航向数据混沌特性分析及预测

黎才鑫等

摘 要：惯导系统输出航向数据具有混沌特性，应用混沌理论对其进行分析，采用C?C方法重构相空间，在此基础上分别通过定性与定量方式分析其混沌特性并计算最大Lyapunov指数。以相空间重构后的时间序列为变量输入，采用RBF神经网络预测航向数据，结果表明其预测精度优于未经相空间重构的直接预测法。

关键词： 航向数据； 混沌特性分析； 相空间重构； RBF神经网络； Lyapunov指数

中图分类号： TN911.7?34 文献标识码： A 文章编号： 1004?373X（2014）19?0128?04

Analysis and prediction for chaotic characteristics of course data

LI Cai?xin1， LI Tian?wei1， GUO Jiao2， MENG Fan?jun1

（1. Department of Navigation， Dalian Naval Academy， Dalian 116018， China； 2. Department of Basic， Dalian Naval Academy， Dalian 116018， China）

Abstract： Since the course data from INS features chaotic property， the chaos theory is applied to its analysis and C?C method is used for reconstructing the phase space of course data. Based on this， not only different methods are adopted to conduct qualitative and quantitative analyses of chaos characteristics， but also its maximum Lyapunov exponent is calculated. Taking the time sequence after phase space reconstruction as variable input， RBF neural network is used to predict course data， the test result shows that its prediction accuracy is superior to that of the traditional RBF neural network without the phase space reconstructing.

Keyword： course data； chaotic characteristic analysis； phase space reconstruction； RBF neural network； Lyapunov exponent

惯性导航系统输出数据的准确性与舰船安全航行息息相关，其数据精度取决于陀螺仪自身的漂移误差、结构形变以及湿度、温度等参量[1]，并且与之存在着显著的非线性关系。通过分析数据，判断系统运动特性，短时预测系统行为，进而为修正系统误差提供基础。目前以参数辨识为主的分析方法需要通过理想化部分参量的数值进而简化原系统建模，显然降低了模型对原系统的拟合度。混沌特性分析理论为解决这类非线性问题提出了一种新方法。惯导航向输出数据可以看作是一个多种相关量综合作用下的非线性混沌时间序列，输出数据通常会表现出极其复杂而难以长期精确预测的演化特征，利用混沌理论中的相空间重构方法，可将输出数据时间序列扩展到高维相空间，体现时间序列信息后再进行短时预测 [2?6]。

1 航向数据的相空间重构

1.1 实测航向数据

本文采用惯导系统在航向074°的导航状态上保持5 h，去除暂态数据后，由监控计算机实时采集的实测航向数据，数据的时间序列采样间隔为5 s，采样时间约为2.7 h。所得数据如图1所示。

1.2 相空间重构

复杂非线性系统的变量通常具有低可测行、初值敏感性、非平稳、非线性等特征，一般只能观测到其中某一分量的离散样本序列，例如文中航向数据时间序列，分析这类数学模型未知的非线性动力系统混沌特性时，为了从时间序列中得到必要的信息，首先需要进行合理的相空间重构。时间序列本身蕴含了组成动力系统全部变量的相关信息，所以根据一个变量的时间序列可以重构系统的相空间，通过分析变量的分量数据，将其在固定时间延迟点的观测量作为新坐标，可张成一个多维状态空间，称为重构的相空间，即1981年Takens提出的延迟坐标法[7]。其中相空间的维数称为嵌入维数，用[m]表示，固定的时间延迟称为嵌入延迟，用[τ]表示，则相空间的重构矢量[Xi]即为：

[Xi=xi，xi+τ，xi+2τ，…，xi+（m-1）τ， i=1，2，…，N-（m-1）τ] （1）

重构后的相空间即为：[X=X1X2…XMT， M=N-（m-1）τ] （2）

重构后的相空间[Xi]为一个[M×m]的矩阵，根据Takens定理，可以在拓扑等价的意义下恢复吸引子的动力学特征，从而识别原动力学系统的基本特性。

1.3 C?C方法

相空间重构有多种方法，1999年Kim H.S.等人提出了基于统计学理论的 C?C方法[8]，该方法易于操作，计算量小，在实际使用中有较好的效果，本文采用该方法进行相空间重构。对于重构后的相空间[X]（如式2），其关联积分定义为：

[C（m，N，r，t）=2M（M-1）1≤i≤j≤MMθ（r-Xi-Xj）， M=N-（m-1）t] （3）

式中：[t]为序列拆分数；[N]为时间序列长度；[r]为半径。用一个线性区域的斜率近似表示关联维，当[N=tl]时，[l=Nt]是子序列长度，将长度为[N]的时间序列分为[t]个不相交的子序列，令[N→∞，]每个子序列[S（m，N，r，t）]可化为[S（m，r，t）：]

[S（m，r，t）=1tS=1tCs（m，r，t）-CmS（1，r，t）， m=2，3，…] （4）

式中：[Cs（m，r，t）]表示计算以嵌入维数[m]重构拆分后的子序列的关联积分，子序列时间延迟为1；[CmS（1，r，t）]表示计算拆分后子序列关联积分的[m]次方，[S]表示拆分后的子序列。选取最大和最小两个半径[r，]计算差量为：

[ΔS（m，t）=maxS（m，rj，t）-minS（m，rj，t）] （5）

应用统计学BDS理论[9]可以得到[N，][m]和[r]的值，Brock等人所做的关于几种重要渐进分布的数学统计结果表明，当[2≤m≤5， σ2≤r≤2σ， N≥500]时，渐进分布可以通过有限序列得到很好的近似，并且[S（m，N，r，1）]能有效的代表序列的相关性，根据统计结论，取[m=2，3，4，5， ][rj=iσ2，][ i=1，2，3，4， ][σ]为时间序列标准差[10]，计算：

[S（t）=116m=25j=14S（m，r，t）] （6）

[ΔS（t）=14m=25ΔS（m，t）] （7）

[Scor（t）=ΔS（t）+S（t）] （8）

航向数据时间序列的[ΔS（t），][Scor（t）]变化曲线如图2所示。计算可得到航向数据时间序列的时间延迟[τ]=16，嵌入维数[m=6。]

2 航向数据混沌特性分析

由于测量原理及工具的限制，使得时间序列不可避免地带有噪声。因此如何将服从一定规律的信号（如混沌信号）与无规律的噪声相区分是分析时间序列特性的关键。分析混沌时间序列的方法主要有主分量分析方法、功率谱分析方法、最大Lyapunov指数法、庞加莱截面法、饱和关联维数法等，由于这些方法都是从某一方面对序列进行判别，是判断序列是否混沌的必要条件，因此需要采取多种方法结合的方式，以确保判别的准确性。本文采用功率谱分析方法、主分量分析方法和最大Lyapunov指数方法分别分析航向数据时间序列的特性。

2.1 功率谱分析

在一些物理现象中，频率[f]与相应的功率[E（f）]之间具有指数关系，功率谱的幂函数形式表明，虽然频率[f]在空间中跨越很宽的尺度，但其结构却有自相似的特征[10]，因此，看上去不规则的时间序列图像，其功率谱却可能呈现出规则性。一般地，功率谱具有单峰（或多个峰）的谱图对应于周期序列（或拟周期序列）；无明显的峰值或峰连成一片，则对应于湍流或混沌序列。所以，可用功率谱分析作为判断序列混沌的一种方法[11?12]。

图3是航向数据时间序列功率谱分析图，从图中可以看出，航向数据时间序列的功率谱图无明显峰值，表明该时间序列具有混沌特性。

2.2 主分量分析

主分量分析（PCA分布）方法是近年来提出的一种能有效识别与分析混沌和噪声的方法[13]，由于混沌信号和噪声的主分量分布之间存在着显著差异，混沌信号的主分量谱图是一条近似直线（或含有类似直线的部分），其斜率为负值且过定点，而噪声信号的主分量谱图是一条与[x]轴接近平行的直线，所以可用于判断所采集的航向数据时间序列是否为混沌时间序列。

对所采集的航向数据绘制时间序列的主分量谱图，如图4所示，从图中可以看出，对所得到的嵌入维数[m]（m=6）进行相空间重构后，绘制的主分量谱图存在斜率为负值的直线部分，这个结果可以作为一个必要条件证明航向数据时间序列具有混沌特性的。

2.3 最大Lyapunov指数

以上两种方法是通过定性分析判断混沌特性的，而最大Lyapunov指数方法则通过定量分析判断混沌特性。混沌运动具有初值敏感性的特点，因此即使两个初值较为靠近，随着时间的推移，其产生的轨道仍会按指数方式分离，这一现象可采用Lyapunov指数定量描述[14]。若最大Lyapunov小于零，意味着初始相邻点经迭代后最终要靠拢合并成一点，对应于稳定的不动点或周期运动；若最大Lyapunov大于零，意味着相邻点最终要分离，对应于轨道的局部不稳定，或在整体稳定因素作用下反复折叠形成混沌吸引子。因此，最大Lyapunov指数可作为判断时间序列混沌特性的一个条件。

本文采用小数据量算法[15]计算航向数据时间序列的最大Lyapunov指数（用[λ1]表示），通过小数据量算法计算经过C?C方法重构相空间的航向数据时间序列，得到[λ1=0.001 278 2，][λ1]>0，即最大Lyapunov指数大于零，说明所采集的航向数据时间序列具有混沌特性。

对于一个混沌系统，通常将最大Lyapunov指数的倒数作为该系统确定性预测时间的上界，即：

[T=1λ1] （9）

当预测时间在该时间尺度内时，预测误差会随着预测步长平稳增大；当超过该界限时，误差会倍增，使预测结果失去意义。利用上文计算结果，可得预测时间尺度为[T=782。]

3 航向数据时间序列预测

由于混沌系统的运动状态会受到初值的影响，难以对其进行长期预测，但是在短时间内系统轨道比较稳定，且混沌时间序列内部有一定的规律性，因此可利用神经网络的非线性拟合能力、自组织、自学习特点，对混沌系统进行短时预测，本文采用具有较好的收敛速度、拟合能力以及更高预测精度的径向基函数（RBF）神经网络预测航向数据时间序列[16]，将相空间重构后的矢量作为输入数据，神经元数目与嵌入维数[m]相等。采用图1中1 700点样本序列进行分析，前1 500点用于训练神经网络，后200点用于校验神经网络精度。使用前面的计算结果，取时间延迟[τ]=16，嵌入维数[m=6。]将基于RBF神经网络的预测航向和实测航向对比，通过均方根误差（Root Mean Square Error of Prediction，RMSE）衡量预测效果。

[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]为预测航向；[xi]为实测航向。经计算，直接使用RBF神经网络预测数据的RMSE标准差为0.0711，经相空间重构后使用RBF神经网络预测数据的RMSE标准差为0.052 1。可见，经过相空间重构后可使预测精确度提高1.36倍。图5为经相空间重构后的航向数据预测结果与实际数据比较。

4 结 语

将航向数据作为具有混沌特性的时间序列处理，通过各自独立的方法从定性与定量两方面验证其输出数据的混沌特性，避免了单一方法所导致的分析偏差，并计算得最大Lyapunov指数为0.001 278 2，将经过相空间重构后的数据时间序列用于训练RBF神经网络并进行数据预测，与传统的直接预测方法相比，预测精度有所提高，准确预测航向数据可为误差修正提供参考。由于本文数据样本有限，所以该方法应用范围及适用性还有待于进一步实验验证。

参考文献

[1] 张均红，赵君辙.惯性导航中陀螺仪的研究现状及发展趋势[J].科协论坛：下半月，2008（7）：66?67.

[2] 高俊杰.混沌时间序列预测研究及应用[D].上海：上海交通大学，2013.

[3] COBAN G， BUYUKLU A H， DAS A. A linearization based non?iterative approach to measure the Gaussian noise level for chaotic time series [J]. Chaos， Solitons & Fractals， 2012， 45（3）： 266?278.

[4]AN Y J， Sun C Z. The digital simulations of the chaos phenomenon in the brushless DC motor driving system for the deepwater robot [C]// ICEMS. [S.l.]： [s.n.]， 2004： 630?632.

[5] 魏国，汤建勋，王宇，等.基于灰色时序模型的激光陀螺漂移数据滤波[J].红外与激光工程，2011（4）：173?177.

[6] 胡昌华，李斌，周志杰，等.基于隐马尔可夫模型的陀螺仪漂移预测[J].系统仿真技术，2011（3）：13?18.

[7] TAKENS F. Detecting strange attractors in turbulence [J]. Lecture Notes in Mathematics， 1981， 898： 366?381.

[8] KIM H S， EYKHOL T R， SALAS J D. Nonlinear dynamics， delay times， and embedding windows [J]. Physics D， 1999， 127（1/2）： 48?60.

[9] BROCK W A， DECHERT W D， SCHEINKMAN J. A test for independence based on the correlation dimension [R]. Madison： University of Wisconsin， 1987.

[10] 吕金虎，陆君安，陈士华.混沌时间序列分析及其应用[M].武汉：武汉大学出版社，2005.

[11] CHEN G， DONG X. From chaos to order [M]. Singapore：World Scientific Publishing， 1997.

[12] WEI H D，LI L P，GUO J X. An efficient method of distinguishing chaos from noise [J]. Chinese Physics B. 2010 （05）： 102?107.

[13] NIU C，LI X H，LIU D Z. Chaotic dynamic characteristics of Z component in geomagnetic variation field [J]. Acta Physica Sinica.， 2010， 59（5）： 3077?3087.

[14] 姚天亮，刘海峰，许建良，等.基于最大Lyapunov指数不变性的混沌时间序列噪声水平估计[J].物理学报，2012（6）：59?63.

[15] 吉训生，王寿荣.硅微陀螺漂移混沌特性分析及预测[J].中北大学学报：自然科学版，2011（5）：43?49.

[16] 张德丰.Matlab神经网络仿真与应用[M].北京：电子工业出版社，2009.

[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]为预测航向；[xi]为实测航向。经计算，直接使用RBF神经网络预测数据的RMSE标准差为0.0711，经相空间重构后使用RBF神经网络预测数据的RMSE标准差为0.052 1。可见，经过相空间重构后可使预测精确度提高1.36倍。图5为经相空间重构后的航向数据预测结果与实际数据比较。

4 结 语

将航向数据作为具有混沌特性的时间序列处理，通过各自独立的方法从定性与定量两方面验证其输出数据的混沌特性，避免了单一方法所导致的分析偏差，并计算得最大Lyapunov指数为0.001 278 2，将经过相空间重构后的数据时间序列用于训练RBF神经网络并进行数据预测，与传统的直接预测方法相比，预测精度有所提高，准确预测航向数据可为误差修正提供参考。由于本文数据样本有限，所以该方法应用范围及适用性还有待于进一步实验验证。

参考文献

[1] 张均红，赵君辙.惯性导航中陀螺仪的研究现状及发展趋势[J].科协论坛：下半月，2008（7）：66?67.

[2] 高俊杰.混沌时间序列预测研究及应用[D].上海：上海交通大学，2013.

[3] COBAN G， BUYUKLU A H， DAS A. A linearization based non?iterative approach to measure the Gaussian noise level for chaotic time series [J]. Chaos， Solitons & Fractals， 2012， 45（3）： 266?278.

[4]AN Y J， Sun C Z. The digital simulations of the chaos phenomenon in the brushless DC motor driving system for the deepwater robot [C]// ICEMS. [S.l.]： [s.n.]， 2004： 630?632.

[5] 魏国，汤建勋，王宇，等.基于灰色时序模型的激光陀螺漂移数据滤波[J].红外与激光工程，2011（4）：173?177.

[6] 胡昌华，李斌，周志杰，等.基于隐马尔可夫模型的陀螺仪漂移预测[J].系统仿真技术，2011（3）：13?18.

[7] TAKENS F. Detecting strange attractors in turbulence [J]. Lecture Notes in Mathematics， 1981， 898： 366?381.

[8] KIM H S， EYKHOL T R， SALAS J D. Nonlinear dynamics， delay times， and embedding windows [J]. Physics D， 1999， 127（1/2）： 48?60.

[9] BROCK W A， DECHERT W D， SCHEINKMAN J. A test for independence based on the correlation dimension [R]. Madison： University of Wisconsin， 1987.

[10] 吕金虎，陆君安，陈士华.混沌时间序列分析及其应用[M].武汉：武汉大学出版社，2005.

[11] CHEN G， DONG X. From chaos to order [M]. Singapore：World Scientific Publishing， 1997.

[12] WEI H D，LI L P，GUO J X. An efficient method of distinguishing chaos from noise [J]. Chinese Physics B. 2010 （05）： 102?107.

[13] NIU C，LI X H，LIU D Z. Chaotic dynamic characteristics of Z component in geomagnetic variation field [J]. Acta Physica Sinica.， 2010， 59（5）： 3077?3087.

[14] 姚天亮，刘海峰，许建良，等.基于最大Lyapunov指数不变性的混沌时间序列噪声水平估计[J].物理学报，2012（6）：59?63.

[15] 吉训生，王寿荣.硅微陀螺漂移混沌特性分析及预测[J].中北大学学报：自然科学版，2011（5）：43?49.

[16] 张德丰.Matlab神经网络仿真与应用[M].北京：电子工业出版社，2009.

[RMSE=i=1N（xi-xi）2N] （10）

式中：[xi]为预测航向；[xi]为实测航向。经计算，直接使用RBF神经网络预测数据的RMSE标准差为0.0711，经相空间重构后使用RBF神经网络预测数据的RMSE标准差为0.052 1。可见，经过相空间重构后可使预测精确度提高1.36倍。图5为经相空间重构后的航向数据预测结果与实际数据比较。

4 结 语

将航向数据作为具有混沌特性的时间序列处理，通过各自独立的方法从定性与定量两方面验证其输出数据的混沌特性，避免了单一方法所导致的分析偏差，并计算得最大Lyapunov指数为0.001 278 2，将经过相空间重构后的数据时间序列用于训练RBF神经网络并进行数据预测，与传统的直接预测方法相比，预测精度有所提高，准确预测航向数据可为误差修正提供参考。由于本文数据样本有限，所以该方法应用范围及适用性还有待于进一步实验验证。

参考文献

[1] 张均红，赵君辙.惯性导航中陀螺仪的研究现状及发展趋势[J].科协论坛：下半月，2008（7）：66?67.

[2] 高俊杰.混沌时间序列预测研究及应用[D].上海：上海交通大学，2013.

[3] COBAN G， BUYUKLU A H， DAS A. A linearization based non?iterative approach to measure the Gaussian noise level for chaotic time series [J]. Chaos， Solitons & Fractals， 2012， 45（3）： 266?278.

[4]AN Y J， Sun C Z. The digital simulations of the chaos phenomenon in the brushless DC motor driving system for the deepwater robot [C]// ICEMS. [S.l.]： [s.n.]， 2004： 630?632.

[5] 魏国，汤建勋，王宇，等.基于灰色时序模型的激光陀螺漂移数据滤波[J].红外与激光工程，2011（4）：173?177.

[6] 胡昌华，李斌，周志杰，等.基于隐马尔可夫模型的陀螺仪漂移预测[J].系统仿真技术，2011（3）：13?18.

[7] TAKENS F. Detecting strange attractors in turbulence [J]. Lecture Notes in Mathematics， 1981， 898： 366?381.

[8] KIM H S， EYKHOL T R， SALAS J D. Nonlinear dynamics， delay times， and embedding windows [J]. Physics D， 1999， 127（1/2）： 48?60.

[9] BROCK W A， DECHERT W D， SCHEINKMAN J. A test for independence based on the correlation dimension [R]. Madison： University of Wisconsin， 1987.

[10] 吕金虎，陆君安，陈士华.混沌时间序列分析及其应用[M].武汉：武汉大学出版社，2005.

[11] CHEN G， DONG X. From chaos to order [M]. Singapore：World Scientific Publishing， 1997.

[12] WEI H D，LI L P，GUO J X. An efficient method of distinguishing chaos from noise [J]. Chinese Physics B. 2010 （05）： 102?107.

[13] NIU C，LI X H，LIU D Z. Chaotic dynamic characteristics of Z component in geomagnetic variation field [J]. Acta Physica Sinica.， 2010， 59（5）： 3077?3087.

[14] 姚天亮，刘海峰，许建良，等.基于最大Lyapunov指数不变性的混沌时间序列噪声水平估计[J].物理学报，2012（6）：59?63.

[15] 吉训生，王寿荣.硅微陀螺漂移混沌特性分析及预测[J].中北大学学报：自然科学版，2011（5）：43?49.

[16] 张德丰.Matlab神经网络仿真与应用[M].北京：电子工业出版社，2009.