数列极限的几何解释及其应用
2014-11-10张府柱
张府柱
摘 要：数列极限的几何解释在教材中介绍的篇幅较少，但在理论学习和实际问题的解决中却有着不可忽视的应用。
关键词：数列极限 几何意义 证明 应用
中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）05（a）-0218-01
极限理论是数学分析和高等数学的核心内容，贯穿在整个教学的全部内容中。学生有熟练掌握极限理论是学好数学分析和高等数学的前提条件，在以往的教学中，数列极限的几何解释通常不能引起学生的重视。就其原因，一是数列极限的几何解释在教材中介绍的篇幅较少，它一般作为数列极限一节的结束；另一方面它的应用较少，很难引起学生的注意。因此，在对一些用到数列极限的几何解释解决的问题时无从下手。本文将阐述数列极限的几何解释的若干应用，希望引起学习者的重视。
1 数列极限的几何解释
数列以为极限的定义是：对于每一个事先给定的，存在正整数，使得对满足条件的每个自然数，成立不等式。其几何解释是：
数列收敛：数列从某项开始将进入的任何事先给定的邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。
数列发散：对于数轴上的每个，都存在一个邻域，在中有无穷多限项落在这个邻域之外。
它们其实就是数列收敛与发散的几何定义，应该引起学生的高度重视，下面以例子说明它的意义与应用。
2 在理论学习中的意义
学生在学习极限的性质时总感到困惑，认为那些证明太难了，例如用反证法证明极限的唯一性时，先设有两个不相等的极限、且，为什么要取？为了说明这个问题，我们先看它的几何意义：数列的项从某项开始将进入的任何事先给定有邻域，在这个邻域以外最多只有有限项，同时有数列的项从某项开始将进入的任何事先给定有邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。因为，又要保证这两个邻域不相交，邻域的半径最大可以取多少，不就是两点距离的一半吗？数列的项从某项开始不可能同时进入两个不相交的邻域，从而得出矛盾。
再看保号性，若数列收敛，且，则当时，有。
如图1所示，取，在区间外只有有限个点，记最大的下标为，则只要时，就落在邻域内，显然大于。
又如有序性， 设，。若，则当时，有。
如图2所示，取，从几何意义可以看出，只要足够大，，
，所以一定有。
3 在解决问题中的应用
例1 证明数列增加有限项或减少有限项，不改变其敛散性。
证：设收敛，则
，使得，在外只有的有限项。
所以，增加有限项或减少有限项后，在外仍然只有的有限项，故增加有限项或减少有限项不改变其收敛性。
如果发散，则，，使得在外有的无限项。
所以，增加有限项或减少有限项后，在外仍有的无限项，故增加有限项或减少有限项不改变其发散性.
注：本题多次布置给学生作为练习题，学生的反映是无从下手，就此反映了学生对此知识点的不重视。
例2 证明：数列发散。
证：因为由无穷多个和无穷多个组成，所以任何一个长度小于的区间不可能同时覆盖和。即，取，则必有无限多项在之外。
注：本例中，可取中任何一个数，作为存在性的说明，只需一个就可以了，此处取的是。
例3设黎曼函数
证明黎曼函数满足。
证：，当或
时，，所以。
当时，相当于求有理点列的极限。对，取，如图3所示：
在直线上方的点只有有限个，即在外只有有限个点，故有理点列以极限。用数学语言叙述如下：
由于的点只有有限个，设它们为，所以只需取
则使得，从而。
综上所述，故。
关于数学的研究对象，一般都有数和形两个方面的陈述。作为数上的描述，比较抽象，思想比较深刻；作为形上的描述即所谓的几何解释，比较直观，形象。二者互为补充，不能厚此薄彼。
参考文献
[1] 刘玉琏.数学分析讲义练习题选解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.
[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.
[3] 谢惠民.数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社，2003：168-169.endprint
摘 要：数列极限的几何解释在教材中介绍的篇幅较少，但在理论学习和实际问题的解决中却有着不可忽视的应用。
关键词：数列极限 几何意义 证明 应用
中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）05（a）-0218-01
极限理论是数学分析和高等数学的核心内容，贯穿在整个教学的全部内容中。学生有熟练掌握极限理论是学好数学分析和高等数学的前提条件，在以往的教学中，数列极限的几何解释通常不能引起学生的重视。就其原因，一是数列极限的几何解释在教材中介绍的篇幅较少，它一般作为数列极限一节的结束；另一方面它的应用较少，很难引起学生的注意。因此，在对一些用到数列极限的几何解释解决的问题时无从下手。本文将阐述数列极限的几何解释的若干应用，希望引起学习者的重视。
1 数列极限的几何解释
数列以为极限的定义是：对于每一个事先给定的，存在正整数，使得对满足条件的每个自然数，成立不等式。其几何解释是：
数列收敛：数列从某项开始将进入的任何事先给定的邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。
数列发散：对于数轴上的每个，都存在一个邻域，在中有无穷多限项落在这个邻域之外。
它们其实就是数列收敛与发散的几何定义，应该引起学生的高度重视，下面以例子说明它的意义与应用。
2 在理论学习中的意义
学生在学习极限的性质时总感到困惑，认为那些证明太难了，例如用反证法证明极限的唯一性时，先设有两个不相等的极限、且，为什么要取？为了说明这个问题，我们先看它的几何意义：数列的项从某项开始将进入的任何事先给定有邻域，在这个邻域以外最多只有有限项，同时有数列的项从某项开始将进入的任何事先给定有邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。因为，又要保证这两个邻域不相交，邻域的半径最大可以取多少，不就是两点距离的一半吗？数列的项从某项开始不可能同时进入两个不相交的邻域，从而得出矛盾。
再看保号性，若数列收敛，且，则当时，有。
如图1所示，取，在区间外只有有限个点，记最大的下标为，则只要时，就落在邻域内，显然大于。
又如有序性， 设，。若，则当时，有。
如图2所示，取，从几何意义可以看出，只要足够大，，
，所以一定有。
3 在解决问题中的应用
例1 证明数列增加有限项或减少有限项，不改变其敛散性。
证：设收敛，则
，使得，在外只有的有限项。
所以，增加有限项或减少有限项后，在外仍然只有的有限项，故增加有限项或减少有限项不改变其收敛性。
如果发散，则，，使得在外有的无限项。
所以，增加有限项或减少有限项后，在外仍有的无限项，故增加有限项或减少有限项不改变其发散性.
注：本题多次布置给学生作为练习题，学生的反映是无从下手，就此反映了学生对此知识点的不重视。
例2 证明：数列发散。
证：因为由无穷多个和无穷多个组成，所以任何一个长度小于的区间不可能同时覆盖和。即，取，则必有无限多项在之外。
注：本例中，可取中任何一个数，作为存在性的说明，只需一个就可以了，此处取的是。
例3设黎曼函数
证明黎曼函数满足。
证：，当或
时，，所以。
当时，相当于求有理点列的极限。对，取，如图3所示：
在直线上方的点只有有限个，即在外只有有限个点，故有理点列以极限。用数学语言叙述如下：
由于的点只有有限个，设它们为，所以只需取
则使得，从而。
综上所述，故。
关于数学的研究对象，一般都有数和形两个方面的陈述。作为数上的描述，比较抽象，思想比较深刻；作为形上的描述即所谓的几何解释，比较直观，形象。二者互为补充，不能厚此薄彼。
参考文献
[1] 刘玉琏.数学分析讲义练习题选解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.
[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.
[3] 谢惠民.数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社，2003：168-169.endprint
摘 要：数列极限的几何解释在教材中介绍的篇幅较少，但在理论学习和实际问题的解决中却有着不可忽视的应用。
关键词：数列极限 几何意义 证明 应用
中图分类号：O1 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）05（a）-0218-01
极限理论是数学分析和高等数学的核心内容，贯穿在整个教学的全部内容中。学生有熟练掌握极限理论是学好数学分析和高等数学的前提条件，在以往的教学中，数列极限的几何解释通常不能引起学生的重视。就其原因，一是数列极限的几何解释在教材中介绍的篇幅较少，它一般作为数列极限一节的结束；另一方面它的应用较少，很难引起学生的注意。因此，在对一些用到数列极限的几何解释解决的问题时无从下手。本文将阐述数列极限的几何解释的若干应用，希望引起学习者的重视。
1 数列极限的几何解释
数列以为极限的定义是：对于每一个事先给定的，存在正整数，使得对满足条件的每个自然数，成立不等式。其几何解释是：
数列收敛：数列从某项开始将进入的任何事先给定的邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。
数列发散：对于数轴上的每个，都存在一个邻域，在中有无穷多限项落在这个邻域之外。
它们其实就是数列收敛与发散的几何定义，应该引起学生的高度重视，下面以例子说明它的意义与应用。
2 在理论学习中的意义
学生在学习极限的性质时总感到困惑，认为那些证明太难了，例如用反证法证明极限的唯一性时，先设有两个不相等的极限、且，为什么要取？为了说明这个问题，我们先看它的几何意义：数列的项从某项开始将进入的任何事先给定有邻域，在这个邻域以外最多只有有限项，同时有数列的项从某项开始将进入的任何事先给定有邻域，在这个邻域以外最多只有有限项。因为，又要保证这两个邻域不相交，邻域的半径最大可以取多少，不就是两点距离的一半吗？数列的项从某项开始不可能同时进入两个不相交的邻域，从而得出矛盾。
再看保号性，若数列收敛，且，则当时，有。
如图1所示，取，在区间外只有有限个点，记最大的下标为，则只要时，就落在邻域内，显然大于。
又如有序性， 设，。若，则当时，有。
如图2所示，取，从几何意义可以看出，只要足够大，，
，所以一定有。
3 在解决问题中的应用
例1 证明数列增加有限项或减少有限项，不改变其敛散性。
证：设收敛，则
，使得，在外只有的有限项。
所以，增加有限项或减少有限项后，在外仍然只有的有限项，故增加有限项或减少有限项不改变其收敛性。
如果发散，则，，使得在外有的无限项。
所以，增加有限项或减少有限项后，在外仍有的无限项，故增加有限项或减少有限项不改变其发散性.
注：本题多次布置给学生作为练习题，学生的反映是无从下手，就此反映了学生对此知识点的不重视。
例2 证明：数列发散。
证：因为由无穷多个和无穷多个组成，所以任何一个长度小于的区间不可能同时覆盖和。即，取，则必有无限多项在之外。
注：本例中，可取中任何一个数，作为存在性的说明，只需一个就可以了，此处取的是。
例3设黎曼函数
证明黎曼函数满足。
证：，当或
时，，所以。
当时，相当于求有理点列的极限。对，取，如图3所示：
在直线上方的点只有有限个，即在外只有有限个点，故有理点列以极限。用数学语言叙述如下：
由于的点只有有限个，设它们为，所以只需取
则使得，从而。
综上所述，故。
关于数学的研究对象，一般都有数和形两个方面的陈述。作为数上的描述，比较抽象，思想比较深刻；作为形上的描述即所谓的几何解释，比较直观，形象。二者互为补充，不能厚此薄彼。
参考文献
[1] 刘玉琏.数学分析讲义练习题选解[M].北京：高等教育出版社，1996：119-121.
[2] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，1993：140.
[3] 谢惠民.数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社，2003：168-169.endprint
