的重要性”； “我收获了用思维导图可以解决新学的知识，探究感兴趣的问题”； “我知道蜂窝是一种密铺图形”。

在不足之处那一栏，学生分别写到： “小组配合得不太好，做得太慢”； “希望课程时间能够延长”； “组长未能有效分工，导致思维导图未完成，真的很遗憾”； “同学间合作的默契不够”； “要提升用思维导图分析问题的能力”； “我没有把研究结论写得更完美，拼图形不太美观”；“自己所在组的思维导图画得有点简单了，不如别组的美观、丰富”。

在还感兴趣的内容那一栏，学生分别写到： “1/4圆形能否密铺？”； “密铺图形除了出现在地板的应用，还应用在什么方面？”； “我还想再多了解一些有关密铺的知识，能够了解更多因为密铺而组成的美丽图案”； “希望能运用更多的可视化思维工具分析其他数学问题”； “还有哪些这节课没提到的图形能密铺？”； “希望将来自己当一名设计师，能利用密铺的知识设计美丽的建筑图案”； “密铺和图形的边有什么关系吗？” “我想了解更多的密铺图形作品”……

看到学生这些反思，我真的觉得他们都在认真思考。通过反思，学生们发现了在协作知识建构过程中的收获、不足之处、还感兴趣的问题。

总之，开展本实验一年，我认为思维可视化工具以直观形象的方式表达知识结构，有利于引导学生进行意义建构，有助于在新授课和活动课中建模，在复习课中建构知识体系；作为教学评价的工具能有效地评价学生创造性思维水平；能有效呈现思考过程及知识的关联，有助于培养学习者的高级思维技能和知识建构能力。

①林建才，董艳，郭巧云.思维导图在新加坡小学华文教学中的实验研究 〔J〕.中国电化教育，2007（10）.

②唐军.技术支持的思维工具在教学中应用的实践研究 〔D〕.华东师范大学，2008.

③赵国庆.概念图、思维导图教学应用若干重要问题的探讨〔J〕 .电化教育研究， 2012 （05） .