等速度曲线的某些性质及其应用
2014-10-21刘海明苗佳晶
刘海明 苗佳晶
【摘要】本文得到了等速度曲线的一些独特的微分几何性质，利用这些性质可以简化微分几何学教材中关于曲线的正交标架的一些复杂计算.
【关键词】微分几何;曲率; 等速度曲线
【中图分类号】O172;O177.91;O189.3
【文献标识码】A
【基金项目】牡丹江师范学院省级重点创新预研项目（SY201320）
一、引 言
微分几何是综合性大学数学系各专业的主干课程，也是应用性很强的一门数学课.微分几何课的目的是使学生学好作为数学基础的古典微分几何学内容，为以后进一步学习、研究现代几何学打好基础.陈省身先生在他的著作《微分几何讲义》的序言中曾表示未来数学的研究对象必然是流形，而刻画微分流形的性质需要有坚实的微分几何学基础，这从某种程度上充分说明了这门课程的重要性.另一方面，古典微分几何学实质上就是微积分在几何学中的应用，从这个层面讲，微分几何课程和高等数学、数学分析等课程之间的联系非常紧密.
遗憾的是，目前，微分几何课程在普通本科院校中的被重视程度是不足的，存在着课时量在被削减、师资队伍不专业等等一系列问题.基于以上原因，呼吁重新重视微分几何课程的呼声不断.我们从事微分几何学教学的工作者首当其冲.作为一名授课教师所能做到的是在讲授这门课程时适当地调节和精简它的教学内容，将一些能够反映出该门课程重要思想和本质的东西传授给学生，开阔学生的视野.古典微分几何学主要包含曲线论和曲面论两部分内容，本文主要的研究对象是曲线论中的一类特殊的曲线——等速度曲线，得到了这类曲线的一些独特的微分几何性质并简化了微分几何学教材中关于圆柱螺线的正交标架的计算，原因是圆柱螺线恰好是等速度曲线.
二、等速度曲线的微分几何性质
这一节中，主要给出等速度曲线的定义和一些微分几何性质.
定义1 若曲线r（t）的弧长参数公式为s（t）=1bt+a，则称r（t）是等速度曲线.其中s（t）是曲线的弧长，a，b为常数.
关于这类曲线，得到了下面的性质：
定理1 若r（t）是等速度曲线，则下列条件等价：
（1）s（t）=1bt+a;（2）s′（t）=r′（t）=1b=常数;
（3）r″（t）∥r¨s ;（4）r′（t）·r″（t）=0.
证明：（1）（2）因为
s（t）=∫tt0r→′（t）dt=a+1bt，
所以s′（t）=r′（t）=1b（常数）.
（2）（3）因为r′（t）=常数=1b ，
所以s（t）=∫tt0r′（t）dt=1bt+a.
又因为
r′（t）=r·dsdt=1br·，
r→″（t）=1br¨dsdr=1b2r¨，
所以 r′（t）∥r→·s ， r″（t）∥r¨s.
（3）4 因为r·s⊥r¨s，r′（t）∥r·s ，r″（t）∥r¨s，
所以r′（t）⊥r″（t），所以 r′（t）·r″（t）=0.
4（1）因为 r′（t）·r→″（t）=0，r′（t）=r·dsdt，
r″（t）=r¨dsdt2+r·d2sdt2，（1）
所以r·s⊥r″（t）.
又r·s⊥r¨s，r″（t）与r¨s共面，
所以r¨s∥r″（t）.
由（1）知d2sdt2=0，所以 dsdt=1b（常数）.
所以 s（t）=1bt+a.
所以曲线是等速度曲线，证必.
下面可以得到等速度曲線的三个基本向量的简化公式，这主要体现在副法向量的计算中.
定理2 等速度曲线的三个基本向量分别为：
α=r′（t）r′（t），β=r″（t）r″（t），γ=br′（t）×r″（t）r″（t）.
证明：因为r′（t）=r·dsdt，
所以 α=r·r=r′（t）r′（t）=br′（t）.
又由定理1知r¨s∥r″（t），
所以β=r¨sr¨s=r″（t）r″（t），
所以γ=α×β=r′（t）×r″（t）r′（t）r″（t） =br′（t）×r″（t）r″（t）.
定理3 等速度曲线的曲率k（t）=b2r′′（t）.
证明：因为 s（t）=1bt+a，
所以k=r¨=r″/dsdt2 =b2r″（t）.
三、教学应用
如果曲线是等速度曲线，那么我们可以用r″r″代替β，从而使求解的相关问题简化.下面的例子来自于微分几何学教材[1].
例 求螺线x=cost，y=sint，z=t在点（1，0，0）的切线、法平面、副法线、密切平面、主法线及从切平面的方程及基本向量α，β，γ.
这个问题的解答过程中，其主法向量β的计算比较复杂，这里我们可以证明螺旋线
x=cost，y=sint，z=t
是等速度曲线.这样，利用定理1的结论知，它的主法向量β=r″（t）r″（t）.
仅以求点1，0，0处的主法向量β为例，应用上述结论，只需求出
r″（t）=-cost，-sint，0，r″0=1，0，0，从而求出β=r″0r→″0=1，0，0，
避免了教材中复杂的计算过程.
【参考文献】
[1]梅向明，黄敬之.微分几何[M].3版.北京：高等教育出版社，2003：80-148.
[2]杜卡莫，田畴，等译.曲线与曲面的微分几何[M].北京：机械工业出版社，2005：98-101.
[3]苗佳晶，刘海明.一元函数的极值及其奇异性[J].高等数学研究，2011，14（1）：26-28.
[4]陈省身，陈维桓.微分几何讲义[M].北京：北京大学出版社，1983.
