流动水中小船在不同坐标系下运动轨迹研究
2014-11-03朱云舟夏清华杨伟梁登龙
朱云舟+++夏清华+++杨伟+++梁登龙
摘 要：研究了小船在不同坐标系下的运动轨迹，在直角坐标系下，讨论了小船相对速度、牵连速度取某些特定值时的运动轨迹，所得结果直观显示了轨迹形状。
关键词：极坐标；直角坐标；轨迹方程
引言
在质点力学中，常见问题之一是求解质点运动轨迹，方法是先求出质点运动学方程，然后消去时间t，得出质点运动轨迹；或者是先列出质点运动微分方程，消去方程中的时间t，得出质点轨道微分方程，求解轨道微分方程，得到质点轨道方程。为了计算方便，通常还要考虑选取合适坐标系，如小船在流动水中运动，求解轨道方程[1]；质点在有心力作用下运动，求轨道方程等问题，均采用平面极坐标[1]。文章选取平面直角坐标系，求解出了小船在流动水中运动轨道方程，并讨论了小船相对速度和牵连速度取某些特定值时，小船运动轨迹形状。
1 极坐标和直角坐标下小船运动轨迹
文献[1]给出了这样的问题：小船M被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度v2朝岸上A点划回。假定河流速度v1沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。
1.1 极坐标下小船运动轨迹的求解
图1 水流速度v1，相对速度v2
以A为极点，岸为极轴建立坐标系，如图1，船沿垂直于r的方向的速度为-v1sin？覬，船沿径向r方向的速度为v2和v1沿径向的分量的合成，即
（1）
（2）
两式相除，得 （3）
对两边积分，得
（4）
设■=k，■=？琢，C为常数
即 （5）
代入初始条件r=r0，？渍=？渍0。设■=？琢0，有
，得 （6）
（7）
此即小船在极坐标系中的轨迹方程。
1.2 直角坐标下小船轨迹的求解
建立如图2所示直角坐标系。
沿x方向： （8）
沿y方向： （9）
两式相除，得 （10）
这是个可分离变量的方程，令■=u
由微分知识，知
（11）
（12）
化简得 （13）
解得 （14）
其中C为常数
设初始条件x=x0，y=y0
将初始条件代入（14）式，得
（15）
（16）
此即小船在直角坐标系中的轨迹方程。
2 结束语
（1）当v2=0，即船的相对速度为零时，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0为t=0时，小船初始位置的坐标，由此可见，小船的运动轨迹为一直线。
（2）当v2=v1，即船的相对速度等于水流速度时，小船运动的轨迹方程：x=-■y2+■。
（3）当v1=0，即在静水中时，由（10）式知：■=■，y=ax，a为常数，船的运动轨迹为一直线。
由此可见，采用极坐标和直角坐标都能求解出小船在小河中的运动轨迹。用极坐标求解小船的轨迹，求解步骤少，计算简便；用直角坐标求解小船的轨迹，运算较为复杂，但结果易于讨论，直观性好，也符合利用直角坐标的习惯。
参考文献
[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.
[2]高等数学[M].上海：同济大学出版社，2009.7.
作者简介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大学物理教学。
夏清华（1963-）男，教授，籍贯：湖北省鄂州市。研究方向：非线性物理。endprint
摘 要：研究了小船在不同坐标系下的运动轨迹，在直角坐标系下，讨论了小船相对速度、牵连速度取某些特定值时的运动轨迹，所得结果直观显示了轨迹形状。
关键词：极坐标；直角坐标；轨迹方程
引言
在质点力学中，常见问题之一是求解质点运动轨迹，方法是先求出质点运动学方程，然后消去时间t，得出质点运动轨迹；或者是先列出质点运动微分方程，消去方程中的时间t，得出质点轨道微分方程，求解轨道微分方程，得到质点轨道方程。为了计算方便，通常还要考虑选取合适坐标系，如小船在流动水中运动，求解轨道方程[1]；质点在有心力作用下运动，求轨道方程等问题，均采用平面极坐标[1]。文章选取平面直角坐标系，求解出了小船在流动水中运动轨道方程，并讨论了小船相对速度和牵连速度取某些特定值时，小船运动轨迹形状。
1 极坐标和直角坐标下小船运动轨迹
文献[1]给出了这样的问题：小船M被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度v2朝岸上A点划回。假定河流速度v1沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。
1.1 极坐标下小船运动轨迹的求解
图1 水流速度v1，相对速度v2
以A为极点，岸为极轴建立坐标系，如图1，船沿垂直于r的方向的速度为-v1sin？覬，船沿径向r方向的速度为v2和v1沿径向的分量的合成，即
（1）
（2）
两式相除，得 （3）
对两边积分，得
（4）
设■=k，■=？琢，C为常数
即 （5）
代入初始条件r=r0，？渍=？渍0。设■=？琢0，有
，得 （6）
（7）
此即小船在极坐标系中的轨迹方程。
1.2 直角坐标下小船轨迹的求解
建立如图2所示直角坐标系。
沿x方向： （8）
沿y方向： （9）
两式相除，得 （10）
这是个可分离变量的方程，令■=u
由微分知识，知
（11）
（12）
化简得 （13）
解得 （14）
其中C为常数
设初始条件x=x0，y=y0
将初始条件代入（14）式，得
（15）
（16）
此即小船在直角坐标系中的轨迹方程。
2 结束语
（1）当v2=0，即船的相对速度为零时，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0为t=0时，小船初始位置的坐标，由此可见，小船的运动轨迹为一直线。
（2）当v2=v1，即船的相对速度等于水流速度时，小船运动的轨迹方程：x=-■y2+■。
（3）当v1=0，即在静水中时，由（10）式知：■=■，y=ax，a为常数，船的运动轨迹为一直线。
由此可见，采用极坐标和直角坐标都能求解出小船在小河中的运动轨迹。用极坐标求解小船的轨迹，求解步骤少，计算简便；用直角坐标求解小船的轨迹，运算较为复杂，但结果易于讨论，直观性好，也符合利用直角坐标的习惯。
参考文献
[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.
[2]高等数学[M].上海：同济大学出版社，2009.7.
作者简介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大学物理教学。
夏清华（1963-）男，教授，籍贯：湖北省鄂州市。研究方向：非线性物理。endprint
摘 要：研究了小船在不同坐标系下的运动轨迹，在直角坐标系下，讨论了小船相对速度、牵连速度取某些特定值时的运动轨迹，所得结果直观显示了轨迹形状。
关键词：极坐标；直角坐标；轨迹方程
引言
在质点力学中，常见问题之一是求解质点运动轨迹，方法是先求出质点运动学方程，然后消去时间t，得出质点运动轨迹；或者是先列出质点运动微分方程，消去方程中的时间t，得出质点轨道微分方程，求解轨道微分方程，得到质点轨道方程。为了计算方便，通常还要考虑选取合适坐标系，如小船在流动水中运动，求解轨道方程[1]；质点在有心力作用下运动，求轨道方程等问题，均采用平面极坐标[1]。文章选取平面直角坐标系，求解出了小船在流动水中运动轨道方程，并讨论了小船相对速度和牵连速度取某些特定值时，小船运动轨迹形状。
1 极坐标和直角坐标下小船运动轨迹
文献[1]给出了这样的问题：小船M被水冲走后，由一荡桨人以不变的相对速度v2朝岸上A点划回。假定河流速度v1沿河宽不变，且小船可以看成一个质点，求船的轨迹。
1.1 极坐标下小船运动轨迹的求解
图1 水流速度v1，相对速度v2
以A为极点，岸为极轴建立坐标系，如图1，船沿垂直于r的方向的速度为-v1sin？覬，船沿径向r方向的速度为v2和v1沿径向的分量的合成，即
（1）
（2）
两式相除，得 （3）
对两边积分，得
（4）
设■=k，■=？琢，C为常数
即 （5）
代入初始条件r=r0，？渍=？渍0。设■=？琢0，有
，得 （6）
（7）
此即小船在极坐标系中的轨迹方程。
1.2 直角坐标下小船轨迹的求解
建立如图2所示直角坐标系。
沿x方向： （8）
沿y方向： （9）
两式相除，得 （10）
这是个可分离变量的方程，令■=u
由微分知识，知
（11）
（12）
化简得 （13）
解得 （14）
其中C为常数
设初始条件x=x0，y=y0
将初始条件代入（14）式，得
（15）
（16）
此即小船在直角坐标系中的轨迹方程。
2 结束语
（1）当v2=0，即船的相对速度为零时，由（8）式知：x=v1t+x0，y=y0，其中：x0，y0为t=0时，小船初始位置的坐标，由此可见，小船的运动轨迹为一直线。
（2）当v2=v1，即船的相对速度等于水流速度时，小船运动的轨迹方程：x=-■y2+■。
（3）当v1=0，即在静水中时，由（10）式知：■=■，y=ax，a为常数，船的运动轨迹为一直线。
由此可见，采用极坐标和直角坐标都能求解出小船在小河中的运动轨迹。用极坐标求解小船的轨迹，求解步骤少，计算简便；用直角坐标求解小船的轨迹，运算较为复杂，但结果易于讨论，直观性好，也符合利用直角坐标的习惯。
参考文献
[1]周衍柏.理论力学教程[M].北京：高等教育出版社，2009.7，22-23.
[2]高等数学[M].上海：同济大学出版社，2009.7.
作者简介：朱云舟（1993-），男，湖北武穴人，本科，研究方向：大学物理教学。
夏清华（1963-）男，教授，籍贯：湖北省鄂州市。研究方向：非线性物理。endprint
