一道法国国家队试题的精巧证明

曹武

题 设x，y，z∈R+，x+y+z=1，求证：

xyz+xy+yzx+yz+zxy+zx≤32.（1）

其他文獻利用三角换元法给出一个漂亮证明.经研究，笔者发现了一个出乎意料的方法.

证明 因为z+xy=z（x+y+z）+xy=（z+x）（z+y），

同理x+yz=（x+y）（z+x），y+zx=（x+y）（y+z），

所以（1）左边=xz+x·yy+z+yx+y·zz+x+zy+z·xx+y

≤12xz+x+yy+z+12yx+y+zz+x+12zy+z+xx+y

=12（xx+y+yx+y+yy+z+zy+z+zz+x+xz+x）

=32.

∴ （1）获证.