转换法视角的地球运动计算题难点及其突破

侯刘起+廖伟业

“地球运动”计算题是高中地理教学的难点。转换法是指在效果不变的前提下，将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的方法。在高考中，“地球运动”计算题是考生取得理想成绩的“拦路虎”。对此，很多教师归因于学生“立体几何知识掌握不牢”。“地球运动”计算题与“立体几何”有什么关系？“地球运动”计算题的难点又是什么？笔者通过对比“地球运动”与“立体几何”高考题中的转换法，剖析“地球运动”计算题的难点，进而提出“地球运动”计算题难点的突破策略。

一、地球运动中的转换法

“地球运动”计算题包括“太阳高度角的计算”、“晨昏线的判读”、“时间的计算”、“昼夜长短的判读及计算”以及“光照图的判读”等题型，见例1、例2。

例1：（2006年广东卷·地理）图1中外圆表示纬线圈，N表示极点。读图，回答下列问题。

（1）若AB弧表示夜弧，则D点的日出时刻是：

A.21时30分 B.2时30分

C.8时00分 D.3时30分

（2）下列哪座城市的昼夜长短与图示情况最接近：

A.大庆 B.海口 C.岳阳 D.长春

（3）若AB弧表示2006年3月1日的范围，其余为另一日期。设B点为0时，则100°E的区时为：

A.2月28日13时40分 B.2月29日3时40分

C.3月2日14时00分 D.2月28日14时00分

解析：问题（1）考查昼夜长短及日出时刻的计算。解题时，应该把平面几何信息转换成时间信息，具体为：若AB弧表示夜弧，且从NA到NB所跨经度为75°。因为经度每隔15°，地方时相差1小时，所以AB弧表示的夜长为5小时，则D点所对应纬线的白昼时间为19小时。因此，日出时刻=12时-白昼的一半=12时-9时30分=2时30分，故选B。

问题（2）考查昼夜长短的空间分布。解题时，应该把平面图转换成立体图，具体为：图示地点昼长夜短，所以此时太阳直射北半球（以太阳直射北回归线为例），见图2。从图中可知昼长从太阳直射点到高纬度逐渐变长。另外，图1所示地区昼长远远大于夜长。4个选项中，大庆纬度最高，昼长最长，故选A。

问题（3）考查时间的计算。解题时，应该把平面几何信息转换成经线、时间信息。日界线有两条，一条为180°经线，一条为地方时是0时的经线。B点为0时，则NA为180°经线。图示极点N为北极点，且NA、NB两条经线相隔75°，则NB的经度为105°W，即西7区的区时为0时。那么100°E的区时（东7区）为0时+14时=3月2日14点00分，故选C。

例2：（2010年全国卷Ⅰ· 文综）假设从空中R点看到地表的纬线m和晨昏线n，如图3所示。R点在地表的垂直投影为S。据此回答下列问题。

■

（1）S地的纬度：

A.与M地相同 B.介于M、N两地之间

C.高于N地 D.低于M地

（2）如果在位于大陆上的N地看见太阳正在落下，则这一时期：

A.S地的白昼比N地长

B.美国加利福尼亚州火险等级高

C.巴西东南部正值雨季

D.长江口附近海水盐度处于高值期

（3）若R点沿直线RS：

A.上升，看到m、n的两交点间距离加大

B.下降，看到m、n的两交点间距离加大

C.上升，看到m、n呈现弯曲方向相反的相交曲线

D.上升或下降，看到m、n的形状保持不变

解析：问题（1）考查观察点及其投影的位置。解题时，应该把纬线的形状转换成S点的位置。因为纬线是一条直线，所以是从纬线m所在的小圆面上向下观察。连接R与地心就可以找到S（见图4），故选D。

问题（2）考查太阳直射点的位置及相关现象。解题时，应该把平面距离转换成昼（夜）长。由图3可知，n为昏线，m、n两交点间的距离代表夜长。则此时昼长>夜长。所以，此时为北半球的夏半年。经分析B正确。

问题（3）考查m、n形状的变化。m、n两交点间的距离代表昼（夜）长，不会因观察者位置的改变而改变。由图4可知，若沿直线RS上升，纬线m向南弯曲，故选C。

二、立体几何中的转换法

高考立体几何中常见的题型包括表面积与体积的计算，线线、线面、面面等位置关系（平行、垂直）的证明以及异面直线所成角、线面角、二面角等角的计算等，见例3。

例3：（2013年全国新课标卷Ⅰ·文数）如图5，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°。

（1）证明：AB⊥A1C；

（2）若AB=CB=2，A1C=■，求三棱柱ABC-A1B1C1的体积。

解析：问题（1）是异面直线间位置关系的证明，该类题目通常需要添加辅助线，把线线之间的关系转化成线面之间的关系，具体为：取AB的中点O，连接OC、OA1、A1B，见图6。因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，故AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB。

因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C。因为A1C在平面OA1C内，故AB⊥A1C。

问题（2）是求三棱柱的体积，因为该三棱柱不是直三棱柱，所以需要把求三棱柱的体积转化为找三棱柱的高线，具体为：由题意知，△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC=OA1=■，又A1C=■，则A1C2=OC2+OA12，故OA1⊥OC。又因为OA1⊥AB，OC∩AB=O，所以OA1⊥平面ABC，则OA1为棱柱ABC-A1B1C1的高。

又△ABC的面积S△ABC=■，故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=S△ABC×OA1=3。endprint

高考文科数学中，与球有关的题型主要有：根据球的截面计算球的表面积、体积以及球面距离等，见例4。

例4：（2008年湖北卷·文数）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为：

A.■ B.■

C.8■ D.■

解析：该题目考查小圆半径、球心到截面的距离以及球的半径之间的关系。该题目中包含文字信息较多。解题时，应该把文字、数字以及复杂抽象的内容通过形象的图示反映出来（如图3）。然后，把立体图形转换成平面几何，并利用勾股定理计算大圆的半径。最后，利用公式求球的体积，具体为：由图7知，OA为大圆的半径，OB为截面与球心的距离，AB为小圆半径。

则OB=1。又由题意知π·AB2=π，则AB=1。

在Rt△OAB中，OA2=AB2+ OB2，∴OA=■。∴V球=■πR3=■πOA3=■。故选D。

三、地球运动计算题难点及其突破

教师不能简单地把“地球运动计算题得分不高”归因于学生“立体几何知识掌握不牢”。因为，地球运动与立体几何的难点不同，具体如下。

第一，地球运动注重图形与文字、图形与图形之间的转换，不需要添加辅助线；立体几何侧重于添加辅助线。

第二，地球运动侧重于从平面几何知识向地球运动知识的转换，如把角度转换成时间、把距离转换成昼（夜）长；立体几何侧重于从“立体图向平面图的转换”，然后，借助平面几何知识进行计算，如利用勾股定理计算球的半径。

第三，地球运动侧重于地球表面，最主要的是根据几何知识计算时间、昼夜长短、太阳高度等；立体几何侧重于地球内部与地球表面的联系，如利用小圆半径、球心到截面的距离计算球的半径、体积、表面积等。

鉴于此，提出地球运动计算题难点突破策略，具体如下。

第一，“地球运动”计算题是考生取得理想成绩的“拦路虎”。因此，在突破难点过程中，要熟练掌握地球运动计算题相关知识，如晨昏线、地方时（区时）、太阳高度角以及昼夜长短等，并加以综合运用。

第二，在突破难点过程中，首先借助高考题、模拟题等题目，总结地球运动计算题中的各种光照图，如立体图、侧视图、俯视图等。其次提炼光照图中常用的平面几何知识，如角度、距离等。最后总结平面几何知识向地球运动知识转换方法，如把角度转换成时间、把距离转换成昼（夜）长。

第三，虽然不能简单地把“地球运动计算题得分不高”归因于学生“立体几何知识掌握不牢”。但是，解决地球运动计算题过程中需要良好的空间思维能力。因此，突破难点须借助地球仪等教学仪器以及立体几何中的球体等知识点，加强空间思维能力训练。▲endprint

高考文科数学中，与球有关的题型主要有：根据球的截面计算球的表面积、体积以及球面距离等，见例4。

例4：（2008年湖北卷·文数）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为：

A.■ B.■

C.8■ D.■

解析：该题目考查小圆半径、球心到截面的距离以及球的半径之间的关系。该题目中包含文字信息较多。解题时，应该把文字、数字以及复杂抽象的内容通过形象的图示反映出来（如图3）。然后，把立体图形转换成平面几何，并利用勾股定理计算大圆的半径。最后，利用公式求球的体积，具体为：由图7知，OA为大圆的半径，OB为截面与球心的距离，AB为小圆半径。

则OB=1。又由题意知π·AB2=π，则AB=1。

在Rt△OAB中，OA2=AB2+ OB2，∴OA=■。∴V球=■πR3=■πOA3=■。故选D。

三、地球运动计算题难点及其突破

教师不能简单地把“地球运动计算题得分不高”归因于学生“立体几何知识掌握不牢”。因为，地球运动与立体几何的难点不同，具体如下。

第一，地球运动注重图形与文字、图形与图形之间的转换，不需要添加辅助线；立体几何侧重于添加辅助线。

第二，地球运动侧重于从平面几何知识向地球运动知识的转换，如把角度转换成时间、把距离转换成昼（夜）长；立体几何侧重于从“立体图向平面图的转换”，然后，借助平面几何知识进行计算，如利用勾股定理计算球的半径。

第三，地球运动侧重于地球表面，最主要的是根据几何知识计算时间、昼夜长短、太阳高度等；立体几何侧重于地球内部与地球表面的联系，如利用小圆半径、球心到截面的距离计算球的半径、体积、表面积等。

鉴于此，提出地球运动计算题难点突破策略，具体如下。

第一，“地球运动”计算题是考生取得理想成绩的“拦路虎”。因此，在突破难点过程中，要熟练掌握地球运动计算题相关知识，如晨昏线、地方时（区时）、太阳高度角以及昼夜长短等，并加以综合运用。

第二，在突破难点过程中，首先借助高考题、模拟题等题目，总结地球运动计算题中的各种光照图，如立体图、侧视图、俯视图等。其次提炼光照图中常用的平面几何知识，如角度、距离等。最后总结平面几何知识向地球运动知识转换方法，如把角度转换成时间、把距离转换成昼（夜）长。

第三，虽然不能简单地把“地球运动计算题得分不高”归因于学生“立体几何知识掌握不牢”。但是，解决地球运动计算题过程中需要良好的空间思维能力。因此，突破难点须借助地球仪等教学仪器以及立体几何中的球体等知识点，加强空间思维能力训练。▲endprint

高考文科数学中，与球有关的题型主要有：根据球的截面计算球的表面积、体积以及球面距离等，见例4。

例4：（2008年湖北卷·文数）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为：

A.■ B.■

C.8■ D.■

解析：该题目考查小圆半径、球心到截面的距离以及球的半径之间的关系。该题目中包含文字信息较多。解题时，应该把文字、数字以及复杂抽象的内容通过形象的图示反映出来（如图3）。然后，把立体图形转换成平面几何，并利用勾股定理计算大圆的半径。最后，利用公式求球的体积，具体为：由图7知，OA为大圆的半径，OB为截面与球心的距离，AB为小圆半径。

则OB=1。又由题意知π·AB2=π，则AB=1。

在Rt△OAB中，OA2=AB2+ OB2，∴OA=■。∴V球=■πR3=■πOA3=■。故选D。

三、地球运动计算题难点及其突破

教师不能简单地把“地球运动计算题得分不高”归因于学生“立体几何知识掌握不牢”。因为，地球运动与立体几何的难点不同，具体如下。

第一，地球运动注重图形与文字、图形与图形之间的转换，不需要添加辅助线；立体几何侧重于添加辅助线。

第二，地球运动侧重于从平面几何知识向地球运动知识的转换，如把角度转换成时间、把距离转换成昼（夜）长；立体几何侧重于从“立体图向平面图的转换”，然后，借助平面几何知识进行计算，如利用勾股定理计算球的半径。

第三，地球运动侧重于地球表面，最主要的是根据几何知识计算时间、昼夜长短、太阳高度等；立体几何侧重于地球内部与地球表面的联系，如利用小圆半径、球心到截面的距离计算球的半径、体积、表面积等。

鉴于此，提出地球运动计算题难点突破策略，具体如下。

第一，“地球运动”计算题是考生取得理想成绩的“拦路虎”。因此，在突破难点过程中，要熟练掌握地球运动计算题相关知识，如晨昏线、地方时（区时）、太阳高度角以及昼夜长短等，并加以综合运用。

第二，在突破难点过程中，首先借助高考题、模拟题等题目，总结地球运动计算题中的各种光照图，如立体图、侧视图、俯视图等。其次提炼光照图中常用的平面几何知识，如角度、距离等。最后总结平面几何知识向地球运动知识转换方法，如把角度转换成时间、把距离转换成昼（夜）长。

第三，虽然不能简单地把“地球运动计算题得分不高”归因于学生“立体几何知识掌握不牢”。但是，解决地球运动计算题过程中需要良好的空间思维能力。因此，突破难点须借助地球仪等教学仪器以及立体几何中的球体等知识点，加强空间思维能力训练。▲endprint