综合开关次数分析的配电网多目标动态重构

孙惠娟，彭春华，袁义生

（华东交通大学 电气与电子工程学院，江西 南昌 330013）

0 引言

配电网络中包含较多的分段开关和联络开关，并具有环状结构和开环运行的特点，通过对网内各开关进行操作可调整网络结构实现网络的重构。配网重构作为配电网络优化运行的重要内容，可起到平衡负荷、消除过载和降低网损的作用[1-2]。

配网重构一般可分为静态重构和动态重构，其中静态重构只是基于单个时段的配网负荷数据进行优化重构，而动态重构则是需要考虑多个连续时段内配网负荷数据的变化进行全局性优化重构。以往关于配电网重构的研究大多是以最小化有功损耗为目标的单目标静态重构[2-4]，研究内容主要集中在优化算法的改进方面，取得了较好的效果。此外还有一些研究考虑了多个优化目标进行配网静态重构，如文献[5]以减少网损和降低节点电压偏差为目标研究了含风电配电网的多目标重构问题；文献[6]考虑了系统失电负荷量、电网有功损耗、线路负荷分配失衡度和开关操作次数等多个目标构造了舰船电网重构模型；文献[7]则综合考虑系统平均停电频率、平均供电不可靠率和有功网损，建立了配网重构多目标评价函数模型。但若将以上这些只是基于配网实时负荷数据的静态重构方法应用于实际，由于系统中各节点的负荷时刻都在发生变化，不同时刻的最优网络结构不可能固定不变，而是随时都需要优化调整，这不仅要求必须快速完成优化计算以及网络重构过程以满足实时性要求，而且还将导致需要快速频繁地操作开关，这无疑在经济和技术层面上都是不现实的。而配网动态重构由于不仅考虑了网络的负荷波动特性，而且还需考虑供电可靠性、开关操作次数等实际运行中的约束条件，可实现有计划地进行网络重构，因此尽管计算更为复杂，但也更具实用价值和研究意义[8-10]。

配网动态重构需要考虑多个甚至数十个连续时段的网络结构变化，常会因变量维数显著增加而导致“维数灾”。为了降低寻优复杂度，目前对于配网动态重构的研究，一般会预先人为设定好重构周期内开关的最大动作次数作为约束条件，然后以在重构周期内的整体降损效果最好为优化目标进行多时段网络重构[10-12]。然而，在实际应用中开关的最大动作次数不应主观设为定值，而应考虑开关操作的性价比和实际情况，综合降损效果、操作费用、使用寿命和线路供电可靠性要求等因素来灵活确定，即不同情况下开关的最大可动作次数并不一定相同。此外，降损效果和开关动作次数的度量标准并不一致，同时两者又会相互制约。为了得出动态重构过程中降损效果和开关操作次数的协调优化关系，本文将以降低配网有功损耗和减少开关操作次数为综合优化目标对配电网多目标动态重构进行研究，并进一步根据优化结果对每次增加开关操作次数的性价比进行分析。

1 配电网多目标动态重构模型

配电网动态重构需要考虑多个连续时段内各节点负荷数据的变化进行全局性优化，本文以整个重构周期内总网损最少化和开关动作总次数最少化构建多目标优化模型。

a.总网损目标函数。

总网损最少化目标函数表达如下：

其中，T为重构周期内的时段数；K为网络中的闭合支路数；Lk，i为在 i时段支路 k 的有功功率损耗；Pk，i、Qk，i和 ULk，i分别为在 i时段支路 k 同一端的有功、无功功率和电压；rk为支路k的电阻；Δti为i时段的时间长度。

b.开关动作总次数目标函数。

若以sj，i表示开关j在i时段的状态，其值为 0时代表打开，为1时代表闭合，则重构周期内开关动作总次数最少化目标函数可表达如下：

其中，J为网络中的可用开关总数。

c.约束条件处理。

本文配网潮流采用前推回代法计算。为了保证配网安全运行，所得到的网络重构后各节点电压Un，i和各支路传输功率Sk，i应满足如下约束条件：

其中，Unmax和Umnin分别为网络中节点n的电压上、下限；Smkax为网络中支路k的容量上限。上述节点电压和支路传输功率约束可通过施加越限惩罚进行处理。越限惩罚项Pu1构造如式（4）所示：

其中，M为网络节点总数；μ1和μ2为惩罚因子。

此外，重构后的网络还应满足辐射状网络拓扑约束条件。对于该约束条件，本文提出了一种基于网络连通性判别的快速处理方法。

网络呈辐射状的一个简单前提条件为网络节点数必须正好等于支路数加1，即：

考虑到当网络重构后所包含的孤岛和环网数量正好相同时式（5）也同样会满足，因此若要保证重构后网络为辐射状，在上述前提下同时还必须满足网络中所有节点都连通，即不能存在孤岛，这种情况下自然也不会有环网存在，否则将不满足式（5）。

本文应用图论中代数连通度来对网络节点的连通性进行判断[13]。将配电网络看作一个简单图G，可表示为：

其中，点集V包含M个节点；边集E包含K条支路。根据各节点的邻接关系可以构造图G的邻接矩阵A（G）如下：

当节点 i与 j相邻连接时，则元素 ai，j为 1，否则为0。由此进一步可根据式（8）构造出图G的Laplacian矩阵 Lp（G）：

其中，sum（）为求和；diag（）为提取对角矩阵；Lp（G）为一个对称的半正定奇异矩阵，设Lp（G）的特征值排序如下：

在图论中图的Laplacian矩阵的次小特性值λ2称为代数连通度，它能反映图的连通性，已证明：当且仅当图是连通的，其代数连通度大于零[13-14]。由此得出，若配电网是连通的，则其Laplacian矩阵只能有一个零特性值，即有：

其中，rank（）为求矩阵的秩。

结合式（5）和式（10）即可构造网络不满足辐射状网络拓扑约束条件的惩罚项Pu2如式（11）所示：

其中，惩罚因子μ3可定为一个较大的数。

融合上述各式最终建立配电网多目标动态重构模型如下：

由于添加了越限惩罚项，在寻优过程中，一旦解不满足约束条件，必然会导致其目标函数值显著增大，从而使得该解适应度极差，很快便会被淘汰。

2 模型求解

2.1 复合型微分进化多目标优化算法

上述配电网多目标动态重构模型中配网有功损耗和操作开关次数这2项优化指标的度量标准不一致，且会相互冲突，一般不存在使所有指标都同时达到最优的绝对最优解。对该多目标优化问题的求解实际上是设法找到尽可能多的Pareto最优解，且对应的各目标向量在Pareto前沿中能均匀分布，以使得决策者的可选择域更大。近年来，多目标优化算法发展很快，如改进型非劣排序遗传算法（NSGA-Ⅱ）、多目标粒子群优化（MOPSO）、非劣排序多目标微分进化（NSDE）算法等群智能进化算法已被广泛采用，其中基于微分进化的NSDE算法已被验证在寻优速度、收敛稳定性、Pareto最优解集的准确性及均匀分布性等方面具有明显的优越性[15-16]。NSDE算法基本流程在文献[15]中有详细描述，其中的微分进化（DE）过程主要包括变异和交叉操作。标准的微分进化变异操作可表示如下：

其中，Yi，G+1为变异操作产生的中间个体；Xr，G为第 G代第 r个个体向量，r1、r2均随机选取，且 i≠r1≠r2≠b；可随机选取某个体或以当前最优个体向量作为变异基向量Xb，G；等号右端第2项为变异差分项，F为变异尺度因子。

实际应用中可采用不同的变异策略，一般用DE/rand/1、DE/rand/2、DE/best/1、DE/local－to－best/1 等名称加以区分[17]，若采用 DE/rand/1、DE/rand/2 等变异策略，由于变异基向量是随机选择的，有利于保证进化个体的多样性进行全局搜索，但收敛速度缓慢，且不能进行局部细致搜索；反之，若采用DE/best/1、DE/local－to－best/1 等变异策略，由于是以当前最优个体作为变异基向量，进化方向性强，则收敛速度较快，但种群会较快失去多样性而使得变异操作中差分项过早趋于零，从而导致进化停滞而陷入早熟。为了进一步提高微分进化的寻优性能，近年来许多学者做了大量的研究[15-18]，然而，算法个体多样性与收敛速度难以兼顾，寻优速度与寻优深度之间的矛盾始终没能得到较好的解决，这也是目前群智能进化算法普遍存在的问题。鉴于配电网多目标动态重构问题因变量维数很高而导致求解复杂度显著增高，该问题的求解对算法的寻优速度及深度提出了更高的要求。为此，本文设计了一种新型的复合型微分进化多目标优化（MOCDE）算法流程如图1所示。

在MOCDE算法中，主要包括个体排序、种群分割、复合微分进化和种群重组一系列操作。种群每次经过Pareto非劣排序操作后会被分割成优部群落和劣部群落，然后对优部群落的变异基向量采用随机选择的方法，以增加个体多样性；对劣部群落采用当前最优个体作为变异基向量，以增强进化的方向性。这样，若个体进化过快则会自动升入优部群落并通过DE/rand/1策略随机变异加速分化；若个体进化缓慢则会自动跌入劣部群落并通过DE/best/1策略定向变异加速进化。即在每次循环迭代过程中，各个体会根据自身进化特点自动选择适宜的变异策略，由此可实现微分进化不同变异策略的优势互补，兼顾个体多样性和收敛速度。MOCDE算法通过上述策略融合技术巧妙地解决了群智能进化算法普遍存在的寻优深度与速度之间的矛盾。

图1 MOCDE算法流程Fig.1 Flowchart of MOCDE algorithm

在通过MOCDE算法获得了Pareto最优解集后，实际运作中决策者还需要从中选取出一个最优折中解作为调度方案实施。在此可参考文献[15]中的方法，根据模糊集理论求得Pareto解集中各解的标准化满意度，然后将具有最大满意度的Pareto最优解确定为最优折中解。

2.2 重构方案编码过程

配电网动态重构方案需要考虑多个时段的开关组合，因此个体编码比单个时段静态重构更长也更为复杂。编码的位数和解码复杂度对配电网动态的寻优效率有重要影响。若采用常规的用“0”和“1”分别代表各开关的开合状态的二进制编码方式，如果网络中有K个可操作开关，重构周期内的时段数为T，则二进制编码就需要KT位，必然会因变量维数过高而导致搜索空间激增和寻优效率低下。为了降低变量维数，同时适应微分进化的实数运算操作，本文采用基于独立环路的实数编码策略。重构前首先将配电网中所有联络开关虚拟闭合，可形成若干个独立环路。以图2所示IEEE33节点配电系统为例[19]，联络开关均闭合后可形成5个独立环路。

若要使得网络重构后呈辐射状拓扑结构，则每个独立环路中必须只能有一条支路断开，且同一条支路不能重复断开[3]。当网络重构时无开关被重复断开时，式（5）即可满足。对于不在任何环路内的支路上开关，由于其在配网运行时必须闭合，因此编码时无需考虑。假定重构前总共可形成R个独立环路，则配电网在T个时段内的动态重构方案可采用如下

T×R维矩阵形式进行编码：

图2 IEEE 33节点测试系统Fig.2 IEEE 33-bus test feeder

相比于二进制编码，矩阵U的维数大为降低。其中每行代表一个时段内各独立环路的编码组合，各元素 ui，j为在[0，1]间随机产生的实数；若已知第 j个独立环路所包含的支路集合为｛r[1]，r[2]，…，r[Kj]｝，对元素 ui，j进行解码后即可得到对应 i时段第 j个独立环路中需要断开的支路为 r[ceil（ui，jKj）]（其中ceil表示向上取整）。在个体编码和微分进化操作中则无需考虑各环路包含的支路数及开关编号，应用非常方便。

3 算例及分析

为验证本文方法的有效性，在此以如图2所示IEEE33节点配电系统为例，进行以降低配网有功损耗和减少操作开关次数为综合目标的配电网多目标动态重构。该系统额定电压为12.66 kV，包含33个节点、37条支路，其中5个联络开关（标号分别为33—37）在初始状态为全部断开，其余支路闭合。以文献[19]中的IEEE33节点负荷数据作为初始时段各节点负荷值，并设本例中负荷包含商业负荷、居民负荷和工业负荷3种类型，各类型的日负荷曲线如图3 所示[8]，平均功率因数分别为 0.9、0.95 和 0.85，图中横轴刻度值4对应时段03:00—04:00，其他依此类推。各节点负荷组成如图4所示[20]。

图3 典型负荷曲线Fig.3 Typical load curves

图4 各节点负荷组成比例Fig.4 Load proportions for different buses

基于本文方法对上述系统进行多目标动态重构。MOCDE算法的最大迭代次数设定为6000，种群规模为120，种群分割比例度为0.5。为了对比，还分别采用了常规NSDE算法[15]和常用的NSGA-Ⅱ算法（最大迭代次数和种群规模均与MOCDE算法相同，NSGA-Ⅱ中遗传操作交叉概率为0.95，变异概率为0.05）对该配电网多目标动态重构问题进行求解。上述3种算法均分别运行10次后得到的最佳Pareto前沿对比如图5所示。

图5 帕累托前沿对比Fig.5 Comparison of Pareto fronts

由图5可见，针对求解高度复杂的配电网多目标动态重构问题，MOCDE算法优势明显，相比于常规NSDE算法和NSGA-Ⅱ算法，能更有效地避免陷入局部最优，可找到更为准确的Pareto前沿。进一步分析优化结果可知，若不改变初始开关状态，即开关切换次数N为0时，24个时段的总网损达8852 kW；由MOCDE算法可得当开关切换次数达10次时，总网损可降到6388 kW，此时的配网动态重构方案如表1所示，经验证，表1中各时段方案正好与分时段静态重构的最优方案一致。说明MOCDE算法准确地找到了该问题Pareto前沿的端点，而NSDE和NSGA-Ⅱ算法均未能找到该端点。

表1 配电网动态重构方案（N=10）Tab.1 Distribution network dynamic reconfiguration scheme（N=10）

图5中体现出在一定范围内可通过增加开关切换次数，得到网络损耗更低的优化重构方案。由于每次切换开关都会带来人工费、设备损耗以及断电损失等费用，若假设切换一次开关的代价为$20，电价为0.12$/（kW·h），可得到其中的综合最优重构方案如表2所示，这和采用文献[15]中模糊集方法计算所得的最优折中解一致。此时开关切换次数为5次，综合运行费用为$892.08。

表2 配网动态重构方案（N=5）Tab.2 Distribution network dynamic reconfiguration scheme（N=5）

然而，在不同情况下开关操作代价往往并不相同或很难准确计算，此时可定义开关操作性价比为总降损量除以切换开关次数，则根据优化结果可得到最优性价比随开关切换次数的变化如图6所示。可见，在开关切换次数由0次增加到1次、由4次增加到5次和由7次增加到8次时降损效果较明显，其中以开关切换1次的效果最好，最优可降低网损1498 kW，此时的配网动态重构方案如表3所示。而开关切换次数由8次增加到10次时却只能使网损降低1 kW，因此增加这2次开关切换是完全没有必要的，同时也说明了若采用分时段静态重构得到如表1所示的24个时段内切换开关10次的方案实用价值不大，而只有进行全时段动态重构才能得到更为合理可行的方案。

图6 开关操作最优性价比Fig.6 Optimal performance-cost ratio of switching operation

表3 配电网动态重构方案（N=1）Tab.3 Distribution network dynamic reconfiguration scheme（N=1）

4 结论

本文提出了一种以降低网损和减少开关操作次数为综合优化目标的配电网多目标动态重构新方法；在重构计算过程中，通过引入基于图论的代数连通度理论和基于独立环路的实数编码策略，提高了求解效率；并设计出新型的复合型微分进化多目标优化算法实现了对上述配电网多目标动态重构问题的有效求解。由此可一次性得出多种Pareto最优重构方案，同时确定出配网重构降损效果与开关操作次数之间的最优均衡关系，并能计算每次增加开关操作次数的最优性价比，从而可根据实际情况灵活选择最为合理有效的重构方案。本文方法可为配电网多目标动态重构提供科学的指导。若将目标函数作适当调整，该方法还可推广到求解其他优化目标类型的配网动态重构问题。