分数次积分算子在齐次双权Morrey-Herz空间上的有界性∗

张超楠,周疆,曹勇辉

(新疆大学数学与系统科学学院,新疆乌鲁木齐830046)

0 引言

分数次积分算子是研究偏微分方程问题的一类重要算子.为了更好的研究Possion方程,Sobolev[1]引入了经典的分数次积分算子,并证明了Is是(Lp(Rn),Lq(Rn))型的.1995年,Fan Dashan等[2]给出了奇异积分算子在Morrey空间上的有界性.2005年,Lu Shanzhen等[3]在研究奇异积分算子时,引入了一类与PDE相关的,比Herz空间和Morrey空间更一般的齐次Morrey-Herz空间,这类空间很快受到人们的重视,随后,Morrey-Herz空间上的一些极具研究价值的结果不断出现.2009年,Yasuo Komori等[5]证明了分数次积分算子在加权Herz空间上的有界性.2010年,Kuang Jichang[6]给出了齐次双权Morrey-Herz空间的定义,并得出了一类新的积分算子在其上的有界性.受文献[5]和[6]的启发,本文研究分数次积分算子在齐次双权Morrey-Herz空间上的有界性.

1 预备知识

定义1[1]分数次积分算子Is定义如下:

下面给出齐次双权Morrey-Herz空间的定义:

定义2[6]设α∈R,λ≥0,0

定义3[4]设1

定义4[4]设1

定义5[4]设 δ>0,称 ω ∈RD(δ),是指

以下引理在本文证明中是必要的：

引理1[4]设1上是有界的.

引理2[5]如果ω∈Ap,则

引理3[5]设1

引理4[5]如果ω∈A(p1,p2),则

2 主要定理及证明

定理 1设0≤λ<∞,00,δ2>0且1/q2=1/q1−s/n,

(1)ω1∈Am,ω1∈RD(δ1),1≤m<∞,

(3)−δ2/δ1q2<α<(1−s/n−r/q2)n/m,

定理1的证明

首先对F进行估计,由引理1知

从而有

结合引理2及引理4,得

将上述结果应用到E中,有

当1

结合引理3及引理4,得

当0−δ2/δ1q2,有

当1