基于过程能力指数的可连续提交的验收抽样检验方案

宋向东　何倩

摘 要：验收抽样检验是从一批产品中抽取一些单位产品进行检验以决定能否接收该批产品的统计方法。可连续提交的计量验收抽样检验更贴合实际操作的要求，将其同有精确分布函数的程能力指数相结合，利用OC曲线的性质得到两个不等式，利用二分法查找出同时满足两个不等式的最优解，由此制定了一个可连续提交的计量验收抽样方案。同时给出了在生产方风险、使用方风险、AQL及LTPD取一定值时验收抽样检验方案的样本量及对应的临界值表。

关键词：可连续提交；计量验收抽样检验；过程能力指数

中图分类号：F270 文献标志码：A 文章编号：1673-291X（2014）28-0283-03

绪论

验收抽样是统计质量控制的一个重要领域，它的最初应用是在第二次世界大战时美国用来检测子弹质量，保证在战争时能够弹无虚发。验收抽样检验是从一批产品中抽取一些单位产品进行检验以决定能否接收该批产品的统计方法，它只需抽取一定的样本进行检验，并作出接收或拒绝整批的决定[1]。

验收抽样检验方案是由检验所需的样本容量和接收准则组成的方案。一个好的验收抽样检验方案能够显著的减少使用方所需要的产品和生产方实际提供的产品之间的差异。单一样本的验收抽样检验方案因其操作上的简便，所以被广泛应用于实际中。但是在很多情况下，一批产品在进行单一样本的抽样检验被拒绝时，生产方可能会怀疑其抽样检验的结果，并对该批产品连续提交，即按照合同或规定的条款再次抽取相同数量的样品进行检验，这种检验方式称为可连续提交的验收抽样检验。我们假设在产品连续提交时，产品未被再加工或改变质量，并把传统的抽样检验称为在允许连续提交时的第一次检验。在允许连续提交的前提下，如果生产方并不认可第一次抽样检验的结果，就会进行后续的抽样检验，并且只考虑最后一次抽样检验的结果来做出决定，传统的多样本验收抽样检验同时考虑多次抽样检验的结果是很有意义的，但是本文的研究是不考虑前几次抽样检验结果的情况。通常如果生产方对自己产品的质量有把握，他们会比较倾向于再进行后续的抽样检验。

传统的验收抽样检验包括计数验收抽样检验和计量验收抽样检验。产品质量特性的定量计量通常能够比定性计量提供更多关于产品制造过程的信息，且计量验收抽样检验所需的样本量也较计数检验有明显下降[2]。因此，计量验收抽样检验方案被广泛应用。制定计量验收抽样检验方案的方式不只一种，国标中所列的计量验收抽样检验的操作步骤较多且计算繁琐。过程能力指数有计算简便的优点，在过去的十年里，人们不断探究过程能力指数与计量验收抽样检验结合的案例，本文将可连续提交的计量验收抽样检验与过程能力指数相结合，当产品的某一质量特性服从正态分布时，制定一个基于过程能力指数的可连续提交的计量验收抽样检验方案。

一、过程能力指数

我们所研究的可连续提交的计量抽样检验建立在精确的样本分布而非近似的分布，做出的决定也更加准确、可靠。

假设产品的质量特性X服从均值为μ方差为σ2的正态分布，即X～N（μ，σ2），USL和LSL分别为上规格限和下规格限，过程能力指数Cpk用下面的式子来表示即：

Cpk=Min

，= （1）

其中，d=（USL-LSL）/2，M=（USL+LSL）/2。

过程能力指数Cpk被认为是基于过程加工能力的指数，在正态分布过程下Cpk与加工能力B有紧密的联系，即Φ（3Cpk）-1≤B≤Φ（3Cpk），其中Φ（·）为标准正态分布的概率分布函数。这也就是说当Cpk=1时，加工过程的最大次品率为2.7‰；当Cpk=1.33时，加工过程的最大次品率降至0.066‰；当Cpk=1.67时，次品率仅为0.000544‰；当Cpk=2时，次品率为0.000002‰。因此使用方在购买生产法的产品时，一般会指定一个最小的Cpk的值。如果达不到事先规定的最小的Cpk的值，就会认为生产过程不合格。否则，生产过程合格。

过程能力指数Cpk的估计用pk表示，把过程均值μ和过程标准差σ分别用样本均值x=xi /n和样本标准差s=

（xi-[x]）2/（n-1）1/2来代替，则有：

Cpk=Min

，= （2）

在正态分布的假设下，Lin 和 Pearn得到了pk精确的概率分布函数[3]：

F[ p k]（y）=1-G

×[?（t+ξ）+

?（t-ξ）]dt （3）

其中y>0，b=d/σ，ξ=（μ-M）/σ，G（·）为自由度为n-1的卡方分布的概率分布函数，?（·）标准正态分布的概率密度函数。pk的概率分布函数可以用卡方分布和正态分布相结合的形式表示。

二、制定一个基于过程能力指数Cpk的可连续提交批的抽样检验方案

一批产品连续提交的情况一般可以分为第一次检验结果被怀疑或按照合同条款的规定生产方可以再次抽取相同数量的样品进行检验两种情况。在连续提交时某批产品的质量不因排序或再加工而改变的前提下，可连续提交的计量验收抽样检验步骤可以分为以下几步：

（1）对第一次抽取的样本进行检验，即按照正常的验收检验方案，该方案包括样本容量n和接收的临界值C0。当我们根据第一次抽样的样本计算出的pk的值大于临界值C0则接收该批产品。

（2）如果进行上述检验的结果为拒绝，可按照合同规定进行m次抽样检验，在第m-1次重新提交依然不接收时拒绝接收该批。对于可连续提交的抽样方案，在第一次检验不被接收的情况下允许重新提交m-1次，且每次检验均需要重新抽样。换句话说，质量不变的一批产品需要进行m次检验，当m的值取2时，只需用样本量为n和临界值C0的一次抽样检验方案进行一次重新抽样。

Cpk的表达式还可以用Cpk=（d/σ-|ξ|）/3来表示，其中ξ=（μ-M）/σ。若Cpk=C，b=d/σ可以写成b=3C+|ξ|。当Cpk=C时，Pa（C）为操作特性曲线函数，Pa（C）的表达式如下：

Pa（C）=P（pk≥C0）=1-P（pk

=G

[?（t+ξ）+?（t-ξ）]dt （4）

对于基于过程能力指数Cpk的可重新提交的抽样检验方案，最终接收的概率可以用下面的式子表示出来[4]：

πA（Cpk）=Pa（Cpk）+[1-Pa（Cpk）]Pa（Cpk）+[1-Pa（Cpk）]2Pa（Cpk）+…+[1-Pa（Cpk）]m-1Pa（Cpk）==1-[1-Pa（Cpk）]m （5）

由于我们对批的处置是基于对样本的检测结果，因此存在做出错误决定的可能。一般地，当质量水平为可接收时，但不被验收抽样方案所接收的概率称为生产方风险，用α表示；当质量水平为不满意值时，但被验收抽样方案接收的概率称为使用方风险，用β表示。OC曲线的任意两点都可以用来指定抽样方案，通常用可接收质量水平AQL和批允许不良率LTPD这两个点，生产法和使用方都会提出一定的要求来保护各自的利益。这样在一个设计较好的抽样方案中，双方的风险保持在一个平衡的状态。当产品次品率为AQL时，过程能力指数用CAQL表示，此时生产方希望使用方以1-α的高接收概率接收；当产品的次品率为LTPD时，过程能力指数用CLTPD表示，此时使用方希望以很小的概率β接收。由此，基于过程能力指数Cpk的可重新提交的验收抽样方案的参数（n，C0）需要满足下面两个方程：

πA（CAQL）=1-[1-Pa（CAQL）]m≥1-α （6）

πA（CLTPD）=1-[1-Pa（CLTPD）]m≤β （7）

也就是同时满足下面两个非线性方程：

1-

G

×[?（t+

ξ）+?（t- ξ）]dt ] m-α≤0 （8）

1-

G

×[?（t+

ξ）+?（t- ξ）]dt ] m-（1-β）≤0 （9）

其中bA=3CAQL+|ξ|，bL=3CLTPD+|ξ|，CAQL>CLTPD。我们可以注意到所需的样本容量n为满足以上两个式子最小的正整数。

三、计算n和C0的算法步骤及常见临界值表

由于过程的参数μ和σ是未知的，因此ξ=（μ-M）/σ也是未知的，在实际中ξ的值也是要估计的。为此Pearn和Wu在其文章中进行了严格的计算得出：在ξ=1时，n和C0的值的较为合理，本文中我们令ξ=1。利用二分法[5]查找出在给定α、β、CAQL、CLTPD的值时满足（8）式和（9）式的n和C0的值，其中所得到的n值为满足两式的最小正整数，n和C0的值即组成了相应的计量验收抽样检验方案。为了更好的将本文的结论运用到实际中，我们计算了在一些较为常见的α、β、CAQL和CLTPD条件下的n和C0的值。

结论

验收抽样检验是生产方和使用方合作的前提，而在实际中仅进行一次抽样检验就做出拒绝的决定往往并不能令人信服，可连续提交的计量验收抽样检验方案对于双方来说都更加容易接受，过程能力指数的深入研究和广泛应用也使得实际操作变得更加简便易行，两者的结合更是计量验收抽样检验的一大进步。通过本文的研究，希望可以对验收抽样检验的方法和理念提供指导和帮助。