一道高考不等式证明题的几种证法

刘亚军

在普通高中课程标准试验教科书《数学》（不等式选讲）专题介绍了一些重要的不等式（基本不等式、柯西不等式、排序不等式）及其应用。通过一道高考数学中出现的不等式证明试题，从不同角度借助这些不等式对该题进行证明以加深对这些重要不等式数学本质的理解，可提高学生的逻辑思维能力和分析问题能力、解决问题能力。

高中数学柯西不等式排序不等式不等式的证明是高中数学学习的一个重要内容，在不等式选讲专题中介绍了一些重要的不等式，许多不等式都可以借助它得到证明。

题目：2013年高考文科数学全国课标卷Ⅱ，第24题（选修4-5：不等式选讲）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1.证明：

用基本不等式证明不等式时灵活性强、要求较高的技巧，往往使许多学生不知从何入手。利用基本不等式解题的关键在于凑“定和”或“定积”，运用“拆”“凑”“平衡”等方法使“和式”或“积式”变为定值，把问题转化为基本不等式形式再来求解.

证法二：利用柯西不等式

排序不等式也是基本而重要的不等式，它的思想简单明了，便于记忆和使用，许多重要不等式可以借助排序不等式得到证明.

在证明不等式时，要依据命题提供的信息选择合适的方法与技巧进行证明，不等式的证明方法很多，解题时既要充分利用已知条件，又要时刻瞄准解题目标，只有兼顾条件与结论，才能找到正确的解题途径.

参考文献：

[1]普通高中课程标准试验教科书《数学》选修4-5（不等式选讲）.人民教育出版社，2013.