基于最小函数偏差的圆弧及椭圆插补算法

帅旗

【摘 要】对于圆弧和椭圆在步进驱动中的插补计算，传统逐点比较法和数字积分法，存在插补过程计算步骤较多，误差较大，机床进给效率较低问题，提出了一种最小偏差脉冲增量的插补方法，这种方法通过对插补函数偏差值进行计算及比较，并选择最小偏差方向为插补方向，同时给出了插补计算的推导算式，通过一系列实例验算比较，验证了这种插补方法具有较好的插补计算精度和效率。

【关键词】最小偏差；插补计算；数控技术；步进驱动

0 引言

数控机床的进给运动需要由数控系统发指令给进给轴伺服控制系统，伺服控制系统再驱动电机等执行部件。当机床需实现直线、圆弧、椭圆或其他曲线轨迹运动时，需多个坐标轴联动。多个坐标轴联动由数控系统经过插补运算，再生成各进给轴的控制指令。对于经济型数控机床，一般采用开环控制步进驱动方式[1]，由于步进系统通过脉冲信号进行控制，所以开环步进系统通过脉冲增量方式进行插补运算。传统脉冲增量方式有逐点比较法、数字积分法[2]。逐点比较法、数字积分法对圆弧形状进行插补计算时，存在计算步骤较多，插补误差较大，机床进给效率低下等问题，也难以对椭圆形状进行插补计算。相比较逐点比较法和数字积分法，最小偏差法有较好的插补充精度[3]，但其应用于圆弧及椭圆计算较为复杂。如文献[4-5]其提出了应用于圆弧插补的最小偏差计算方法，对椭圆插补难以适用。文献[6]提出了椭圆的一种最小偏差插补方法，其计算过程较为复杂。本文提出一种的基于函数最小偏差值的快速推导算式，不但能完成圆弧的插补计算，同时能完成椭圆的插补计算。

1 插补计算原理

对于圆弧的计算式为x2+y2=R2，椭圆的计算式为x2/a2+y2/b2=1，可把圓弧和椭圆统一为式：c1x2+c2y2=c3，对于插补坐标起长分别是△x和△y。如在插补点（xi，yi）处进给，存在只X方向进给△x，只Y方向进给△y，同时进给△x、△y三种情况。如只进给△x则有：

Fi+1|？驻x=Fi+2c1？驻xxi+c1？驻x2（1）

如只进给△y则有：

Fi+1|？驻y=Fi+2c2？驻yyi+c2？驻y2（2）

如同时进给△x、△y有：

Fi+1|？驻x，？驻y=Fi+2c1？驻xxi+2c2？驻yyi+c1？驻x2+c2？驻y2（3）

若点（xi，yi）落于曲线上时有Fi（xi，yi）=0，当选择插补方向时候可以通过比较（1）、（2）、（3）式使Fi为最小作为方向选择。如表1所示插补计算时用J1、J2、J3分别存储Fi+1|△x、Fi+1|△y和Fi+1|△x，△y值，用δi存储Fi值。如X、Y轴每次进给△x、△y为单位步长，以顺时针圆弧插补为例，则在四象限的有：（表1）。

2 实例验证

2.1 圆弧插补计算举例

对于第一象限圆弧x2+y2=25设起点坐标为（0，5）终点坐标为（5，0）圆心坐标为（0，0），进行顺时针插补，采用本文所述方法插补过程如表2所示：

表2 第一象限圆弧插补计算举例

2.2 椭圆插补计算举例

对于第三象限椭圆9x2+25y2=225，插补设起点坐标为（0，-3）终点坐标为（-5，0）圆心坐标为（0，0），进行顺时针插补，采用本文所述方法插补过程如表3所示。

3 插补方法计算结果比较

对于圆弧插补，因为四个象限圆弧形状具有对称性，本文以第一象限的顺时针圆弧为例，将本文所提的插补方法与逐点比较法和数字积分法等方法对于圆弧的插补结果进行比较，比较内容包括插补计算步骤数NC、插补点最大函数偏差值maxFi。其中表（下转第267页）4为圆弧方程x2+y2=25起点坐标为（0，5），终点坐标为（5，0），圆心坐标为（0，0）圆弧插补计算结果比较；表5为圆弧方程x2+y2=144起点坐标为（0，12），终点坐标为（12，0），圆心坐标为（0，0）圆弧插补计算结果比较；表6为圆弧方程x2+y2=10000起点坐标为（0，100），终点坐标为（100，0），圆心坐标为（0，0）圆弧插补计算结果比较。

表6 圆弧插补计算结果比较（x2+y2=10000）

4 结论

通过以上实例插补计算并与其他插补方法进行比较，此插补方法可以完成圆弧及椭圆插补，具有插补计算次数少、计算效率高、计算偏差小的特点，适合应用于需进行快速控制的步进驱动系统。

【参考文献】

[1]刘宝廷， 程树康，等.步进电动机及其驱动控制系统[M].哈尔滨工业大学出版社，1997.

[2]陈富安.数控机床原理与编程[M].西安电子科技大学出版社，2004.

[3]李功俊，任玉田，王宏甫.数控系统中的插补新算法偏差比较法[J].北京理工大学学报，1993，13（1）：55-63.

[4]王太勇，赵巍，李宏伟.快速最小偏差插补算法[J].组合机床与自动化加工技术，2003，6（1）：38-40.

[5]王光第，申莉莉.基于最小偏差插补法的圆弧算法研究[J].天津工程师范学院学报，2005，15（1）：42-45.

[6]赵巍，王太勇，李宏伟.最小偏差椭圆插补方法误差分析[J].机床与液压，2005，1（1）：20-21.

[责任编辑：杨玉洁]