如何将数形结合思想渗透于课堂中

陈刚

【关键词】数形结合 数学思想 抽象性

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2014）09A-

0027-02

在多年的数学教学经历中，常常会遇到这样的学生：一开始不会做题，慢慢发展到不想做题，然后再发展到不想听课，不想上数学课，最后干脆就是逃避数学，认定自己学不好数学。面对这样的情形，笔者查阅了相关的资料，发现产生这种学习状况的内因是一种叫做“习得性无助”的心理，外因是学生无数次的数学失败积累出来的一种错误认知。根据积极心理学专家的理论分析认为，这是学生受困于一种固定的思维习惯导致的。这个观点引发了笔者对数学教学的重新思考。对于数学教学而言，到底是什么样的习惯性数学思维，让学生陷入了学习的困境呢？

数学的本质是抽象的，教师在教学中也大多从抽象的理论出发，试图让学生建立概念，但学生往往不能获得真实的体验，对数学的抽象理论望而却步，难以获得成就感。有没有另外一种形式来满足学生对数学抽象性的突破呢？笔者发现，数学的抽象性并不是无法颠覆的，其中一个非常感性的数学思想就可以作为一把钥匙，打开抽象与感性之门，而这把钥匙就是数形结合。

数形结合是一种数学思想，也是针对数学问题的一种有效的解决方法。从数学形式来说，主要是指数与形之间一一对应的关系，这种关系是一种直观与抽象的对应，通过对抽象的数学语言的演绎阐释，实现抽象概念与具体形象、具体表象的联系和转化，最终使数学化难为易，化抽象为形象。

在小学数学教材中，数形结合的数学思想随处可见，为小学生渗透数形结合的思想方法提供了有利的客观条件。另外，对于小学生而言，正是系统学习数学的初级阶段，关于数与形并没有明显的分隔，是建构数形结合思想的最佳时期。基于此，笔者发现，如果教师能够在数学课堂中将抽象的数学理论通过数形结合，由数到形，再由形到数，找到一个攀登的“脚手架”，将会有利于学生数学思维的生长，并由此提高数学学习的兴趣。那么，如何将数形结合思想方法落实到课堂教学中呢？这里的数形结合包括四个维度：数形分工、数形对应、数形联系、数形变换。笔者根据自己的教学实践，从这四个维度入手谈谈自己的体会和思考。

一、抓好数形分工，促进概念建构

数与形的结合能够有效增强学生对概念的认知建构，促进学生对数学本质的理解。在教学中，教师要在引导学生把握数形结合思想时，就要从数形分工开始，让学生对数与形的各自功能有个大致的了解，而后形成清晰的认知。

例如，在教学苏教版三年级下册《小数的意义》时，学生已经基本掌握了一位小数的本质意义，在学习两位小数时，笔者进行了如下教学设计：让学生齐读“成功等于百分之一的灵感加上百分之九十九的勤奋”，并告知学生这里的分数可以通过百格图和十格图来呈现，从而与小数建立联系（如图1）。根据百分数与小数的关系，学生很快能将其转化为小数，但对小数的意义的理解就未必能够达到直观形象。为了让学生在头脑中建立两位小数的直观概念，笔者通过图形的比对，让学生能够更深入地理解其实质。

通过比对和分析，学生将小数与分数通过数形来进行补充和优化，使学生对数形的分工有了更为清晰的自我认知，实现了对小数意义的直观建构，为进入深层次的数形关系的对应做好了铺垫。

二、体验数形对应，提升抽象思维

在数形结合的数学思想中，能够揭示其数学关系本质的是这样一个关键的数学维度：数形对位。数与形虽然看似存在于不同的系统中，但数系统中的某一项组成要素与形系统中的某一项组成要素存在着某种一一对应的关系。教师在教学中，要让学生感受到这种数形对应，从而体验到数形对应，这样就能在头脑中自然而然地建立数形对应的数学关系，提升数学思维的品质。

例如，在教学苏教版二年级下册《1000以内数的认识》时，学生已经通过例题初步理解了数的意义，此时笔者设计了一项独立的作业，其目的是要学生能够经历从“具体的数”到“半具体半抽象的数”再到“抽象的数”这样一个过程。笔者先让学生写出803这个数，然后在计数器上拨出803，再让学生圈画出803（如图2）。

学生在写803这个数时，是从数的角度来认识803，而在计数器上拨出803这个环节则是要学生理解数的意义，在围摆出803这个环节，则是从生活的角度让学生理解803，在这个数的意义理解中，重点和难点的把握是对中间这个零的认识。如何突破这个难点，也是笔者要学生体验数形对应的关键。为此笔者设疑让学生思考：在写803这个数时十位上的零能否省略？计数器上的“0”在哪里？表示什么意思？圈小棒的时候，你如何表示这个“0”？学生通过直观地圈画和动手拨出来算珠数，不知不觉中从多个角度理解了803这个数的概念，而且能够通过三个直观的操作把具体的小棒图和半抽象半具体的计数器、还有抽象的三位数中的各个数位做了系统的整合，建立了一个有效的一一对应的数位关系，由此突破了数的意义的理解难点，在学生的头脑中能够清晰地建立起“八个一百，零个十，三个一”的数的直观概念，突破了思维瓶颈，打开了数学思维的空间。

从以上环节可以看到，教师要善于抓住数与形的对应关系，让学生切身体验和感知，为下一步的数形联系做好准备。

三、加强数形联系，揭示数学本质

数形结合经过前两个维度的奠基，由数形的各自分工过渡到数形的关系对应，逐渐开始进入数形的相互联系阶段，这个阶段也是揭示数学本质的关键阶段。在这个环节中，教师要抓住数与形的本质特性，而后进行有机连接的呈现过程，使学生能够体验其知识建构系统的形成过程，并由此进行比对分析，获得清晰的感知，体会数与形之间的相互作用和相互影响，从而深刻理解数学的抽象本质。

例如，在教学苏教版五年级下册《分数的意义》时，学生经过一轮学习之后，对抽象的概念有了归纳和演绎推理的数学思维经验，基本能够从抽象的模仿角度进行意义的理解和表达，但可惜不能建立直观概念，习惯于这样理解各种情境中的分数意义：把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或者几份。这样的理解显然不利于知识的正向迁移，容易造成思维误区。为此笔者尝试从数与形的相互作用这个角度切入课堂教学，尝试将分数的“数”转化为“图式”，这样学生可以从直观形象的角度来理解分数，改变学生理解分数局限于数学言语的这个课堂困境。教学时，笔者进行了这样的教学设计和尝试：先让学生根据自己所学的分数知识，说说对以下几个分数的理解：（1）头部的长度约占身高的八分之一。（2）长江干流五分之三的水体受到了污染。（3）死海表层的水中含盐量达到了十分之三。学生认为，八分之一就是将单位“1”平均分成八份，表示这样的一份；那么结合具体情境，就是将人的身高平均分成8份，而头部表示这样的1份。那么单位“1”是什么呢？（是人的身高）如果用图式来表示，该怎么表示呢？（学生画出线段图将其清晰地展现出来）长江干流五分之三的水体受到污染，这表示将长江的所有干流平均分为5份，受到污染的是其中的3份。那么谁是单位“1”，如何来画出直观图来表示？学生画出一个正方形，其中的长江干流就代表这个正方形，画出草图并讲述其中分数的意义。将死海的含盐量平均分成了10份，而表层的含盐量则占到了其中的3份，在这里的单位“1”是什么呢？（是死海的含盐量）如果用一个图式来表示，你怎么表示呢？（将整幅图分成10份，涂色的3份则表示十分之三）

通过以上环节的引导，学生对数与形之间的有机融合有了较为清晰的建构和认知，这样就能够顺利把握数与形之间的相互作用，为下一步的数形转换提供了非常好的契机。

四、实施数形变换，拓展数学应用

在数形结合的四个维度中，数形变换是数形结合思想方法的最终落脚点，也是最终要实现的数学本质所在，有利于促进数学应用。教师在教学中要适当点拨指导，进行多个角度的把握，实施数形变换，拓展数学应用。

例如，在教学苏教版四年级下册《三角形的三边关系》时，学生学习并初步掌握了形如a+b>c这样的三角形判断公式，课后有这样一道习题：判断以下几个线段是否能够拼成一个三角形并说出你的理由。（1）3cm，4cm，5cm；（2）3cm，3cm，3cm；（3）2cm，2cm，6cm；（4）3cm，3cm，5cm。

显然，这道题并不复杂，像是一个简单的计算技能作业。从三角形的角度来看，这是一道简单的代数题，学生只要掌握了三角形三边关系的判定公式，就可以轻而易举地将这道题目顺利解答了。但是这样一来，我们就将错过对学生进行数形结合教育的有利时机。为此，笔者抓住数与形的变换这个关键点，将三角形的三边关系这个知识向着直观的几何知识转换，带领学生进入了这样的探究和尝试，以此建构几何的空间观念，让学生理解“空间观念的变化也可以是由数促进的”：笔者先让学生说说自己的算法并进行讨论。有学生提出，只要将每两个数相加然后与第三个数比较，就可以得到答案。但也有学生认为这样很麻烦，每道题目都要加三遍，可以找一个更为简便的方法。那么怎么才能更快捷方便地得到答案呢？学生讨论后提出，只要算出最短的两条边之和就可以了，因为如果最短的两条边之和能够大于第三边，那么其余的两条边之和一定能够大于第三边。如，三边为3cm，4cm，5cm的这个三角形，我们是否可以理解为只要三边是三个连续的自然数，就一定可以组成三角形呢？学生提出，并不是这样的，并举例反证。笔者再引导学生观察：（3cm，4cm，5cm）是什么三角形？（3cm，3cm，3cm）呢？你发现了什么特点？（3cm，3cm，3cm是等边三角形；3cm，3cm，5cm是等腰三角形）

通过以上教学尝试，学生能够从各自的经验背景出发，推导出三角形三边关系的数学逻辑和知识假设，并使其更合乎规范化，更重要的是，学生还能够从数与形的转换这个角度来理解和体验三角形三边关系的意义建构，从而培养并形成一种从数到形再从形到数的问题解决的思维模式，使数学学习显得更具有数学意义。

（责编 林 剑）