基于牛顿法的电力系统最优潮流计算

朱雪凌，张翠影，赵臣鹏，刘林飞

(华北水利水电大学，河南 郑州450045)

牛顿法具有较好的收敛性，在解最优潮流时必须用到Hessian 矩阵［1］的逆矩阵，其存储量及计算量大，使问题变得复杂，因而如何简化成为首要问题.

1984年，台湾学者Sun D I 等［2］提出应用二次罚函数的牛顿法处理该问题. 该算法不用区分状态变量和控制变量，充分利用电力网络的物理特征，运用Hessian 矩阵的导纳稀疏结构，把等式约束条件和不等式约束条件［3］用Lagrange 乘子引入到目标函数中，直接对拉格朗日函数的Karush-Kuhn-Tucker 条件［4］(简称KKT 条件)进行牛顿法迭代求解，不等式约束用二次罚函数来处理. 文中采用二次罚函数的牛顿法来求解最优潮流，并经试验验证了该方法具有很强的实用性及经济性.

1 牛顿法的数学模型

1.1 非线性规划的数学模型

典型的非线性规划问题［5］就是求解目标函数的极大值或极小值问题，文中所求的是极小值，数学模型可表示为:

1.2 牛顿法的描述

只考虑等式约束g(x)= 0 时，Lagrange 函数可表示为

其中λ 是Lagrange 乘子［6］，

根据库恩－ 塔克条件［7］，在极小值点(x*，λ*)进行Taylor 展开:

将二次项及高次项忽略，式(5)变为

式中H 和J 分别为Hessian 和Jacobian 矩阵.

将等式约束g(x)= 0 在变量初始值x0处进行Taylor 展开:

忽略二次项与高次项得:

由式(6)和式(7)得:

式(8)则为求等式约束非线性规划问题的牛顿修正方程式［8］.而不等式约束条件h(x)≥0，用二次罚函数［9］来处理，扩展后的Lagrange 函数表示为

式中:Ci为罚因子［10］;i 为不等式约束的个数.把

作为扩展目标函数，考虑不等式约束后的牛顿修正方程为

可见，不等式约束只影响Hessian 矩阵系数和等式的右侧.

2 最优潮流的数学模型

2.1 最优潮流

最优潮流(OPF)问题［11］是一个典型的带约束条件的非线性优化问题，进行最优潮流计算时，一般以系统发出有功、无功成本最小为目标函数，其数学模型为

式中fpi(Pgi)，fqi(Qgi)为机组i 的燃料耗费.

2.2 约束条件

等式约束条件为

式中:Pgi，PLi分别为机组i 有功出力和有功负荷;Qgi，QLi分别为机组i 无功出力和无功负荷;P(V，θ)，Q(V，θ)分别为有功和无功网损. 式(12)和式(13)也是节点潮流方程［12］.

2.3 不等式约束

不等式约束条件为

3 算法步骤

算法步骤如下:

1)输入原始数据，给出初始值θ0，V0，λP0，λQ0;

2)节点进行优化排队;

3)形成Hessian 矩阵和Jacobian 矩阵，进行惩罚修正;

4)求解修正方程，得出:

5)求得步骤4 中结果看是否符合库恩－塔克条件，若符合则结束运算，否则返回到第2 步;

6)停止运算.

4 实例计算

以IEEE14［14］节点标准系统为例，运用MATLAB 编程进行最优潮流计算，所得支路节点和母线最优潮流结果见表1和表2. 该算法求得的最优潮流收敛时间在5. 52 s 以内，系统的发电成本为8 081.53 |S/h. 由此可以看出，该算法收敛速度较快，求得的发电成本较低.

表1 支路节点最优潮流计算结果

表2 母线最优潮流计算结果

5 结 语

由试验数据看出:对于复杂的电力系统最优潮流问题，牛顿法可以较为精确地求出计算的结果;用二次罚函数处理不等式约束条件，使复杂问题简单化.同时，二次罚函数的牛顿法的收敛性较好，运算速度较快，求得的发电成本较低，具有很强的经济性与实用性，适合求解大系统的最优潮流问题.

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