风洞四自由度并机器人奇异路径优化分析

刘方++谭兴强++贾淑媛

摘 要：奇异位形是机器人机构的一个十分重要的运动学特性，机器人的运动、受力、控制精度等方面的性能都与机构的奇异位形密切相关。该文对风洞四自由度并联机器人奇异位形进行了研究，使得机器人动平台能够平滑地绕开奇异点且能够获得最短路径，并建立了奇异位形优化方程。最后通过MATLAB仿真得出优化后的轨迹。

关键词：机器人 奇异点 奇异路径

中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（a）-0038-02

风洞是在符合一定设计要求的管道系统内用动力装置控制管道内的气流，采用风洞模型支撑系统[1]。风洞并联模型支撑系统具有刚度大、承载能力强、误差小、精度高、自重负荷比小、动力性能好、控制容易等优点，正引起世界各国研究人员的浓厚兴趣[2]。要使得并联支撑在各行各业得到广泛的应用，需要对机构进一步的研究，其中包括奇异性分析[3]。目前，一般的并联机构的奇异位形的研究，到目前为止仍没有一个非常通用的方法。黄真[4]等学者采用的速度雅克比矩阵与力雅克比矩阵互为转置的关系，对奇异位形进行研究。本文也采用此种方法研究奇异位置处的运动可控性，从而提高并联机构的性能。

1 风洞4_PUS并联机器人机构简化模型

风洞4_PUS并联机器人机构简化模型如图（1）所示，该机构由直线导轨、四个带有直线电机的滑块、四个拉杆、动平台组成。四个拉杆的上端通过虎克铰与滑块相联；下端通过球铰与位于动平台对称的四个端点、、、相联。直线导轨位于、所在的直线上，四个滑块由直线电机驱动沿着直线导轨运动，从而实现模型的位姿变换。

由空间机构学理论可知，运动机构的构件数，所有运动构件数之间的运动副总数，由球铰数为4，虎克铰数为4，移动副数为4，转动副数为4，故运动副的相对自由度，则：

即本机构的自由度数为4个。这四个自由度分别为绕X轴的转动、绕Y轴的转动、沿X轴的移动、沿Z轴的移动。

2 奇异位置分析

2.1 四自由度并联机器人力雅克比矩阵

本文所研究的四自由度并联机器人的机构的杆的两端的运动副均为球面副，机构动平台的驱动力矢经过上下球面副的中心，因此可以运用螺旋理论建立机构平衡方程。采用速度投影法求雅克比矩阵，忽略滑块与上顶板之间的摩擦力，分析动平台的受力情况，4个拉杆上的力螺旋之和应与动平台的四维广义力平衡，故可以建立以下螺旋方程：

（1）

其中，为第杆受到的轴力，为第杆轴线的单位线矢量，为动平台上作用力的主矢，为动平台上的主矩。式（1）所建立的螺旋方程可改写为矩阵形式：

（2）

其中，

，

，为一阶静力影响系数。

（3）

依据受力平衡可求得：

（4）

单位矢量的偶部可表示为： （5）

由（2）～（5）可得4_PUS并联支撑机器人的力雅可比矩阵为：

（6）

2.2 奇异位置分析

依据机构学中的重要定律：速度雅克比矩阵与力雅克比矩阵互为转置。当秩小于4时，机构发生奇异，式（6）的某几行或某几列完全相等。显然拉杆所在的直线的向量在轴上的分量值为零时，机构发生奇异。动平台的尺寸可以得到动平台与拉杆连接点在静坐标系中的坐标值如下：

（7）

（8）

（9）

由拉杆的长度约束方程可得：

（10）

其中i=2，取正值，i=1，3，4时取负值。因此发生此种奇异时必有，，或。故这三个条件是判断该类奇异是否发生的充分条件。

3 路径优化

以支链1为例进行路径优化，动平台铰点在全局坐标系中的位置可表示为：

（11）

由充分条件可以得出，点在动平台运动的过程中经过或者接近点时，随着工作空间的变化，导致位姿轨迹变化呈现间断式跳跃。要满足点的位姿轨迹经过或者接近，且位姿轨迹能够连续运动，故引入优化方程：

设为所引起的奇异点，设为以为中心、半径为R的微小体积域，当R很小且对位姿路径精度影响不大能够连续的运动，，建立的优化方程如下：

（12）

显然当R越小时，位姿路径精度越高，若要满足最小位姿路径，则应该从方程（12）中选取球面的其中一条轨迹。球面上，球心对称的两点最短轨迹为半圆。过点作法向量的方程，则：

，

（13）

过点法平面向量为的空间平面方程为（动点为）：

（14）

将（12）式和（14）式联立可得到最优路径轨迹。

4 结语

该文提出了一种新型的风洞4_PUS并联机器人机构简化模型，并在此基础上对其奇异位置进行了分析，然后对风洞四自由度并联机器人奇异位形进行了研究，对四自由度并联机器人的路径优化，使得可以按照指定的位姿路径运动，并建立相关的优化方程，用MATLAB仿真出优化路径的轨迹（图2）。

参考文献

[1] 张浩.六自由度并联风洞模型支撑系统机构优化[D].清华大学硕士学位论文，2011.

[2] 战培国.国外风洞试验的新机制、新概念、新技术[J].流体力学实验与测量，2004，18（4）：2-6.

[3] 谭兴强.风洞留自由度并联支撑机器人优化设计及控制系统研究[D].重庆大学博士学位论文，2012.

[4] 谭兴强，谢志江，谢永春.风洞6PUUS并联试验台的运动位置控制仿真及结构优化[J].重庆大学学报，2003（4）：19-25.endprint

摘 要：奇异位形是机器人机构的一个十分重要的运动学特性，机器人的运动、受力、控制精度等方面的性能都与机构的奇异位形密切相关。该文对风洞四自由度并联机器人奇异位形进行了研究，使得机器人动平台能够平滑地绕开奇异点且能够获得最短路径，并建立了奇异位形优化方程。最后通过MATLAB仿真得出优化后的轨迹。

关键词：机器人 奇异点 奇异路径

中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（a）-0038-02

风洞是在符合一定设计要求的管道系统内用动力装置控制管道内的气流，采用风洞模型支撑系统[1]。风洞并联模型支撑系统具有刚度大、承载能力强、误差小、精度高、自重负荷比小、动力性能好、控制容易等优点，正引起世界各国研究人员的浓厚兴趣[2]。要使得并联支撑在各行各业得到广泛的应用，需要对机构进一步的研究，其中包括奇异性分析[3]。目前，一般的并联机构的奇异位形的研究，到目前为止仍没有一个非常通用的方法。黄真[4]等学者采用的速度雅克比矩阵与力雅克比矩阵互为转置的关系，对奇异位形进行研究。本文也采用此种方法研究奇异位置处的运动可控性，从而提高并联机构的性能。

1 风洞4_PUS并联机器人机构简化模型

风洞4_PUS并联机器人机构简化模型如图（1）所示，该机构由直线导轨、四个带有直线电机的滑块、四个拉杆、动平台组成。四个拉杆的上端通过虎克铰与滑块相联；下端通过球铰与位于动平台对称的四个端点、、、相联。直线导轨位于、所在的直线上，四个滑块由直线电机驱动沿着直线导轨运动，从而实现模型的位姿变换。

由空间机构学理论可知，运动机构的构件数，所有运动构件数之间的运动副总数，由球铰数为4，虎克铰数为4，移动副数为4，转动副数为4，故运动副的相对自由度，则：

即本机构的自由度数为4个。这四个自由度分别为绕X轴的转动、绕Y轴的转动、沿X轴的移动、沿Z轴的移动。

2 奇异位置分析

2.1 四自由度并联机器人力雅克比矩阵

本文所研究的四自由度并联机器人的机构的杆的两端的运动副均为球面副，机构动平台的驱动力矢经过上下球面副的中心，因此可以运用螺旋理论建立机构平衡方程。采用速度投影法求雅克比矩阵，忽略滑块与上顶板之间的摩擦力，分析动平台的受力情况，4个拉杆上的力螺旋之和应与动平台的四维广义力平衡，故可以建立以下螺旋方程：

（1）

其中，为第杆受到的轴力，为第杆轴线的单位线矢量，为动平台上作用力的主矢，为动平台上的主矩。式（1）所建立的螺旋方程可改写为矩阵形式：

（2）

其中，

，

，为一阶静力影响系数。

（3）

依据受力平衡可求得：

（4）

单位矢量的偶部可表示为： （5）

由（2）～（5）可得4_PUS并联支撑机器人的力雅可比矩阵为：

（6）

2.2 奇异位置分析

依据机构学中的重要定律：速度雅克比矩阵与力雅克比矩阵互为转置。当秩小于4时，机构发生奇异，式（6）的某几行或某几列完全相等。显然拉杆所在的直线的向量在轴上的分量值为零时，机构发生奇异。动平台的尺寸可以得到动平台与拉杆连接点在静坐标系中的坐标值如下：

（7）

（8）

（9）

由拉杆的长度约束方程可得：

（10）

其中i=2，取正值，i=1，3，4时取负值。因此发生此种奇异时必有，，或。故这三个条件是判断该类奇异是否发生的充分条件。

3 路径优化

以支链1为例进行路径优化，动平台铰点在全局坐标系中的位置可表示为：

（11）

由充分条件可以得出，点在动平台运动的过程中经过或者接近点时，随着工作空间的变化，导致位姿轨迹变化呈现间断式跳跃。要满足点的位姿轨迹经过或者接近，且位姿轨迹能够连续运动，故引入优化方程：

设为所引起的奇异点，设为以为中心、半径为R的微小体积域，当R很小且对位姿路径精度影响不大能够连续的运动，，建立的优化方程如下：

（12）

显然当R越小时，位姿路径精度越高，若要满足最小位姿路径，则应该从方程（12）中选取球面的其中一条轨迹。球面上，球心对称的两点最短轨迹为半圆。过点作法向量的方程，则：

，

（13）

过点法平面向量为的空间平面方程为（动点为）：

（14）

将（12）式和（14）式联立可得到最优路径轨迹。

4 结语

该文提出了一种新型的风洞4_PUS并联机器人机构简化模型，并在此基础上对其奇异位置进行了分析，然后对风洞四自由度并联机器人奇异位形进行了研究，对四自由度并联机器人的路径优化，使得可以按照指定的位姿路径运动，并建立相关的优化方程，用MATLAB仿真出优化路径的轨迹（图2）。

参考文献

[1] 张浩.六自由度并联风洞模型支撑系统机构优化[D].清华大学硕士学位论文，2011.

[2] 战培国.国外风洞试验的新机制、新概念、新技术[J].流体力学实验与测量，2004，18（4）：2-6.

[3] 谭兴强.风洞留自由度并联支撑机器人优化设计及控制系统研究[D].重庆大学博士学位论文，2012.

[4] 谭兴强，谢志江，谢永春.风洞6PUUS并联试验台的运动位置控制仿真及结构优化[J].重庆大学学报，2003（4）：19-25.endprint

摘 要：奇异位形是机器人机构的一个十分重要的运动学特性，机器人的运动、受力、控制精度等方面的性能都与机构的奇异位形密切相关。该文对风洞四自由度并联机器人奇异位形进行了研究，使得机器人动平台能够平滑地绕开奇异点且能够获得最短路径，并建立了奇异位形优化方程。最后通过MATLAB仿真得出优化后的轨迹。

关键词：机器人 奇异点 奇异路径

中图分类号：TP242 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）04（a）-0038-02

风洞是在符合一定设计要求的管道系统内用动力装置控制管道内的气流，采用风洞模型支撑系统[1]。风洞并联模型支撑系统具有刚度大、承载能力强、误差小、精度高、自重负荷比小、动力性能好、控制容易等优点，正引起世界各国研究人员的浓厚兴趣[2]。要使得并联支撑在各行各业得到广泛的应用，需要对机构进一步的研究，其中包括奇异性分析[3]。目前，一般的并联机构的奇异位形的研究，到目前为止仍没有一个非常通用的方法。黄真[4]等学者采用的速度雅克比矩阵与力雅克比矩阵互为转置的关系，对奇异位形进行研究。本文也采用此种方法研究奇异位置处的运动可控性，从而提高并联机构的性能。

1 风洞4_PUS并联机器人机构简化模型

风洞4_PUS并联机器人机构简化模型如图（1）所示，该机构由直线导轨、四个带有直线电机的滑块、四个拉杆、动平台组成。四个拉杆的上端通过虎克铰与滑块相联；下端通过球铰与位于动平台对称的四个端点、、、相联。直线导轨位于、所在的直线上，四个滑块由直线电机驱动沿着直线导轨运动，从而实现模型的位姿变换。

由空间机构学理论可知，运动机构的构件数，所有运动构件数之间的运动副总数，由球铰数为4，虎克铰数为4，移动副数为4，转动副数为4，故运动副的相对自由度，则：

即本机构的自由度数为4个。这四个自由度分别为绕X轴的转动、绕Y轴的转动、沿X轴的移动、沿Z轴的移动。

2 奇异位置分析

2.1 四自由度并联机器人力雅克比矩阵

本文所研究的四自由度并联机器人的机构的杆的两端的运动副均为球面副，机构动平台的驱动力矢经过上下球面副的中心，因此可以运用螺旋理论建立机构平衡方程。采用速度投影法求雅克比矩阵，忽略滑块与上顶板之间的摩擦力，分析动平台的受力情况，4个拉杆上的力螺旋之和应与动平台的四维广义力平衡，故可以建立以下螺旋方程：

（1）

其中，为第杆受到的轴力，为第杆轴线的单位线矢量，为动平台上作用力的主矢，为动平台上的主矩。式（1）所建立的螺旋方程可改写为矩阵形式：

（2）

其中，

，

，为一阶静力影响系数。

（3）

依据受力平衡可求得：

（4）

单位矢量的偶部可表示为： （5）

由（2）～（5）可得4_PUS并联支撑机器人的力雅可比矩阵为：

（6）

2.2 奇异位置分析

依据机构学中的重要定律：速度雅克比矩阵与力雅克比矩阵互为转置。当秩小于4时，机构发生奇异，式（6）的某几行或某几列完全相等。显然拉杆所在的直线的向量在轴上的分量值为零时，机构发生奇异。动平台的尺寸可以得到动平台与拉杆连接点在静坐标系中的坐标值如下：

（7）

（8）

（9）

由拉杆的长度约束方程可得：

（10）

其中i=2，取正值，i=1，3，4时取负值。因此发生此种奇异时必有，，或。故这三个条件是判断该类奇异是否发生的充分条件。

3 路径优化

以支链1为例进行路径优化，动平台铰点在全局坐标系中的位置可表示为：

（11）

由充分条件可以得出，点在动平台运动的过程中经过或者接近点时，随着工作空间的变化，导致位姿轨迹变化呈现间断式跳跃。要满足点的位姿轨迹经过或者接近，且位姿轨迹能够连续运动，故引入优化方程：

设为所引起的奇异点，设为以为中心、半径为R的微小体积域，当R很小且对位姿路径精度影响不大能够连续的运动，，建立的优化方程如下：

（12）

显然当R越小时，位姿路径精度越高，若要满足最小位姿路径，则应该从方程（12）中选取球面的其中一条轨迹。球面上，球心对称的两点最短轨迹为半圆。过点作法向量的方程，则：

，

（13）

过点法平面向量为的空间平面方程为（动点为）：

（14）

将（12）式和（14）式联立可得到最优路径轨迹。

4 结语

该文提出了一种新型的风洞4_PUS并联机器人机构简化模型，并在此基础上对其奇异位置进行了分析，然后对风洞四自由度并联机器人奇异位形进行了研究，对四自由度并联机器人的路径优化，使得可以按照指定的位姿路径运动，并建立相关的优化方程，用MATLAB仿真出优化路径的轨迹（图2）。

参考文献

[1] 张浩.六自由度并联风洞模型支撑系统机构优化[D].清华大学硕士学位论文，2011.

[2] 战培国.国外风洞试验的新机制、新概念、新技术[J].流体力学实验与测量，2004，18（4）：2-6.

[3] 谭兴强.风洞留自由度并联支撑机器人优化设计及控制系统研究[D].重庆大学博士学位论文，2012.

[4] 谭兴强，谢志江，谢永春.风洞6PUUS并联试验台的运动位置控制仿真及结构优化[J].重庆大学学报，2003（4）：19-25.endprint