几种形状规则刚体转动惯量的计算

韩众

（忻州师范学院物理系，山西忻州034000）

几种形状规则刚体转动惯量的计算

韩众

（忻州师范学院物理系，山西忻州034000）

转动惯量即刚体绕轴转动惯性的度量，是刚体力学中的重要概念。本文从刚体转动的动量矩和转动动能定义出发，推导计算了几种形状规则刚体的转动惯量,推导过程通俗易懂,便于学生理解和掌握，并且有助于学生寻求创新途径去巧解各类刚体的转动惯量。

刚体;转动惯量;推导

转动惯量是大学物理中刚体力学的重要知识，它是在刚体转达时物体的一个属性，代表了物体在转动时惯性的量度。它是和物体在做平动时的质量m相当的，其推导过程是由刚体转动的动量矩和转动动能转化而来的，里面涵盖了物理过程中重要的物理量。本文也主要从刚体转动的动量矩和转动动能来推导出转动惯量的定义公式，再对形状规则物体的转动惯量的具体表达式进行计算。

1 转动惯量的计算表达式

设一个刚体对于某一定点O的转动动能是T，则

其中,θi就是Pi的位移矢量ri与角速度矢量ω→之间的夹角，ρi为自任意一点Pi到转动瞬轴的垂直距离，即ri∙sinθi,然后上式可以改写为

其中,I就是转动惯量，由此可知，转动惯量I的表达式就是

这就是转动惯量的计算公式。若是对于连续的物体,则有积分的定义可知,上式可以转化为连续积分：

2 细棒转动的转动惯量的计算

首先设质量均匀分布的细棒的长度为L，质量为m，则细棒的质量线密度是mL，则有以下两种情况：

2.1 细棒绕过端点且垂直于细棒的轴转动的转动惯量

由公式（4）可知，

积分得到转动惯量的表达式：

2.2 细棒绕过其中点且垂直于细棒的轴转动的转动惯量的计算

这就是细棒绕中点转动时的转动惯量。由以上两部分的说明与计算可知，由转动惯量的定义公式直接推导出来的，细棒的转动惯量是分情况讨论才能确定的，因为不同的转动方式对应的转动惯量是不同的，学习的过程中如果只是记住结论会很容易混淆，也不能提升学生的自身能力。所以在大学物理学习的过程中，为了锻炼自己学习的能力掌握更多的知识，必须尝试自己去推导解题，而不能仅仅记住结论,因为这不是长久之计。

3 均匀圆环转动惯量的计算

由上面计算细棒的转动惯量可知，转动惯量的计算是要分情况的，需要对不同的转轴进行相应的分析与计算。对于圆环转动惯量的计算，就要分为绕过圆心且垂直于圆面的轴和过直径的轴。

3.1 均匀圆环绕过其圆心且垂直于圆面的轴

如图1所示,设圆环的质量为m，半径为R，则均匀圆环的周为2πR，所以均匀圆环的线密度是

于是，由公式(5)可知，均匀圆环绕过其圆心且垂直于圆所在平面的轴转动时的转动惯量为

图1 均匀圆环绕中心轴转动

由图可知，在0＜r＜R时，物体的质量为零，所以上式的积分仅仅是对最外面的环的积分，因此

上式就是在圆环在绕过其圆心且垂直于圆面的轴的转动惯量。

3.2 圆环绕过直径的轴转动的转动惯量的计算

图2 圆环绕过直径的轴转动

如图2所示,该圆环绕直线转动，均匀圆环的信息如上部分分析一样。为求得转动惯量，设过直径，x轴和y轴。

由圆环的对称性可知，x轴和y轴对应的转动惯量是一样的，根据惯量的定义可知，设对应的转动惯量分别为Ix和Iy。所以Ix=Iy。由转动惯量定理

则转动惯量Iz=mr2，即Ix+Iy=mr2=2Ix所以,

4 均匀圆盘绕过盘心且垂直于盘面的轴转动的转动惯量

设圆盘的半径为R,面密度是σ，所以圆盘的总质量为m=σπR2，由公式(4)可知，取任意一个小的圆环为单位，该圆环上的任意一点到转轴的距离都一样，结合圆环绕中心轴转动计算的说明可知，再根据公式(4)，可得出转动惯量的公式的说明：

5 结束语

公式的推导过程一般涉及到的数学知识较多，所谓数学物理不分家，指的就是这个。所以物理老师也要重视数学基本运算知识，为物理教学做好准备。学生自己尝试推导这些物理公式，在推导的过程中发现新的问题，从而更加巩固、强化自己所学到的知识。这些对学生提高成绩、培养科研能力都有很大的帮助。所以老师在教学过程中一定要注重公式的推导过程，并将这种推导公式的好习惯耳濡目染的感染给学生。本文通过大学物理转动惯量计算的推导，强化学生对公式的记忆，帮助学生理解公式内涵，有着至关重要的意义。

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Calculation of the Moment of Inertia of Several Regular Shape Rigid Body

HAN Zhong
(Department of Physics,Xinzhou Normal University,Xinzhou Shanxi,034000)

Moment of inertia is used to measure the intertia when rigid body rotate around the axis,which is an important concept in mechanics.This paper,from the definition of moment of momentum and rotational kinetic energy,calculated the moment of inertia of several regular shape rigid body.The process is easy for students to understand and master,and can help them in exploring the new ap⁃proach to solve this kind of problems.

rigid body;moment of inertia;calculation

P159.3

A

1674-0874(2014)04-0025-03

2014-05-04

韩众（1989-），男，山西五台人，助教，研究方向：物理教学研究。

〔责任编辑 高彩云〕