一种空中目标航迹的自适应跟踪算法

贺成龙，秦 洪，于永生

信息系统工程重点实验室，南京210007

雷达目标的滤波跟踪算法以目标运动模型为前提，既要保证目标直飞时的航迹平滑，又要实现机动转弯时的快速跟踪.然而，理论运动模型与实际运动模型之间常存在较大差别［1-3］，雷达观测数据亦有测量误差，所以，如何由观测数据估计理论模型的未知参数，以期更好地解决模型与实际系统的精确匹配，是一个值得深入研究的问题.此外，目标的运动状态是时变的，如何校正滤波器增益，达到自适应滤波［4-7］，实现机动目标的平滑快速准确跟踪也是一个研究难点.为改进传统机动目标跟踪方法，本研究提出基于动态有限记忆预测的自适应卡尔曼滤波算法，其速度和加速度的估计采用动态有限记忆测量点的预测，位置则采用一步滤波估计.采用此方式，速度和加速度的估计更贴近工程现实，减小了雷达随机测量误差的波动对速度的估计和影响，而在位置滤波环节，卡尔曼滤波算法的输入扰动与观测噪声则根据目标的运动状态，以及雷达性能参数等进行实时修正，从而达到机动目标的自适应跟踪.这样既能很好地保持直飞时的航迹平滑，又能实现机动转弯时的快速跟踪.

1 自适应跟踪策略

目标运动可看作一个多维时变系统，采用经典卡尔曼滤波方式对目标进行跟踪，其k时刻的离散变量的运动状态方程为

其中，x为n维状态变量;A为n×n阶增益矩阵;B为n×l阶控制输入u的增益矩阵;随机信号w为过程噪声矩阵，表示u的不确定性A将上一时刻k-1的状态线性映射到当前时刻k的状态，B为k-1时刻输入映射，B-1w可视为输入的不确定性.定义m维观测变量z，得量测方程

其中，H为状态变量到观测值的增益，是一个m×n阶矩阵;随机信号v为观测噪声矩阵，表示z的不确定性.

假设w和v相互独立，其正态分布的白噪声分别为

其中，Q为输入噪声的协方差;R为观测噪声的协方差.

图1 雷达目标自适应跟踪框架Fig.1 Adaptive tracking framework of target

采用卡尔曼滤波的基本方程为

其中，下标k表示第k时刻;k-1表示前一时刻;Pk是k时刻的协方差矩阵;为状态x的最优估计量;Ⅰ是单位阵;Kk为k时刻的卡尔曼增益.

此问题中，P的初值选取并不重要，经迭代后将会收敛，Pk，k-1是P由k-1时刻转换到k时刻的中间变量.实时雷达目标跟踪时，采用卡尔曼滤波的难点在于:①目标状态信息的确定.由于雷达一般不能提供速度信息，目标速度和加速度需根据位置信息通过二次计算得到，而雷达随机测量误差又导致位置信息波动较大，严重影响速度和加速度的估计质量;②噪声的确定.观测噪声v不仅与雷达探测精度有关，且与目标到雷达站的距离有关，输入不确定性w直接反映了输入预测u的准确度，与目标的运动状态有较大关系，目标做机动转弯时，u明显滞后，w将大增.为此，本研究提出一种自适应的卡尔曼滤波跟踪算法，用目标的有限记忆测量点来预测目标运动的状态信息，并采用一步滤波计算位置.根据最新测量信息和雷达性能参数修正R，并将修正后的R值引入机动检测环节，用以判定目标运动状态，实现动态调整速度和加速度的估计策略;同时，根据目标机动状态实时修正Q值，达到快速跟踪目标的目的.

算法框架如图1.其中，自适应处理策略包括:①通过机动检测，判定目标运动的机动状态，动态估计速度和加速度，保证直飞段目标速度和加速度估计平滑，转弯段目标速度和加速度更贴近当前真实值，减小滞后;② 根据机动检测估计目标转弯坡度，引入滚转角反馈来实时调整Q，实现转弯的快速跟踪.

2 动态有限记忆的速度与加速度估计

为避免因雷达随机测量误差的波动导致速度和航向估计变化过大，通常采用有限记忆的5～7点来进行平滑计算，而非仅选用最近2点.另外，点数的选取上还需考虑目标的运动状态，若目标处于转弯机动时，选取点数应相应减少，贴近目标当前机动状态，减小了速度与加速度估计的滞后.

为便于速度估计，假定目标作匀速直线运动，真实航迹用一阶多项式表示，即

其中，x为t时刻的位移;x0为初始位置;Vx为目标在x处的移动速度;t为时间，可用最小二乘法求解［8］.位置方程为

这里，n为点数;

在估计速度时，默认目标在当前有限记忆的几个周期里是匀速运动的，最小二乘估计的速度被认为是目标当前的最新速度，则平均加速度可通过计算最近两次的速度变化率得到，即

在探测目标的过程中，信息获取的时间间隔T通常是相同的，设出现第1次信息的时间为0，即t1=0，则t2=T，t3=2T，ti=(i-1)T，tn=(n-1)T.把ti=(i-1)T代入式(13)和式(14)，得

其中，

预测速度的方差为

其中，σ2xi为x轴坐标的测量精度.那么x轴方向上的加速度估计方差为

同理，可得y轴方向的加速度估计方差为

从方差的取值可见，速度和加速度的计算精度与坐标测量精度σx成正比，与测量次数n相关，n越大，ηV就越小，速度与加速度的估计方差越小，即精度越高，但是n取值越大，涉及历史测量信息越多，估计越滞后，直飞影响较小，当目标处于高机动时，反而会导致估计偏差较大.因此，有必要引入机动检测环节，若检测到目标正在进行机动，则适当减小有限记忆点数.

3 机动检测

机动目标跟踪时，判定目标是否进行机动是非常关键的，工程上多采用状态门限判定的方法［9-10］.本研究提出一种滚转角预测的方法，通过利用目标速度与加速度的向量关系，以及飞机协调转弯的特性，近似地求解目标的滚转角度.

由飞行力学可知，现代飞机通过滚转实现转弯.飞机协调转弯时的受力分析见图2［11］.其中，L为升力;G为重力;φ为滚转角.飞机左滚则左转，右滚则右转，滚转角越大，转弯机动越强烈.

图2 飞机转弯受力分析Fig.2 Stress analysis when aircraft turning

协调转弯时，在垂直方向上升力的分力与重力平衡，保持飞机在水平面内飞行，升力的水平分力提供了转弯的向心力F［11］，飞机以恒定的转弯角速度在水平面内作圆周运动，则有

其中，m为飞机质量;g为重力加速度;V为速度的大小.通过联立式(23)和式(24)，可得

定义向量 a=［ax，ay］，V=［Vx，Vy］，可得加速度与速度的夹角余弦，为

将加速度分解到与速度垂直的方向，可近似求得向心力大小为

将式(23)和式(24)代入式(27)，得

解得滚转角为

综上可见，飞机的滚转角度仅与速度和加速度相关，通过计算，可近似得到目标转弯时的滚转角度，滚转角越大，表明转弯越剧烈.判定当前目标是否处于机动，可预设滚转角门限，滚转角若超过该门限值，即认为目标处于机动状态.

4 滤波参数设计

设置目标的状态向量x=［x，˙x，y，˙y］T，观测向量z=［x，y］T，输入u=［ax，ay］T，雷达采样周期为T，状态方程各参数可描述为

滤波参数的选取直接影响位置滤波的效果，观测噪声R主要是由于雷达观测的随机误差造成，可由目标与雷达的距离，以及雷达测量精度确定，而过程激励噪声Q，通常是难以确定的，其值是输入不确定性高低的一个反映.

4.1 噪声协方差矩阵的确定

在目标跟踪问题中，采用直角坐标系的优点在于滤波和外推过程可在线性动态模型上实现.而雷达测量是在极坐标系中完成的，因此采用直角坐标系不可避免地存在量测误差的耦合，考虑二维坐标，测量距离为ρ，方位角为θ，跟踪在X-Y直角坐标系中完成，量测形式为

量测的噪声协方差矩阵为

其中，

4.2 输入扰动不确定性的计算

Q表示输入扰动的不确定性，通常难以被确定的［12］，若输入为加速度，则Q的表达式与加速度估计方差相关，即

其中，加速度估计方差的取值见式(21)和式(22).

目标转弯机动时，加速度估计有明显滞后，且不准确程度明显加大，式(39)并未反映此情况，因此需将滚转角反馈引入Q的计算，如图3.新的加速度估计方差σ2anew由原加速度方差σ2a和滚转角修正量组成，当目标滚转机动时，通过引入滚转角反馈增加目标的输入不确定性，反馈增益Kφ的大小代表滚转角对加速度估计不确定性的影响程度，其取值可通过先尝试选取，再进行仿真验证.

图3 引入滚转角反馈的加速度方差计算示意图Fig.3 Variance calculation after introduced roll angle acceleration feedback

Q的增加，实际上使先验估计误差协方差Pk增大，测量变量zk的权重增加.zk的预测Hxk的权重减小，有助于转弯段的快速跟踪.

5 仿真结果

以某雷达探测点迹数据进行仿真验证，分别取直飞段和转弯段的两段航迹如图4和图5.图4为直飞段仿真航迹，图中两处标注的虚线框区域，较好地表现出滤波航迹有效地抑制了观测噪声，较平稳地按预测的方向飞行.图5中将本研究算法与常规调节滤波参数、交互式多模型 (interacting multiple model，IMM)航迹滤波跟踪方法进行航迹跟踪对比，虚线框标注了目标转弯的快速跟踪，算法能有效检测到转弯，进行快速跟踪，最大转弯偏差为约1 km，IMM交互多模型滤波跟踪，最大转弯偏差约为1.3 km，常规调节滤波参数方法最大转弯偏差约为2.2 km.

图4 直飞段雷达航迹与滤波航迹Fig.4 (Color online)Radar measured track and filtered track in straight flight

图5 转弯段雷达航迹与滤波航迹Fig.5 (Color online)Radar measured track and filtered track in turning flight

本算法通过滚转角预测，能较好地识别转弯机动，同时采用增益反馈参数调节滤波跟踪参数，对Q的补偿量随滚转角渐进变化，连续性较佳，且航迹转弯平滑.常规调节滤波参数的航迹跟踪算法，多采用机动门限判别，弱机动检测能力差，超过门限时会重新调整滤波参数，令滤波参数变化的连续性变差，使航迹容易出现急转现，最大转弯偏差也要大于该算法.采用IMM交互多模型的航迹滤波整体性能与本文的自适应跟踪算法基本相当，在目标转弯时，由于本算法在动态有限记忆的速度和加速度估计环节上调整了航迹点数，减少了估计滞后，转弯半径略小于IMM交互多模型算法.

结 语

通过引入机动检测技术，实现自适应地估计动态有限记忆的速度与加速度，该方法既保证了直飞段速度的平稳，又减小了转弯段的滞后.在位置滤波上，尝试由状态信息进行滚转角预测，并将滚转角引入到滤波参数的自适应修正上，其反馈增益的具体表达式则有待进一步研究.

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