浅谈二次函数在高中阶段的应用

邓庆全

在初中教材中，对二次函数作了较详细的研究，由于初中学生基础薄弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质（图象以及单调性、奇偶性、有界性）灵活应用，对二次函数还需再深入学习。

一、进一步深入理解函数概念

二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射?：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素X对应，记为?（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素X在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题。

类型I：已知?（x）= 2x2+x+2，求?（x+1）

这里不能把?（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。

类型Ⅱ：设?（x+1）=x2-4x+1，求?（x）

这个问题理解为，已知对应法则?下，定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1，求定义域中元素X的象，其本质是求对应法则。

一般有两种方法：

（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。

?（x+1）=x2-4x+1=（x+1）2-6（x+1）+6，再用x代x+1得?（x）=x2-6x+6

（2） 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。

令t=x+1，则x=t-1  ∴（t）=（t-1）2-4（t-1）+1=t2-6t+6从而?（x）= x2-6x+6

二、二次函数的单调性，最值与图象

在高中阶阶段學习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（-∞，-b/2a]及[-b/2a，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。

类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。

（1）y=x2+2|x-1|-1（2）y=|x2-1|（3）= x2+2|x|-1

这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。

类型Ⅳ设?（x）=x2-2x-1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t）。

求：g（t）并画出 y=g（t）的图象

解：?（x）=x2-2x-1=（x-1）2-2，在x=1时取最小值-2

当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=-2

当t>1时，g（t）=?（t）=t2-2t-1

当t<0时，g（t）=?（t+1）=t2-2

           t2-2， （t<0）

g（t）=  -2，（0≤t≤1）

t2-2t-1， （t>1）

首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。

三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维

类型Ⅴ：设二次函数?（x）=ax2+bx+c（a>0）方程?（x）-x=0的两个根x1，x2满足0<x1<x2<1/a。

（Ⅰ）当X∈（0，x1）时，证明X<?（x）<x1。

（Ⅱ）设函数?（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0<x/2。

解题思路：

本题要证明的是x<?（x），?（x）<x1和x0< x/2 ，由题中所提供的信息可以联想到：①?（x）=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点;②方程?（x）-x=0可变为ax2+（b-1）x+1=0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a.b.c之间的关系式，因此解题思路明显有三条①图象法②利用一元二次方程根与系数关系③利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路②为例解决这道题：

（Ⅰ）先证明x<?（x），令?（x）=?（x）-x，因为x1，x2是方程?（x）-x=0的根，?（x）=ax2+bx+c，所以能?（x）=a（x-x1）（x-x2）

因为0<x1<x2，所以，当x∈（0，x1）时， x-x1<0， x-x2<0得（x-x1）（x-x2）>0，又a>0，因此?（x） >0，即?（x）-x>0.至此，证得x<?（x）

根据韦达定理，有  x1x2=c/a    ∵ 0

即x<?（x）<x1

（Ⅱ） ∵?（x）=ax2+bx+c=a（x+-b/2a）2+（c-b2/4a  ），（a>0）

函数?（x）的图象的对称轴为直线x=-b/2a，且是唯一的一条对称轴，因此，依题意，得x0=-b/2a，因为x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根据违达定理得，x1+x2=-（b-1）/a，∵x2-1/a<0，

∴x0=-b/2a=1/2（x1+x2-1/a）<x/2，即x0=x/2。

二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。