独立性在概率统计教学过程中的要点解析

皮军德

[摘要]随机事件和随机变量的独立性是概率统计的一个重要概念，关于独立性的讨论与应用贯穿于概率统计教学的全过程。本文通过独立与互斥，独立与不相關，如何判断独立等几个不同的角度去解析独立性，从而使学生对独立性的本质有更深刻的理解。

[关键词]独立 互斥 不相关 随机事件 随机变量

独立性是概率统计的一个重要概念，在概率统计整个教学过程中都有独立性的影子，许多定理和结论需要在满足独立性的前提下才成立，而独立的随机变量和随机事件也使得计算简单方便。许多学生对这个概念的本质并不太理解，容易与互斥，不相关等概念上混为一谈，本文通过独立与互斥，独立与不相关，如何判断独立等几个不同的角度去解析独立性，从而使学生对独立性的本质有更深刻的理解。

一、事件的独立与互斥

定义：设S是随机试验E的样本空间，A，B是随机事件，若AB=Ф，则称为A，B互斥。如果不等式P（AB）=P（A）P（B）成立，则称事件A，B独立。

显然，事件的独立和互斥是从两个不同的方面来刻画随机事件，独立的本质是两种结果互不影响，互斥是两种结果不能同时出现。在教学过程中要强调这种本质的区别，具体来说，：

结论1：A，B独立且P（A）>0，P（B）>0，则A，B不互斥。

结论2：A，B互斥且P（A）>0，P（B）>0，则A，B不独立。

结论3：A，B独立且互斥，则P（A）P（B）=0。

二、随机变量的独立与不相关

随机变量的独立性和不相关性是刻画多维随机变量间关系的概念，许多多学生对这两个概念不太理解容易产生混淆，我们以二维随机变量（X，Y）为例来探讨二者之间的区别与联系。

定义：设（X，Y）为二维随机变量，若对任意的实数x，y有

P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}·P{Y≤y}，

则称X，Y相互独立。若X，Y的相关系数ρxy=0，则称X，Y不相关。

从定义上看，变量（X，Y）的独立性就是事件{X≤x}和{Y≤y}的相互独立，也就是说变量X，Y对彼此互不影响。相关系数刻画的是X，Y之间的线性相关程度强弱的量，而判断X，Y是否不相关，只需要看相关系数是否为零即可，从定义的层面来讲，是非常清楚的。二者之间的关系有如下结论：

结论1：若X，Y相互独立，则X与Y不相关。

结论2：若X与Y不相关，则不能判断X，Y是否相互独立。

独立的X，Y彼此互不影响，X与Y当然不会有线性关系，所以X与Y不相关。反过来，即使X与Y不具有线性关系，但是并不能说明二者之间互不影响，所以判断出是X，Y相互独立的。可见独立和不相关是从不同的侧面来刻画X与Y之间的关系，独立性本质是互不影响，其要求的更强，而不相关是用来表述X与Y之间不具有线性相关关系，此时X与Y之间可能存在其它的关系，这是把握这两个概念根本所在。

三、如何判定独立性

对独立性的判定通常有两个方面：首先是通过问题的实际意义来判定事件或变量的独立性，这在处理实际问题中非常重要。其次是根据题目中所给的具体条件利用定义和定理来判定，

例如我们可以利用P（A）P（B）=0来判定A，B独立;若A，B独立，则A，B独立;若f（x，y）=fx（x）fy（y），则X，Y相互独立。

[参考文献]

[1]盛骤，谢式千，潘承毅，概率论与数理统计，北京，高等教育出版社，2008，6.

[2]同济大学数学教研室，概率论，北京，高等教育出版社，1982，10。

（作者单位：河南工业大学理学院 河南郑州）