ℝ3中一类共线数字集自仿测度的谱性质

高 桂 宝

（1.陕西师范大学 数学与信息科学学院，西安710062；2.运城学院 应用数学系，山西 运城044000）

0 引 言

目前，谱自仿测度问题的研究主要体现在两方面：一方面，在什么条件下μM，D是一个谱测度［1－5］；另一方面，关于μM，D不是谱测度条件的研究［6－7］.文献［8］讨论了扩张整矩阵M和ℤ3中的数字集D分别为M＝pI3，D＝｛0，1，l｝v或者D＝｛0，1｝v所产生自仿测度的谱与非谱性质，其中：p∈ℤ＼｛0，±1｝；v＝｛α，β，γ｝T∈ℝ3，α2＋β2＋γ2≠0.其谱性只与 M，D 有关，本文考虑当数字集的个数超过3时的情形，讨论ℝ3中的（M，D）对，其中M，D 分别为M＝pI3，D＝｛0，1，2，…，q－1｝v，这里：

得到了几个μM，D的谱性与非谱性结果.

如果存在一个离散点集Λ⊂ℝn，使得E（Λ）∶＝ ｛e2πi〈λ，x〉：λ∈Λ｝成为L2（μ）的一个正交基，则称一个支撑在ℝn中紧集上的概率测度μ为谱测度，集合Λ称为μ的一个谱.由仿射迭代函数系｛φd（x）＝ M－1（x＋d）｝d∈D迭代产生的不变测度μ∶＝μM，D满足

猜测1［9－10］设M∈Mn（ℤ）是扩张整数矩阵，D⊂ℤn是有限集，且0∈D.如果存在S⊂ℤn，0∈S，使得（M－1D，S）是和谐对，则μM，D是一个谱测度.

本文结果提供了支持猜测1和猜测2可能成立的理论依据.

1 主要结果

定理1 设扩张矩阵M和数字集D由式（1）给出，q＝4，则：

1）当p∈4ℤ＋｛1，3｝时，L2（μM，D）中至多有4个正交指数函数；

2）当p∈4ℤ时，μM，D是谱测度.

M1＝B－1MB＝M，而μM，D与μM1，D1的谱性质相同.

令

从而μM，D与的谱性质相同.

从而

假设λj∈ℝ2（j＝1，2，3，4，5）.使得

是Z1∪Z2∪Z3中的10个元素，由抽屉原理知，Zi（i＝1，2，3）中有一个集合至少包含前4个元素中的2个元素，而这是不可能的.例如，若λ2－λ1，λ3－λ1∈Z1，则

而λ3－λ2∈Z1∪Z2∪Z3与

2）由于p∈4ℤ时，

定理1推广到ℝn空间上也成立，有下述推论：

推论1 设扩张矩阵M＝pIn和数字集D由式（1）给出（其中v∈ℝn且非零），q＝4，则：

1）当p∈4ℤ＋｛1，3｝时，L2（μM，D）中至多有4个正交指数函数；

2）当p∈4ℤ时，μM，D是谱测度.

对数字集个数q＞4时的情形有下列定理：

定理2 设扩张矩阵M和数字集D由式（1）给出，q＞4，则下列两个结论成立：

2）L2（μM，D）空间中有无限相互正交的指数函数当且仅当p，q的最大公因子大于1.

证明：记

从而μM，D与谱性质相同.

对于μ＝μM，D，由式（2）可得

通过迭代有

其中

则

其中ξ＝（ξ1，ξ2，ξ3）T∈ℝ3.

记

设gcd（q，p）＝d.假设q和p互素，即d＝1.设

则

假设d＞1，显然d≤q.

1）先考虑d＝q并且证明其对应的测度是谱测度.记p＝qr并定义

易验证矩阵

是它的一个谱，等价于下列等式成立：

而

从而

定理2推广到ℝn空间上也成立，有下述推论：

推论2 设扩张矩阵M 和数字集D 分别为M＝pIn，D＝｛0，1，…，q－l｝v，其中p∈ℤ＼｛0，±1｝，In是n阶单位矩阵，v是ℝn中的非零列向量，则：

2）L2（μM，D）空间中有无限相互正交的指数函数当且仅当p，q的最大公因子大于1.

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