图像压缩中基于分形维数的小波基选取

唐国维,王苫社,张 岩

(1.东北石油大学 计算机与信息技术学院,黑龙江 大庆 163318; 2.哈尔滨工业大学 计算机科学与技术学院,黑龙江 哈尔滨 150001)

图像压缩中基于分形维数的小波基选取

唐国维1,王苫社2,张 岩1

(1.东北石油大学 计算机与信息技术学院,黑龙江 大庆 163318; 2.哈尔滨工业大学 计算机科学与技术学院,黑龙江 哈尔滨 150001)

小波函数具有多样性,采用不同的小波基对图像进行压缩后,重构图像的质量有一定差别.为了选取合适的小波基对图像进行小波变换编码,提出一种基于分形维数的小波基选取的图像压缩方法.通过差分计盒法计算相关图像的分形维数,将图像按照分形维数数值的不同划分为不同类别.选取每类中的代表图像,采用多种小波基,分别用SPECK算法对其压缩处理.根据重构图像峰值信噪比的数值,得出每类图像适合的小波基.实例分析表明,该方法可以在一定程度上提高小波图像编码的峰值信噪比.

图像压缩;小波基选取;小波变换;分形维数;编码

0 引言

小波变换因其特有的与人眼视觉相符的多分辨率分析能力及方向选择能力而被广泛应用于图像压缩领域[1-4].在JPEG 2000标准中,将基于小波变换的EBCOT(可扩展图像压缩编码)算法作为核心算法,表明小波变换已取代DCT(离散余弦变换)成为新一代图像编码的主要变换工具[5].由于不同的小波函数时频局域特性不同,选用不同小波基将影响算法的编码性能,因此选择小波基是图像压缩中首要考虑问题.选择小波基需要考虑小波函数的紧支集性、正交性、正则性和消失矩等方面,在实际应用中,编码的压缩比和恢复图像质量更为重要.李战明等[6]研究Daubechies正交和双正交小波基,通过比较变换图像的增益、熵、能量比和峰值信噪比等指标,认为双正交小波基D9/7是一种较好的小波基,但没有考虑不同类型图像性质.Thakkar Falgun等[7]基于均方根误差、相关系数和峰值信噪比,研究Haar、db4、bior6.8和sym2四种小波基的压缩性能,认为Haar小波对医学图像压缩具有优势,而Sym2更适合自然图像的压缩,但其方法只根据图像应用领域,而不是图像自身特性研究适合的小波基,同时对图像类型也考虑较少.Chopra Sanjeev[8]提出一种在5级小波分级下,根据压缩比、能量比、均方误差和峰值信噪比等性能参数确定最优小波基的算法,考虑压缩图像的各项参数,选取的小波基较为合理,但计算量过大,且只针对固定的5级分解进行.

鉴于分形与图像灰度表示之间有一定对应关系,且是独立于图像一定范围内分辨率比例而稳定存在的量,笔者将分形用于小波基选取,通过实验分析分形维数和图像灰度特性之间的内在联系,确定适合对图像进行压缩处理的小波基.实验结果表明,可以提高小波图像编码的整体效率.

1 图像的分形维数

分形维数即分数维,是定量描述分形的基本参量,且为标度变换下的不变量.常用的分形维数包括豪斯多夫维、盒维及相似维等.其中,豪斯多夫维对任何集F都有定义,最为常用,但对其值的计算和估计有一定困难;盒维的计算和估计较为简单,且与图像纹理结构有密切关系,因此在实际应用中较为广泛[9-10].

1.1 盒维

盒维由Bouligand于1929年引入,又称Bouligand维.

定义1 设集合F⊂Rn,记Nε(F)是可以覆盖F的、边长为ε的n维立方体的最少个数,则F的盒维DB定义为

如果集F具有“自相似”的子集,而这些子集又依次具有相同比例的子子集.设母集F有N 个子集,而每一个子集中各点间的距离按因子1/r增大时,都恒等于该母集.如果规定初始尺度为1,并取边长ε=rk,则覆盖F所需的立方体的个数Nε(F)=Nk,可知:

式中:N为由前一个母集按r比例缩小后的子集个数.

1.2 图像的分形维数

二维灰度图像可以被看作是1个三维空间中的曲面,图像的灰度变化表示该曲面的崎岖程度,当用不同尺度测量该曲面时,得到的维数就是图像的分形维数.计算分形维数的方法包括ε-毯子法、差分计盒法、基于数学形态学的方法等,其中差分计盒法[11]对粗糙度小的纹理比较敏感,且计算简单,因此采用该方法计算图像的分形维数.

对于一幅N×N的二维灰度图像,将其划分为s×s的子块(1＜s＜N/2,s∈Z+).令r=s/N,并假定图像灰度在第(i,j)网格中的最小值和最大值分别落在第k和第l个盒子中,nr(i,j)是覆盖第(i,j)网格中的图像所需的盒子数,Nr是覆盖整个图像所需的盒子数,则图像的分形维数Df可表示为

针对不同的r计算Nr,应用最小二乘法即可求得图像的分形维数.

2 基于分形维数的小波基选取

分形维数具有标度变换下的不变性,即不同图像的分形维数不同,相似图像的分形维数值必然接近.选取若干幅在图像编码中常用的典型图像[12],按文中方法分别计算分形维数,结果见表1.

表1 不同图像的分形维数Table 1 The fractal dimension of different images

由表1可以看出,不同图像的分形维数不同,主要反映图像纹理/边缘等灰度特性的差异.结合图像本身特性,将图像按照分形维数值分为5类(见表2).

表2 基于分形维数的图像分类Table 2 Based on the fractal dimension of image classification

为研究5类图像在不同小波基下的压缩效果,文中选用SPECK(Set Partitioned Embedded Block Co-der,集合分裂嵌入块编码)图像压缩算法[13-14],分别进行图像压缩实验.SPECK算法是一种基于块结构的编码方法,与其他编码算法相比有独特优势:(1)块间可以独立编码,所需动态存储空间更小;(2)该算法容错性更高,当传输发生误码时,只有误码的块会受到影响,不会影响其他块.

在基于小波的图像压缩中,常用的小波函数包括Haar、db系列、sym系列、coif系列、bior系列等[12].从5类图像中各选取1幅代表图像,基于不同的小波基,采用SPECK算法进行压缩和解压缩实验,码率为0.2 bpp时,PSNR(Peak Signal to Noise Ratio,峰值信噪比)见表3.

表3 不同小波基下各类图像的PSNRTable 3 All kinds of image PSNR under different wavelet base

由表3可以看出,采用不同的小波基,同一幅图像的PSNR相差很大,表明对不同类型图像,应选取不同的小波基进行压缩以获得更好的压缩性能.因此,基于PSNR最大化原则,根据表3归纳出适合不同类型图像压缩的小波基(见表4).

表4 基于分形维数的小波基选择Table 4 Based on the fractal dimension of wavelet base selection

3 小波基选取实例

按照式(3)计算待压缩图像的分形维数,然后根据计算结果查表4,选取适合对该图像压缩的小波基,进而选择相应压缩算法对图像进行压缩处理.为验证文中基于分形维数小波基选择的有效性,选取2幅样本以外的图像进行实验,大小为512×512(见图1).

经计算得到2幅图像的分形维数分别为0.866 0和0.874 2,分别属于class 3和class 4类图像(见表2).根据表4,分别选择bior 4.4和coif 5小波基.为进一步说明算法的性能,采用SPECK算法对图像进行压缩处理,并将压缩后的PSNR与基于sym 8小波基的进行比较(见表5).由表5可以看出,采用文中算法选取的小波基进行压缩,获得更好的压缩性能.码率为0.25 bpp时重构图像的效果见图2.由图2可以看出,在压缩比为32倍时,图像压缩效果较为满意.

图1 小波基选取示例图像Fig.1 The selection of wavelet base sample image

表5 不同小波基下2幅示例图像的PSNRTable 5 Under different wavelet base 2 sample images PSNR

图2 2幅示例图像压缩后的重构效果Fig.2 2 after the example images compression effect of refactoring

4 结束语

在基于小波变换的图像编码压缩中,采用一种小波基不能满足任意图像的压缩效果,需要根据图像本身特性选择合适的小波基.通过分析分形维数和图像纹理/边缘特性之间的关系,基于盒维并采用差分计盒法计算图像的分形维数,进而提出一种基于分形维数的小波基选取算法:对于任意一幅图像,计算得到该图像的分形维数,按照图像自身特征和分形维数选择合适的小波基,并对图像进行压缩处理.该算法降低小波基选取的盲目性,具有一定的实用价值.

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TP391.41

A

2095- 4107(2014)01- 0112- 04

2013- 12- 19;编辑:张兆虹

黑龙江省教育厅科学技术研究项目(12521050);中国石油科技创新基金研究项目(2012D-5006-0609)

唐国维(1966-),男,博士,教授,主要从事图像与视频编码、焊缝缺陷检测与识别等方面的研究.

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2014.01.017