巧用“二招”证明切线

摘要：切线是圆中非常重要的一个知识点，在解有关题目时用到的知识点比较多，难度比较大，灵活性比较强。教师在分析问题的过程中要反复强调重点，，下面介绍切线的两种基本证明方法：“作半径，证垂直;作垂线，证半径”

关键词：切线 证明

一、作半径，证垂直

已知图形中有直线与圆的公共点，但没有过该点的半径则可作出过该点的半径，然后证此半径与已知直线垂直，记为“作半径，证垂直”。

例1：已知：AB是⊙O的直径，

点D在AB的延长线上，

且BD=OB，点C在圆上，∠ CAB=30°，

求证：DC是⊙O的切 线

分析：因题设中给出了直线DC和圆的公共点C，但未给出过点C的半径，所以需要连接OC，再证明OC⊥DC即可。要证明OC⊥DC，需证明△OCD为RT△，由题设知OB=DB，可知B为OD的中点，只需证△OCD的中线CB=1/2OD即可。故需连接BC，由∠CAB=30°，可知∠COB=60°，可知OC=OB=BC，即知CB=1/2 OD，即OC⊥DC，故DC是⊙O的切线。

二、作垂线，证半径

已知图形中没有告知直线与圆的公共点，则需过圆心作该直线的垂线，再证圆心到垂足的距离等于该圆的半径，记为“作垂线，证半径。”

例2：已知：OC平分∠AOB，

D是OC上任意一点，⊙D与

OA相切于点E，

求证：OB与⊙D相切

分析：题设中没有告知直线OB与⊙D有公共点，故作DF⊥OB于F，然后证明DF等于⊙D的半径。要证DF等于⊙D的半径，还需作出半径DE，然后证明DF=DE。由切线性质可知DE⊥OA，由角平分线性质可知DF=DE，故OB与⊙D相切。

a，b，c的符号与抛物线y=ax2+bx+c的位置关系

吕文秀 甘南藏族自治州合作二中 747000

二次函数的图像及其性质是初中数学教学的一个重要的知识点，在解决一些题目时要求学生根据二次函数解析式画出示意图或根据示意图判断各系数符号， 下面就这方面知识谈一点自己的认识。

1. 的符号决定抛物线的开口方向。

抛物线开口向上;抛物线开口向下。

2. 的符号决定抛物线与轴交点的位置。

抛物线交轴的正半轴;抛物线交轴的负半轴。

3. 的符号决定抛物线对称轴的位置;

同号，，抛物线的对称轴在轴的左侧;异号，，抛物线的对称轴在轴的右侧;时，抛物线的对称轴为轴。

4.的符号决定抛物线与轴的交点个数。

抛物线与轴有两个交点;

抛物线与轴有一个交点;

抛物线与轴有无交点。

5. 的符号决定抛物线顶点的位置。

同号，顶点在第二或第三象限;

同号，顶点在第一或第四象限。

根據以上关系，可以解决下列问题。

例1 已知函数的图像

如图1，试判定及的符号。

解：由抛物线开口向上，可知;

由抛物线交轴的负半轴，可知;

由抛物线的顶点在第四象限可知，又知，则得由抛物线与轴有两个交点，可知。

例2 已知函数的图像

如图2，其中及

，试画出该抛物线的示意图。

解： 由可知抛物线开口向下;

由知抛物线交轴的正半轴;

由，，知抛物线的对称轴在轴的右侧;

由，，则得，;知抛物线顶点在第一象限;

综上可作出抛物线的示意图如图2所示。