Cl0，2k＋1的张量积分解式与矩阵表示

宋元凤，李武明

（1.吉林大学 数学学院，长春130012；2.通化师范学院 数学学院，吉林 通化134002）

Clifford代数在高维几何、理论物理、编码理论、机器人科学和地理科学等领域应用广泛［1－2］.设Clp，q为ℝp，q上的实 Clifford代数，Lee等［3－4］给出了实 Clifford代数Cl0，3的一种矩阵表示；曹文胜［5］给出了Cl0，3的另外两种矩阵表示，并探讨了其运算性质；文献［6］给出了实Clifford代数Clp，q的张量积表达式与矩阵表示，其中把实Clifford代数Clp，q的中心作为张量积分解式的一个因子.本文把文献［6］的结果进一步细化，给出了实Clifford代数Cl0，2k＋1的张量积分解式及矩阵表示.当Cl0，2k＋1的中心同构于ℂ时，得到了“Cl0，2k＋1同构于Cl1，1的k次张量幂和Cl0，1的张量积”的结论，并利用该结果得到Cl0，2k＋1的矩阵表示，由于此时Cl0，2k＋1为单代数［7］，所以在同构意义下Cl0，2k＋1的矩阵表示是唯一的.当Cl0，2k＋1的中心同构于ℝ与ℝ的直和时，得到了Cl0，2k＋1的张量积分解与矩阵表示，但此时矩阵表示不一定是唯一的.结合上述两种情况，得到了本文的主要结果：

其中：k为非负整数；2k＋1≡αmod 8；δ＝［1－｛α／3｝］.特别地，当2k＋1＝3时，可得一种与文献［3－5］形式不同的矩阵表示.

本文HH 表示四元数，⊗kCl1，1表示Cl1，1的k次张量幂，Cen（Clp，q）表示实 Clifford代数Clp，q的中心，e12…s为Cl0，2k＋1的s次单位向量，Mat（2，ℝ）表示2阶实矩阵代数，｛a｝表示实数a的小数部分，［a］表示实数a的整数部分，其他符号参见文献［8－9］.

1 Cl0，2k＋1的张量积分解

设｛e1，e2，…，ep＋q｝是ℝp，q的一组标准正交基，Clp，q上的Clifford乘积定义为

因此实 Clifford代数Clp，q是2p＋q维结合代数［8］.

本文从中心同构于ℂ和ℝ与ℝ直和两种情况探讨Cl0，2k＋1的张量积分解，首先给出中心同构于ℂ和ℝ与ℝ直和的充要条件.

引理1 设k是非负整数，则如下3个结论等价：

1）Cen（Cl0，2k＋1）同构于二维实代数ℂ；

证明：设e12…（2k＋1）为Cl0，2k＋1的2k＋1次单位向量，则

根据文献［6］经简单计算即可得结论.

引理2 设k是非负整数，则如下3个结论等价：

1）Cen（Cl0，2k＋1）同构于二维实代数ℝ⊕ℝ；

证明类似于引理1.

事实上，Cl3，0可视为由〈e1，e2〉和〈e123〉的乘积生成，而

经简单的张量积验证易知

Cl3，0也可视为由〈e12，e13〉和〈e123〉的乘积生成，而

经简单的张量积验证易知

注1 引理3的内容可参见文献［8］中第四章与第十七章，为考察Cl3，0的结构本文给出了Cl3，0的另一种证明.

所以当2k＋1≡1mod 8时，式（3）成立.当2k＋1≡5mod 8时，由引理3有

由文献［6］经简单计算可得如下引理.

结合引理4和引理5可给出Cl0，2k＋1的张量积分解式：

定理1 设k是非负整数，则

其中：2k＋1≡αmod 8；δ＝［1－｛α／3｝］.

2 Cl0，2k＋1的矩阵表示

定义1［10］设A 是有限维F－代数，V 是有限维F－向量空间.如果存在 F－代数同态ρ：A→EndF（V），则称（V，ρ）是A的一个F－表示.

定义2［10］如果存在F－线性同构f：M→N，使得∀a∈A，fρ（a）＝η（a）f，则称A的两个F－表示（M，ρ）和（N，η）等价.

设Fm表示域F上的m 阶全矩阵代数.对于A＝（aij）∈Fm，B＝（bij）∈Fn，记

或

设

引理6 当 Cen（Cl0，2k＋1）≃ℂ时，

证明：因为

所以当 Cen（Cl0，2k＋1）≃ℂ时，

引理7 设 Cen（Cl0，2k＋1）≃ℝ⊕ℝ.

1）如果2k＋1≡7mod 8，则

2）如果2k＋1≡3mod 8，则

证明：1）如果2k＋1≡7mod 8，则有式（3）.因为

所以

2）如果2k＋1≡3mod 8，则

因为

所以

特别地，当2k＋1＝3时，

又

结合引理6和引理7可得：

定理2 设k是非负整数，

其中：2k＋1≡αmod 8；δ＝［1－｛α／3｝］.

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