平面立体被切割截交线的绘制方法

周佳园 高吉

摘 要：所有复杂的零件都可以看成由一些基本体通过切割和叠加而成的组合体，切割相对于叠加对学生来说更加难以掌握。笔者结合技工学校学生的特点，总结平面立体被切割的作图方法和步骤。

关键词：截交线 点的投影 作图方法

一、用单一平面切割平面立体

以正六棱柱为例，讲解截交线的形成。

一是用之前所学习的基本体三视图的形成，让学生分析基本体的三视图，主要着重分析棱线的投影。

二是从截平面具有积聚性的视图入手，分析截平面截断了几条棱线，截交线就是几边形。这里的棱线不仅包括侧棱线，还包括底面和顶面的底棱线和顶棱线，如图1所示。此截平面为正垂面，在主视图上投影具有积聚性，从主视图入手解题，根据第一步的分析，截平面截断了三条侧棱线，两条顶棱线。在主视图上标注出这五个点，如图1所示。

图1 图2

三是这五个点在棱线上处于特殊位置，按照点的投影关系求出这五个点在俯视图和左视图上的投影，这一步让学生在黑板上完成，如图2所示。

四是把这五个点的同面投影连成线，擦去没用的线条，看不见的轮廓线改成虚线，如图3所示。

五是做完这道题目，教师变换截平面的位置，让学生自己按照刚才的方法，独立完成题目，然后教师再进行讲解，以达到巩固学习的目的。

图3 图4

二、用组合平面切割平面立体

以正四棱锥为例，讲解组合截交线的画法。

一是分析正四棱锥的三视图，在解棱锥被切割的问题时，建议把锥顶S以及底面顶点A、B、C、D标记出来，这样求截交线的顶点在哪条棱线上、哪个棱面上，学生就一目了然了。

二是根据图4所示的截平面的位置，用两个组合平面切割正四棱锥时，两个平面在相交位置处会产生一条绞线，在做题时教师要一个截平面一个截平面地分析。此时截交线的顶点不仅仅是位于棱线上，也会位于棱面上，教师要分析截平面切断几条棱线，两个平面的交线的顶点位于哪个侧棱面上，按照第一步的分析，根据SABCD这样点的标记，可以分析出此位置有几条侧棱线。由此得出水平面切断了三条侧棱线SA、SB、SD，和正垂面的交线的交点位于两个侧棱面SBC和SCD上，所以截交线是个平面五边形；正垂面切断了一条侧棱线SC，和水平面的交线的交点位于两个侧棱面SBC和SCD上，截交线是个平面三角形，按照顺序标记出这些点，如图4所示。

三是按照点的投影关系，将位于棱线上的点直接在图中求出来。位于棱面上的点，如果这个棱面具有积聚性的话，此点的投影可以直接求出。而侧棱面SBC和SCD不具有积聚性，属于一般位置平面，因此在求解过程中需要用引辅助线的方法求得，这一部分可以由学生来完成，以强化之前知识的学习，如图5所示。

图5 图6

四是一个平面一个平面分析。根据截交线的封闭性特点，先把截交线的各个顶点连成线，擦去没用的线条，加深图形，再将不可见轮廓线绘制成虚线，如图6所示。

综上所述，求解平面立体被切割时的截交线的问题，关键是找到截交线的顶点，对于学生而言，这种标点并求点的投影的方法，虽然比较麻烦，但是对学生而言，按照步骤一步步做，正确率还是很高的，并且对基本体的投影学习也更加深化了。

（作者单位：宁波技师学院）