常数项级数敛散性判别法总结

摘 要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。

关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点

无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。

1 级数收敛的概念

给定一个数列{un}，称

u1+u2+…+un+… （1）

为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。

注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。

借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|<1时几何级数收敛，可知级数收敛；由性质（2）和调和级数发散，可知发散。利用级数收敛的必要条件判定级数的敛散性，例如，因，故由级数收敛的必要条件知发散。

2 正项级数敛散性判别法

若级数各项均为非负数，则称该级数为正项级数。正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界。正项级数有以下几种常用判别法：

2.1 比较判别法

设与都是正项级数，且un≤vn（n=1，2，…），则收敛时，收敛；发散时，发散。

比较判别法适用范围比较广泛，当级数表达式型如，un为任意函数或un含有sinθ或cosθ等三角函数的因子可以进行适当的放缩时，选用比较判别法。在使用比较判别法时，需要与另一个已知的收敛或发散级数进行比较，这个作为比较用的级数通常选几何级数、P级数、调和级数。

例1：判别级数的敛散性。

解：由于x>0时，0

而几何级数的公比，故该几何級数收敛。于是，由比较判别法知，收敛。

2.2 比值判别法

设为正项级数，且.若0≤r<1，则收敛；若r>1，则发散。

当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。

例2：判别级数的敛散性。

解：因为

由比值判别法知级数收敛。

2.3 根植判别法

设为正项级数，若有，则当0≤r<1时，收敛；当时r>1，则发散。

当级数含有n次幂，型如an或（un）n选用根值判别法。根值判别法不需要与已知的基本级数进行比较。

例3：讨论级数的敛散性，其中a>0。

解：由于，所以由根植判别法知，当a<1时，级数收敛；当a>1时，级数发散；当a=1时，所给级数是P级数，故当P>1时级数收敛。

3 交错级数敛散性判别法

如果级数收敛，则称为绝对收敛；如果发散，而收敛，则称为条件收敛。形如的任意项级数，成为交错级数，其中un>0，n=1，2，…。

（莱布尼茨判别法）设交错级数满足：（1）un≥un+1，n=1，2，…；（2），则交错级数收敛，且其和S≤u1。

例4：讨论级数的敛散性。

解：由于，

故由莱布尼茨判别法知，交错级数收敛。

另一方面，当时0

4 结语

级数的敛散性是级数理论的核心问题，本文结合级数判别法的使用条件及特点对判别任意项级数敛散性做如下总结：首先检查是否成立，若不成立，则该级数发散；若成立，利用正项级数判别法判别的敛散性。若收敛，则绝对收敛；若发散，且此结论是由比值判别法或根植判别法做出的，则发散；若发散不是由比值判别法或根植判别法做出的，则需直接判别敛散性。

参考文献：

[1]龚德恩，范培华.微积分（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2012.

[2]吴赣昌.微积分（经管类第四版）[M].北京：中国人民大学出版社，2011.

[3]同济大学数学系.微积分（第三版下册）[M].北京：高等教育出版社，2010.

作者简介：李娜（1984—），女，河南商丘人，硕士，助教，主要从事：微分方程数值解研究。