小学数学典型错例分析

孙临美

在数学学习中，习题是个重要的载体，它承载着数学知识和数学思想，学生通过习题可以加强对数学基本知识和基本技能的掌握与理解，教师也可以利用习题开展教学工作和检测学生的学习质量。因此，笔者以自己任教的两个班的学生为研究对象，其中五（3）班有35人，五（4）班有36人，共计71人。同时，以五年级上的一次综合练习为例，分析班级学生的集中错误点，管窥当前学生数学学习中出现错误的情况，探究由于错误所折射出的问题，为提高学生的学习效率、激发学生学习的主动性而努力。

一、生活知识匮乏，关键信息抓不准

“让数学从生活中来，回到生活中去”是新课程改革以来非常重要的一个理念，明确了数学的实用价值，因此，教师在数学教学中应当认真贯彻这一理念。但是，在实际的教学过程中，我们发现，由于学生生活知识的匮乏，往往不能理解相关的数学问题，不能抓准关键信息，许多简单的数学实际问题，对于学生来说却是困难重重。

例1：电子秤显示0.725kg，单价是25元/kg，张师傅实付多少元？

正确解法：0.725×25=18.125≈18.13（元）

错例分析：两个班共有46位学生将结果写成了18.125，占总人数的64.7%，只有11位学生正确写成18.13，占总人数的15.5%，另有14位学生完全算错。考查的知识点是结合生活实际“元、角、分”保留两位小数，题目中“实付”两字也提醒学生需要结合实际。产生错误的原因：一是平时教学中虽然强调过保留小数位数的方法，即“四舍五入”的方法，但是日常的练习题中多已明确告知学生需要保留的位数，不需学生自己判断，而此题保留位数是隐含的信息，需要学生学会观察和分析；二是生活知识缺乏，实际问题的分析能力偏弱，没有抓住题目中的“实付”这一关键信息解决问题。

二、思考不深入，数学思维周密性不够

数学思维是人脑对数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的过程。数学思维实质上是数学活动中的思维，它具有深刻性、广阔性、灵活性、独创性、敏捷性、批判性。由于小学生的思维以具体形象思维为主，并且主观意识较强，所以，在数学思维上会出现思考不够深入，思维不够周密的问题。

例2：一个平行四边形的高是10厘米，它的两条边长分别是8厘米和12厘米，这个平行四边形的面积是多少？

错例分析：两个班共有38人发生错误，占总人数的53.5%。发生错误的学生大多认为面积有两种可能性，即为80平方厘米或者120平方厘米，原因在于认为题目中的高没有说明具体对应的底，那么两条边都可能作为平行四边形的底。但是，若以12厘米这条边为底，高为10厘米，斜边为8厘米，这样就不可能组成直角三角形，也就是说，上图中左边的所谓平行四边形是不存在的。因此，这个平行四边形的底只能选择8厘米这条边，面积为8×10=80平方厘米。这一错误的产生说明学生思维的周密性仍然不足，虽然考虑到了可能存在的两种情况，但没有进一步去推敲这两种可能性是否一定存在。

三、数学的转化与代换能力不足

随着新课程改革的深入开展，新的教育理念、教学方式对学生的学习方式产生了巨大的影响，也对小学生数学能力的提高提出了新的要求。其中数学的转化与代换能力尤为重要，学生在解决数学问题时，不但要抓住题目中的关键信息，还要学会分析题干之间的联系，学会综合考虑问题，找到“中间量”，通过等量代换或转化的形式将复杂的数学问题分解成若干个简单的数学问题。但显然，从习题的错例中不难看出学生数学转化与代换的能力仍显不足。

例3：

上图中ABCD是边长为10厘米的正方形， 三角形DOC的面积比三角形AOE的面积小8平方厘米，求阴影部分的面积。

正确解法：三角形ACD的面积为10×10÷2=50（平方厘米），根据等底等高的性质，三角形ACD和三角形CDE面积相等，三角形DOC是公共部分，所以三角形DOE和AOC面积相等，阴影部分的面积是50+8=58（平方厘米）。

错例分析：该题两个班错误的共有16人，占总人数的22.5%。大多错误在于学生没有找到三角形ACD和三角形CDE面积相等这一隐含信息，所以不会做。此题考查学生等积变形和面积转化的思想，其实在平时练习中也有过类似的题目，因此，学生对于图形面积之间多几与少几的转化方法并不陌生，只是这题需要先利用等积变换知道三角形ACD的面积等于三角形CDE的面积，再通过转化和代换来求出阴影面积，比平时的练习多了一步等积变形，特别考验学生的空间想象能力和数学思维中的转化与代换能力。

四、审题不清，易上干扰信息的当

“审题”是解题的前提，是正确解题的关键之一，不认真审题就无法进行分析推理。所谓“审题”，就是弄清题目内容，弄清已经知道什么，要求（求证）什么。所以审题能力的高低，直接影响到学生的解题能力和数学学习的水平。小学生的注意力不够稳定，并且处于学习习惯的养成时期，特别容易犯审题不清的错误，也容易受题目中无关信息的干扰。

例4：一瓶可乐售价2.50元，M老师买了K瓶，付了50元，可以找回（ ）元（用含有字母的式子表示），下面的数中，K可能是（ ）。

选项：①任何数 ②15 ③25

正确解法：找回（50-2.5K）元，K的范围是0

错例分析：这题两个班中错误的有17人，占总人数的24.0%。集中错误发生在学生将M老师当成M个老师去计算了，即（50-2.5KM）元，属于审题不够清晰，不能分辨信息的有效性。这题考查的知识点是用字母表示数，因为该知识点上新课时已经接触过类似题型，变化的只是M老师这一干扰项； 而K的可能性范围在课堂上的类似题型中也有过辨析，而本题中考查学生不仅要知道范围，还得知道这个数只能是整数，其实是考虑了“生活中的数学元素”。因此，看学生错误的高发点，作为教师也需反思，我们在日常的教学中，尤其是在例题教学中，要特别重视培养学生的审题能力，使学生养成良好的审题习惯，开阔审题思路，让学生掌握数学的审题步骤和方法，这样才能提高学生的解题水平和解题技巧。

众多的典型错误，折射出当前小学生数学学习与教学中的许多问题。产生的原因也有很多，其中包括学生的学习习惯、数学思维方法方面的原因，也包括课堂教学方面存在的不足。因此，笔者认为，应从学生的主体性着手，提高学生数学学习的素养，养成良好的数学学习习惯，在日常教学中有意识地进行数学思维方法的渗透，分层展开练习，分层差异评价，通过多方面的措施来提高学生数学学习的效率，激发学生的学习兴趣，从而达到“轻负高质”的目标，最终促进学生的数学学习能力的提高。

（浙江省杭州濮家小学教育集团 310000）

在数学学习中，习题是个重要的载体，它承载着数学知识和数学思想，学生通过习题可以加强对数学基本知识和基本技能的掌握与理解，教师也可以利用习题开展教学工作和检测学生的学习质量。因此，笔者以自己任教的两个班的学生为研究对象，其中五（3）班有35人，五（4）班有36人，共计71人。同时，以五年级上的一次综合练习为例，分析班级学生的集中错误点，管窥当前学生数学学习中出现错误的情况，探究由于错误所折射出的问题，为提高学生的学习效率、激发学生学习的主动性而努力。

一、生活知识匮乏，关键信息抓不准

“让数学从生活中来，回到生活中去”是新课程改革以来非常重要的一个理念，明确了数学的实用价值，因此，教师在数学教学中应当认真贯彻这一理念。但是，在实际的教学过程中，我们发现，由于学生生活知识的匮乏，往往不能理解相关的数学问题，不能抓准关键信息，许多简单的数学实际问题，对于学生来说却是困难重重。

例1：电子秤显示0.725kg，单价是25元/kg，张师傅实付多少元？

正确解法：0.725×25=18.125≈18.13（元）

错例分析：两个班共有46位学生将结果写成了18.125，占总人数的64.7%，只有11位学生正确写成18.13，占总人数的15.5%，另有14位学生完全算错。考查的知识点是结合生活实际“元、角、分”保留两位小数，题目中“实付”两字也提醒学生需要结合实际。产生错误的原因：一是平时教学中虽然强调过保留小数位数的方法，即“四舍五入”的方法，但是日常的练习题中多已明确告知学生需要保留的位数，不需学生自己判断，而此题保留位数是隐含的信息，需要学生学会观察和分析；二是生活知识缺乏，实际问题的分析能力偏弱，没有抓住题目中的“实付”这一关键信息解决问题。

二、思考不深入，数学思维周密性不够

数学思维是人脑对数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的过程。数学思维实质上是数学活动中的思维，它具有深刻性、广阔性、灵活性、独创性、敏捷性、批判性。由于小学生的思维以具体形象思维为主，并且主观意识较强，所以，在数学思维上会出现思考不够深入，思维不够周密的问题。

例2：一个平行四边形的高是10厘米，它的两条边长分别是8厘米和12厘米，这个平行四边形的面积是多少？

错例分析：两个班共有38人发生错误，占总人数的53.5%。发生错误的学生大多认为面积有两种可能性，即为80平方厘米或者120平方厘米，原因在于认为题目中的高没有说明具体对应的底，那么两条边都可能作为平行四边形的底。但是，若以12厘米这条边为底，高为10厘米，斜边为8厘米，这样就不可能组成直角三角形，也就是说，上图中左边的所谓平行四边形是不存在的。因此，这个平行四边形的底只能选择8厘米这条边，面积为8×10=80平方厘米。这一错误的产生说明学生思维的周密性仍然不足，虽然考虑到了可能存在的两种情况，但没有进一步去推敲这两种可能性是否一定存在。

三、数学的转化与代换能力不足

随着新课程改革的深入开展，新的教育理念、教学方式对学生的学习方式产生了巨大的影响，也对小学生数学能力的提高提出了新的要求。其中数学的转化与代换能力尤为重要，学生在解决数学问题时，不但要抓住题目中的关键信息，还要学会分析题干之间的联系，学会综合考虑问题，找到“中间量”，通过等量代换或转化的形式将复杂的数学问题分解成若干个简单的数学问题。但显然，从习题的错例中不难看出学生数学转化与代换的能力仍显不足。

例3：

上图中ABCD是边长为10厘米的正方形， 三角形DOC的面积比三角形AOE的面积小8平方厘米，求阴影部分的面积。

正确解法：三角形ACD的面积为10×10÷2=50（平方厘米），根据等底等高的性质，三角形ACD和三角形CDE面积相等，三角形DOC是公共部分，所以三角形DOE和AOC面积相等，阴影部分的面积是50+8=58（平方厘米）。

错例分析：该题两个班错误的共有16人，占总人数的22.5%。大多错误在于学生没有找到三角形ACD和三角形CDE面积相等这一隐含信息，所以不会做。此题考查学生等积变形和面积转化的思想，其实在平时练习中也有过类似的题目，因此，学生对于图形面积之间多几与少几的转化方法并不陌生，只是这题需要先利用等积变换知道三角形ACD的面积等于三角形CDE的面积，再通过转化和代换来求出阴影面积，比平时的练习多了一步等积变形，特别考验学生的空间想象能力和数学思维中的转化与代换能力。

四、审题不清，易上干扰信息的当

“审题”是解题的前提，是正确解题的关键之一，不认真审题就无法进行分析推理。所谓“审题”，就是弄清题目内容，弄清已经知道什么，要求（求证）什么。所以审题能力的高低，直接影响到学生的解题能力和数学学习的水平。小学生的注意力不够稳定，并且处于学习习惯的养成时期，特别容易犯审题不清的错误，也容易受题目中无关信息的干扰。

例4：一瓶可乐售价2.50元，M老师买了K瓶，付了50元，可以找回（ ）元（用含有字母的式子表示），下面的数中，K可能是（ ）。

选项：①任何数 ②15 ③25

正确解法：找回（50-2.5K）元，K的范围是0

错例分析：这题两个班中错误的有17人，占总人数的24.0%。集中错误发生在学生将M老师当成M个老师去计算了，即（50-2.5KM）元，属于审题不够清晰，不能分辨信息的有效性。这题考查的知识点是用字母表示数，因为该知识点上新课时已经接触过类似题型，变化的只是M老师这一干扰项； 而K的可能性范围在课堂上的类似题型中也有过辨析，而本题中考查学生不仅要知道范围，还得知道这个数只能是整数，其实是考虑了“生活中的数学元素”。因此，看学生错误的高发点，作为教师也需反思，我们在日常的教学中，尤其是在例题教学中，要特别重视培养学生的审题能力，使学生养成良好的审题习惯，开阔审题思路，让学生掌握数学的审题步骤和方法，这样才能提高学生的解题水平和解题技巧。

众多的典型错误，折射出当前小学生数学学习与教学中的许多问题。产生的原因也有很多，其中包括学生的学习习惯、数学思维方法方面的原因，也包括课堂教学方面存在的不足。因此，笔者认为，应从学生的主体性着手，提高学生数学学习的素养，养成良好的数学学习习惯，在日常教学中有意识地进行数学思维方法的渗透，分层展开练习，分层差异评价，通过多方面的措施来提高学生数学学习的效率，激发学生的学习兴趣，从而达到“轻负高质”的目标，最终促进学生的数学学习能力的提高。

（浙江省杭州濮家小学教育集团 310000）

在数学学习中，习题是个重要的载体，它承载着数学知识和数学思想，学生通过习题可以加强对数学基本知识和基本技能的掌握与理解，教师也可以利用习题开展教学工作和检测学生的学习质量。因此，笔者以自己任教的两个班的学生为研究对象，其中五（3）班有35人，五（4）班有36人，共计71人。同时，以五年级上的一次综合练习为例，分析班级学生的集中错误点，管窥当前学生数学学习中出现错误的情况，探究由于错误所折射出的问题，为提高学生的学习效率、激发学生学习的主动性而努力。

一、生活知识匮乏，关键信息抓不准

“让数学从生活中来，回到生活中去”是新课程改革以来非常重要的一个理念，明确了数学的实用价值，因此，教师在数学教学中应当认真贯彻这一理念。但是，在实际的教学过程中，我们发现，由于学生生活知识的匮乏，往往不能理解相关的数学问题，不能抓准关键信息，许多简单的数学实际问题，对于学生来说却是困难重重。

例1：电子秤显示0.725kg，单价是25元/kg，张师傅实付多少元？

正确解法：0.725×25=18.125≈18.13（元）

错例分析：两个班共有46位学生将结果写成了18.125，占总人数的64.7%，只有11位学生正确写成18.13，占总人数的15.5%，另有14位学生完全算错。考查的知识点是结合生活实际“元、角、分”保留两位小数，题目中“实付”两字也提醒学生需要结合实际。产生错误的原因：一是平时教学中虽然强调过保留小数位数的方法，即“四舍五入”的方法，但是日常的练习题中多已明确告知学生需要保留的位数，不需学生自己判断，而此题保留位数是隐含的信息，需要学生学会观察和分析；二是生活知识缺乏，实际问题的分析能力偏弱，没有抓住题目中的“实付”这一关键信息解决问题。

二、思考不深入，数学思维周密性不够

数学思维是人脑对数学对象交互作用并按一般思维规律认识数学规律的过程。数学思维实质上是数学活动中的思维，它具有深刻性、广阔性、灵活性、独创性、敏捷性、批判性。由于小学生的思维以具体形象思维为主，并且主观意识较强，所以，在数学思维上会出现思考不够深入，思维不够周密的问题。

例2：一个平行四边形的高是10厘米，它的两条边长分别是8厘米和12厘米，这个平行四边形的面积是多少？

错例分析：两个班共有38人发生错误，占总人数的53.5%。发生错误的学生大多认为面积有两种可能性，即为80平方厘米或者120平方厘米，原因在于认为题目中的高没有说明具体对应的底，那么两条边都可能作为平行四边形的底。但是，若以12厘米这条边为底，高为10厘米，斜边为8厘米，这样就不可能组成直角三角形，也就是说，上图中左边的所谓平行四边形是不存在的。因此，这个平行四边形的底只能选择8厘米这条边，面积为8×10=80平方厘米。这一错误的产生说明学生思维的周密性仍然不足，虽然考虑到了可能存在的两种情况，但没有进一步去推敲这两种可能性是否一定存在。

三、数学的转化与代换能力不足

随着新课程改革的深入开展，新的教育理念、教学方式对学生的学习方式产生了巨大的影响，也对小学生数学能力的提高提出了新的要求。其中数学的转化与代换能力尤为重要，学生在解决数学问题时，不但要抓住题目中的关键信息，还要学会分析题干之间的联系，学会综合考虑问题，找到“中间量”，通过等量代换或转化的形式将复杂的数学问题分解成若干个简单的数学问题。但显然，从习题的错例中不难看出学生数学转化与代换的能力仍显不足。

例3：

上图中ABCD是边长为10厘米的正方形， 三角形DOC的面积比三角形AOE的面积小8平方厘米，求阴影部分的面积。

正确解法：三角形ACD的面积为10×10÷2=50（平方厘米），根据等底等高的性质，三角形ACD和三角形CDE面积相等，三角形DOC是公共部分，所以三角形DOE和AOC面积相等，阴影部分的面积是50+8=58（平方厘米）。

错例分析：该题两个班错误的共有16人，占总人数的22.5%。大多错误在于学生没有找到三角形ACD和三角形CDE面积相等这一隐含信息，所以不会做。此题考查学生等积变形和面积转化的思想，其实在平时练习中也有过类似的题目，因此，学生对于图形面积之间多几与少几的转化方法并不陌生，只是这题需要先利用等积变换知道三角形ACD的面积等于三角形CDE的面积，再通过转化和代换来求出阴影面积，比平时的练习多了一步等积变形，特别考验学生的空间想象能力和数学思维中的转化与代换能力。

四、审题不清，易上干扰信息的当

“审题”是解题的前提，是正确解题的关键之一，不认真审题就无法进行分析推理。所谓“审题”，就是弄清题目内容，弄清已经知道什么，要求（求证）什么。所以审题能力的高低，直接影响到学生的解题能力和数学学习的水平。小学生的注意力不够稳定，并且处于学习习惯的养成时期，特别容易犯审题不清的错误，也容易受题目中无关信息的干扰。

例4：一瓶可乐售价2.50元，M老师买了K瓶，付了50元，可以找回（ ）元（用含有字母的式子表示），下面的数中，K可能是（ ）。

选项：①任何数 ②15 ③25

正确解法：找回（50-2.5K）元，K的范围是0

错例分析：这题两个班中错误的有17人，占总人数的24.0%。集中错误发生在学生将M老师当成M个老师去计算了，即（50-2.5KM）元，属于审题不够清晰，不能分辨信息的有效性。这题考查的知识点是用字母表示数，因为该知识点上新课时已经接触过类似题型，变化的只是M老师这一干扰项； 而K的可能性范围在课堂上的类似题型中也有过辨析，而本题中考查学生不仅要知道范围，还得知道这个数只能是整数，其实是考虑了“生活中的数学元素”。因此，看学生错误的高发点，作为教师也需反思，我们在日常的教学中，尤其是在例题教学中，要特别重视培养学生的审题能力，使学生养成良好的审题习惯，开阔审题思路，让学生掌握数学的审题步骤和方法，这样才能提高学生的解题水平和解题技巧。

众多的典型错误，折射出当前小学生数学学习与教学中的许多问题。产生的原因也有很多，其中包括学生的学习习惯、数学思维方法方面的原因，也包括课堂教学方面存在的不足。因此，笔者认为，应从学生的主体性着手，提高学生数学学习的素养，养成良好的数学学习习惯，在日常教学中有意识地进行数学思维方法的渗透，分层展开练习，分层差异评价，通过多方面的措施来提高学生数学学习的效率，激发学生的学习兴趣，从而达到“轻负高质”的目标，最终促进学生的数学学习能力的提高。

（浙江省杭州濮家小学教育集团 310000）