利用simpson积分公式计算曲面表面积
2014-11-10夏军剑张新巍李维伟
夏军剑++张新巍++李维伟
摘 要：二重积分的数值算法比较常见，但求高精度曲面面积的数值算法几乎没有。本文利用simpson积分公式推导了二阶simpson积分公式，并结合三点数值微分计算公式建立了一种高效的计算曲面面积的数值计算公式。通过matlab实验仿真，结果证明本文的方法有4阶的精度而传统的方法只有2阶的精度。不足之处就是计算公式比较复杂，算法的运算效率稍低，但是在相同的精度下，运算时间还是较传统方法少，所以方法的实用性很强。
关键词：曲面面积 数值计算 数值微分 积分
中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（b）-0238-02
在计算地形表面时，由于地面高低起伏不定，是一个不规则的曲面，因此我们想通过数学软件拟合出一个函数来近似是不可能的。但是，在其局部区域，地面相对平整，可以认为是平面或者二次曲面，可以通过对局部曲面面积的计算得到整个区域的表面积。对表面积的计算我们有许多建立在数值上的近似的方法。[1～2]由于上述模型的建立是基于多网格化下小区域内曲面积近似等于平面面积，因此计算结果存在一定误差，且计算精度不易分析。为了减小误差，提高精度，我们把数值分析中计算定积分的Simpson公式推广到二重积分上，建立计算表面积的数值计算公式。
1 二重积分的复化Simpson积分公式
把Simpson公式推广应用到二重积分上，设在上有连续的4阶偏导数，我们得到：
二重积分Simpson公式需要用到9个节点。所以，我们把积分区域划分成的方格，取如图1四个方格共有9个节点组成一个大方格，于是：
2 曲面数值积分公式
已知曲面方程为，那么曲面面积为：
函数使用三点数值微分公式来近似代替偏导数[4]，有：
3 算例分析
例 曲面函数在矩形区域内的表面积。
其表面积计算的精确值为：
在相同的分割网格下，数值计算结果如表1。
4 结论
通过实验可知基于本文的方法求解面积算法的误差是，而传统的“三角形法”误差是，因此本文的算法远好于三角形法。虽然它的计算公式比较复杂，计算效率不高，但是在要求相同精度的条件下，它的计算时间是还是比“三角形法”少的多。由此可以看出本算法需要信息点少，精度较好，运算速度快，具有较大的实用价值。
参考文献
[1] 肖泽昌，杜跃鹏.带端点3阶导数的Simpson修正公式[J].吉首大学学报：自然科学版，2008，29（4）.
[2] 张正印.二重积分的Simpson公式及其误差估计[J].内蒙古民族师院学报，1995，10（1）.
[3] 同济大学.《微积分》第三版下册[M].北京：高等教育出版社：122.
[4] 数值分析[M].endprint
摘 要：二重积分的数值算法比较常见，但求高精度曲面面积的数值算法几乎没有。本文利用simpson积分公式推导了二阶simpson积分公式，并结合三点数值微分计算公式建立了一种高效的计算曲面面积的数值计算公式。通过matlab实验仿真，结果证明本文的方法有4阶的精度而传统的方法只有2阶的精度。不足之处就是计算公式比较复杂，算法的运算效率稍低，但是在相同的精度下，运算时间还是较传统方法少，所以方法的实用性很强。
关键词：曲面面积 数值计算 数值微分 积分
中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（b）-0238-02
在计算地形表面时，由于地面高低起伏不定，是一个不规则的曲面，因此我们想通过数学软件拟合出一个函数来近似是不可能的。但是，在其局部区域，地面相对平整，可以认为是平面或者二次曲面，可以通过对局部曲面面积的计算得到整个区域的表面积。对表面积的计算我们有许多建立在数值上的近似的方法。[1～2]由于上述模型的建立是基于多网格化下小区域内曲面积近似等于平面面积，因此计算结果存在一定误差，且计算精度不易分析。为了减小误差，提高精度，我们把数值分析中计算定积分的Simpson公式推广到二重积分上，建立计算表面积的数值计算公式。
1 二重积分的复化Simpson积分公式
把Simpson公式推广应用到二重积分上，设在上有连续的4阶偏导数，我们得到：
二重积分Simpson公式需要用到9个节点。所以，我们把积分区域划分成的方格，取如图1四个方格共有9个节点组成一个大方格，于是：
2 曲面数值积分公式
已知曲面方程为，那么曲面面积为：
函数使用三点数值微分公式来近似代替偏导数[4]，有：
3 算例分析
例 曲面函数在矩形区域内的表面积。
其表面积计算的精确值为：
在相同的分割网格下，数值计算结果如表1。
4 结论
通过实验可知基于本文的方法求解面积算法的误差是，而传统的“三角形法”误差是，因此本文的算法远好于三角形法。虽然它的计算公式比较复杂，计算效率不高，但是在要求相同精度的条件下，它的计算时间是还是比“三角形法”少的多。由此可以看出本算法需要信息点少，精度较好，运算速度快，具有较大的实用价值。
参考文献
[1] 肖泽昌，杜跃鹏.带端点3阶导数的Simpson修正公式[J].吉首大学学报：自然科学版，2008，29（4）.
[2] 张正印.二重积分的Simpson公式及其误差估计[J].内蒙古民族师院学报，1995，10（1）.
[3] 同济大学.《微积分》第三版下册[M].北京：高等教育出版社：122.
[4] 数值分析[M].endprint
摘 要：二重积分的数值算法比较常见，但求高精度曲面面积的数值算法几乎没有。本文利用simpson积分公式推导了二阶simpson积分公式，并结合三点数值微分计算公式建立了一种高效的计算曲面面积的数值计算公式。通过matlab实验仿真，结果证明本文的方法有4阶的精度而传统的方法只有2阶的精度。不足之处就是计算公式比较复杂，算法的运算效率稍低，但是在相同的精度下，运算时间还是较传统方法少，所以方法的实用性很强。
关键词：曲面面积 数值计算 数值微分 积分
中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2014）03（b）-0238-02
在计算地形表面时，由于地面高低起伏不定，是一个不规则的曲面，因此我们想通过数学软件拟合出一个函数来近似是不可能的。但是，在其局部区域，地面相对平整，可以认为是平面或者二次曲面，可以通过对局部曲面面积的计算得到整个区域的表面积。对表面积的计算我们有许多建立在数值上的近似的方法。[1～2]由于上述模型的建立是基于多网格化下小区域内曲面积近似等于平面面积，因此计算结果存在一定误差，且计算精度不易分析。为了减小误差，提高精度，我们把数值分析中计算定积分的Simpson公式推广到二重积分上，建立计算表面积的数值计算公式。
1 二重积分的复化Simpson积分公式
把Simpson公式推广应用到二重积分上，设在上有连续的4阶偏导数，我们得到：
二重积分Simpson公式需要用到9个节点。所以，我们把积分区域划分成的方格，取如图1四个方格共有9个节点组成一个大方格，于是：
2 曲面数值积分公式
已知曲面方程为，那么曲面面积为：
函数使用三点数值微分公式来近似代替偏导数[4]，有：
3 算例分析
例 曲面函数在矩形区域内的表面积。
其表面积计算的精确值为：
在相同的分割网格下，数值计算结果如表1。
4 结论
通过实验可知基于本文的方法求解面积算法的误差是，而传统的“三角形法”误差是，因此本文的算法远好于三角形法。虽然它的计算公式比较复杂，计算效率不高，但是在要求相同精度的条件下，它的计算时间是还是比“三角形法”少的多。由此可以看出本算法需要信息点少，精度较好，运算速度快，具有较大的实用价值。
参考文献
[1] 肖泽昌，杜跃鹏.带端点3阶导数的Simpson修正公式[J].吉首大学学报：自然科学版，2008，29（4）.
[2] 张正印.二重积分的Simpson公式及其误差估计[J].内蒙古民族师院学报，1995，10（1）.
[3] 同济大学.《微积分》第三版下册[M].北京：高等教育出版社：122.
[4] 数值分析[M].endprint
