限制李超代数环面秩的一个重要性质

高孝成，姚 艳

(黑河学院数学系，黑龙江黑河164300)

李超代数是在李代数的基础上发展起来的一个代数学分支，而李代数这一概念是由挪威数学家M．S．Lie在19世纪后期研究连续变换群时引进的．拓扑学中的李超代数通常是特征p域上的李超代数(即模李超代数)，尤其是有限域上李超代数［1］．目前，模李代数与非模李超代数都已经有相对完整的结构理论．在1977年，李超代数理论的奠基人之一，著名的数学家V．G．Kac在有限维、特征零情形，给出了单李超代数的完全分类，1998年，Kac又完成了特征零代数闭域上无限维单的线性紧致李超代数的分类［2］，无限维线性紧致李超代数也有完全分类［3］;典型模李代数和代数群的表示［4］，特征零典型李超代数、另外李超代数的表示也都取得了长足的发展．这样自然要考虑到素特征域上的有限维单李超代数(模李超代数)的情况，即模李超代数的分类问题．

限制李代数的概念在模李代数理论中起着非常重要的作用，有限维模李代数的分类和表示首先是基于限制李代数上的［5-6］．因此，将模李代数限制理论平行推广到模李超代数中是十分必要的，见文献［7-10］．首先，每个模李超代数都可以嵌入到它的一个包络中，从而利用映射研究结构问题．其次，容易证明模李超代数的任何有限维不可约表示均具有唯一性特征．这样，我们可以象模李代数情形一样对表示问题进行深入细致的研究．对于模李代数而言，环面、环面秩是限制理论中非常重要的概念，将它们推广到限制李超代数中进行研究，对于限制李超代数理论的作用也是基础性的．本文中，Z表示整数集，没有特殊说明时，F表示特征为素数p＞2的域．

1 预备知识

在一般的域F上:

定义1．1 设A是域F上的线性空间，A称作F上的代数，如果除了数乘和A的加法运算外，A还有一个乘法运算(用xy表示x与y的乘积，∀x，y∈A)，并且满足以下条件:

(i)x(y+z)=xy+xz，(y+z)x=yx+zx，

(ii)λ(xy)=(λx)y=x(λy)，∀x，y，z∈A，∀λ∈F．

如果代数A是F上的有限维线性空间，则称A为F上的有限维代数．

如果代数A的乘法满足结合律，则称A为结合代数;如果代数A的乘法满足交换律，则称A为交换代数．

如果代数A的乘法满足以下条件:

(i)x2=0，∀x∈ A，

(ii)x(yz)+y(zx)+z(xy)=0，∀x，y，z∈A，(Jacobi等式)，

则称A为李代数．

定义 1．2［11］设 L=L0－⊕ L1－是域 F 上的一个Z2－阶化代数，L中的乘法用方括号［，］表示，对于L中任意齐次元素a，b，c，若以下条件被满足:

(1)［a，b］ = － (－ 1)|a||b|［a，b］ (超反对称)

(2)(－ 1)|a||c|［a，［b，c］］+(－ 1)|a||b|［b，［c，a］］ +(－ 1)|b||c|［c，［a，b］］ =0 (超Jacobi-恒等式)

则称L是一个李超代数．

在素特征的域F上:

其中Si(a，b)是由如下公式唯一确定的:

p－1

定义1．4 设(L，［p］)与(L'，［p］')是两个限制李超代数，φ:L→ L'是李超代数同态．若φ|L－

0:→是一个李代数限制同态，则称φ是限制李超代数(L，［p］)到(L'，［p］')的限制同态(p－同态)．

(1)一个包含限制李超代数(G，［p］)和一个李超代数的单同态l:L→G的(G，［P］，l)叫做L的一个限制包络，

(2)L的一个限制包络(G，［p］)叫做泛限制包络，如果下面的泛性质成立:对于每一个限制李超代数(H，［p］')和每一个李超代数同态f:L→H，刚好存在一个限制同态 g:(G，［p］)→ (H，［p］')，使得g◦l=f限制包络也称为p－包络．

为了计算的方便，给出以下引理:

引理1．1 设限制李超代数(L，［p］)的子代数为K，K［p］为包含K的(L，［p］)的最小的p－ 子代数，则有

其中，αi∈ F，ki∈ ℕ ，xi∈ K0－，y ∈ K1－，y ∈是由生成的的限制李子代数．

在李超代数中，也有类似李代数限制包络的结论．

引理1．2 每一个有限维李超代数都有一个有限维的限制包络．

2 环面秩

下面，设L是有限维李超代数．

定义2．1 设T是限制李超代数(L，［p］)的一个子代数，若满足:

(1)T是L的Abel p-子代数，

(3)对于任意x∈T，x为L的p－半单元，即存在 αi∈F，使得

则称T为L的一个环面．

定义2．2 设K是李超代数L的子代数，(G，［p］，l)为 L 的 p － 包络，K［p］=(l(K))［p］，T 是K［p］/K［p］∩ C(G)的环面，称

为K在L中的环面秩，tr(L):=tr(L，L)为L的绝对环面秩．

注记2．1设H与K是有限维李超代数L的子代数，且H⊂K，则

(1)L的p－包络选取不影响子代数K或H在L中的环面秩，

(2)tr(H)≤tr(K)

(3)tr(H，K)≤tr(H，L)≤tr(K，L)

(4)不考虑中心的影响，环面秩最大的环面即为维数最大的环面．

3 结 论

定理3．1 设H，K分别是有限维限制李超代数(L，［p］)的子代数，且 H ⊂ K．

若 tr(H，L)=tr(L)，则 tr(H，K)=tr(K)．

证明:根据引理1．1，可设L［p］为L的有限维p－ 包络．由引理1．2，

取 H［p］/(H［p］∩ C(L［p］))的 p－理想:

易见，

方便起见，对于有限维李超代数L，记mt(L)为L的环面的最大维数，即

mt(L):=max{dim T|T为L的环面}

则

从而，

即

这样，

由(6)，

应用(5)可得，

最后，由(4)与(7)，知 tr(H，K)=tr(K)．结论得证．

本文将环面、环面秩概念推广到限制李超代数中进行研究，给出了限制李超代数环面秩的一个重要性质，为限制李代数的研究奠定了理论基础．

［1］ S．Berman，Y．Gao，Y．S．Krylyuk．Quantum Tori and the structure of elliptic quasi-simple Lie algebras［J］．J．Funct．Anal，1996，135:338-339．

［2］ Y．Su，R．Zhang．Cohomology of Lie superalgevras sl(m-n)and osp(2 －2n)［J］．Proc．London Math．Soc，2007，94:91-136．

［3］ W．D．Liu，Y．Z．Zhang．X．L．Wang．The derivation algebra of the Cartan type Lie superalgebra HO［J］．Comn．Algebra，2005，33:2131-2143．

［4］ J．C．Jantzen．Representations of Lie algebras in positive characteristic［J］．Representation Theory of Algebraic Groups and Quantum Groups，2002，1:1-8．

［5］ Walterde Gruyter，Berlinand H．Strade．Simple Lie Algebras over Fields of Positive Characteristic［M］．New York:Die Deutsche Bibliothek，2004．

［6］ H．Strade，R．Farnsteiner．Modular Lie Algebras and Their Representations［M］．New York:Monographys and Texbooks Pure Appl．Math，1988:116．

［7］ Yu．Kochetkov，D．Leites．Simple Lie algebras in characteristic 2 recovered from superlgebras and on the notion of a simple finite group［J］．Contemp．Math，1992，131(2):59-67．

［8］ LY Chen，DJ Meng，YZ Zhang．The Frattini subalgebra of restricted Lie superalgebras［J］．ActaMath Sin．，EnglishSer，2006，22(5):1343-1356．

［9］ WD． Liu． Induced modules of restricted Lie superalgebras［J］．Northeast Math．，2005，21(1):54-60．

［10］ V．M．Petrogradski．Identities in the enveloping algebrasJP for modular Lie superalgebras［J］．Algebra，1992，145:1-21．

［11］刘冬丽．Cartan型模李超代数的环面及导子代数［D］．哈尔滨:哈尔滨师范大学，2008，6．