基于元胞自动机的桁架结构分析

赵平

摘要：基于元胞自动机理论（CA），提出一种结构分析方法。元胞自动机是空间和时间都离散，物理参量只取有限数值集的理想物理系统。该方法将整个结构离散为只与周围邻居发生作用的独立的元胞。元胞自动机用来模拟自然界中的复杂系统具有很高的有效性和鲁棒性。它将结构的整体求解变成局域分析，通过应用最小能量原理传递不平衡力达到最终的整体平衡，并且不需要象有限元那样形成整体刚度矩阵和求解整体平衡方程，对计算机容量要求极低，因此在大型复杂结构的计算方面具有良好的前景。

关键词：元胞自动机；桁架结构；局部法则；邻居

中图分类号： TU318 文献标识码： A

0引言

元胞自动机的概念是J. Von Neumann 和 Stan Ulam 在上世纪提出 [1] 。Von Neumann认为元胞自动机是一种通用的模型，能够应用于不同的领域。1970年数学家John Conway 提出了著名的生命游戏机的概念 [2], 其动机也是要寻找能导致复杂行为的简单规则。根据Von Neumann规则，生命游戏机是一个具有计算通用性的元胞自动机。

上世纪90年代Stephen Wolfram研究了一组简单的一维的元胞自动机[5]，表明尽管简单的规则（现在被称为Wolfram规则）也能够模拟复杂行为。他注意到，元胞自动机是一个离散的的动力系统，因而即使在非常简单的构架下，它亦显示出许多连续系统中遇到的行为。他的研究给后来致力于应用CA模型的研究者们指明了方向。

元胞自动机(Cellular Automata)是空间和时间都离散，物理参量只取有限数值集的理想物理系统。它是一个数学、物理学、计算机科学、生物学和系统科学多学科的交叉和边缘领域，是复杂系统的重要研究方法之一。它将结构的整体求解变成局域分析，通过力的局域间的不平衡传递达到最终的整体平衡，并且不需要象有限元那样形成整体刚度矩阵和求解整体平衡方程，对计算机容量要求极低，因此在大型复杂结构的计算方面具有良好的前景。

本文将CA应用于结构分析，并将CA算法的结果与FEM结果做了对比，证实了将CA应用结构分析的可行性。

1元胞自动机

元胞自动机由元胞，元胞的状态空间，邻居及局部规则四部分表示。

元胞自动机模型可以让简单的单元在局部规则的作用下产生各种复杂的系统状态。这种模型的结构简单，它是由很多的抽象的元胞集合在一起，每一个元胞都代表一种状态，可以包括很多状态参数，局部法则应用于每一个元胞时，元胞的状态发生改变。由于元胞自动机可以演化复杂系统，使得其应用于桁架结构成为可能。下面分别分析元胞自动机模型要素与空间桁架的相似性。

(1) 元胞

又可称为单元，或者基元，是元胞自动机的最基本的组成部分，元胞分布在离散的一维，二维或者多维维欧几里德空间上。理论上的元胞空间通常是在各维上是无限的，但却无法在计算机上实现，因此我们需要定义不同的边界条件。空间桁架结构中结点与相连的杆可以抽象为元胞。

(2)状态

元胞的状态是由状态变量用来描述元胞响应的方式。桁架元胞自动机模型中元胞的状态是指节点三个方向的位移、外力、杆的截面和弹性模量。其中三个方向的位移是可变的，桁架结构系统将在边界条件和局部法则的作用下进行演化。

(3)元胞的空间

元胞所分布在空间网点的集合就称为元胞空间。目前的研究多集中在一维和二维的元胞自动机上，对于一维元胞自动机空间的划分只有一种，而二维的元胞自动机空间划分形式有多种形式。

(4)元胞的边界

用元胞自动机模拟实际问题时，显然元胞空间不是无限延伸。由于边界上元胞有不同的邻居状态所以边界元胞是特殊的元胞。

(5)邻居

元胞自动机的演化规则是局部的，对于指定的元胞的状态更新只需要知道其邻居元胞的状态，其实就是局部法则应用的空间，原则上，对于邻居的大小没有限制，但是所有的元胞的邻居的大小都要相同。实际应用中往往只由相邻的元胞构成邻居。

(6)局部规则

根据元胞当前状态以及邻居状态确定下一时刻该元胞状态的函数，也称为状态转移函数。它反映了元胞与邻居之间的相互作用。

(7)时间

元胞自动机是一个动态系统，它在时间维上的变化是离散的，即时间t是一个整数值，而且连续等间距。元胞在t+1时刻的状态只取决于t时刻该元胞状态及其邻居元胞的状态，显然，在t-1时刻的该元胞及其邻居元胞状态间接影响了元胞在t+1时刻的状态。

2.基于CA的结构分析方法

2.1三维桁架结构元胞

桁架结构的元胞由节点及其相连的杆件组成，显然空间桁架结构中所有的元胞组成是相同的。这与元胞自动机的基本构成相类似。元胞自动机理论就可以应用到桁架结构分析上去。如图1为三维桁架及其抽象出的元胞结构。

图1 三维桁架结构及抽象元胞

Fig1. 3-D truss structure and abstract cellular

2.1元胞的状态

元胞的状态是元胞自动机演化时可能变化的函数。元胞的状态包括三个方向的位移、杆件截面面积、弹性模量、节点外力。整个元胞的状态由下面的式子表达：

———————桁架节点处发生的位移；

——————施加到元胞上沿着x，y，z轴的力；

—分别代表元胞杆件的截面面积；

——————————杆件的弹性模量；

元胞的状态由上式描述，分别为三个方向的位移，三个方向的外力，截面面积和弹性模量作为已知输入。

2.3三维桁架结构邻居

桁架结构的邻居是一种三维邻居结构，采用如图2所示的邻居状态，中心元胞有18个邻居，显然局部规则与19个元胞的状态有关。

图2 三维元胞邻居

Fig2. 3-D neighbor

2.4局部法则

桁架结构的局部法则为最小势能原理，即，周围邻居的位移引起元胞的响应总是使得势能最小。

3元胞自动机的计算流程

图3.计算流程

Fig3. Calculation chart

用元胞自动机用来演化结构在外力作用下的响应流程图如图3所示，初始模型的所有元胞的状态函数中位移分量都为0，元胞自动机的演化过程就是将依据局部能量最小化原理推导出的局部法则（local rule）应用于每一个元胞。所有元胞的状态函数全部更新一次称为一个时间步，这个时间步并不是真正意义的时间，而是用于表示演化结构响应迭代次数的变化。元胞自动机用于演化结构的位移演化在时间上是不连续的，这种不连续性表现在每一时间步上结构位移的变化不是连续变化的，元胞自动机演化认为结构的位移收敛从而跳出循环，元胞自动机演化结束。

4算例分析

4.1平面桁架算例

一平面桁架结构如图4所示，截面尺寸为20×10-4m2，杆件的长度为1m，斜杆长度为1.414m。集中力为100KN，一端为铰支座，一端自由。

图4 二维桁架算例

Fig4. A case of 2-D truss

由前面的推导中，元胞模型的状态函数中有8个杆的截面面积，实际结构中8个杆件不一定都有，在本算例中就有6种状态函数。在元胞①和元胞②中，显然周围元胞的状态的改变不会影响元胞位移状态的改变，这就实现了位移边界条件。对于其余自由边界条件，我们只要把对应的杆的面积赋值为零就可以实现。在本例中取迭代次数40次（迭代40次位移变化量小于1%）。

元胞自动机算法与FEM算法结果对比如表1。表2给出了元胞自动机算法迭代次数与结点位移的变化表，可以反映出集中力对系统的作用效果由集中力作用的结点向整个系统扩散最终达到系统的最终平衡。由图5可以知道迭代次数越高位移越收敛，迭代40次位移变化量小于1%。

表1竖向位移比较

Table 1 Comparison of vertical displacement of 2-D structure

编号 元胞算法 FEM算法

1 0 (m) 0(m)

2 0 (m) 0(m)

3 0.0167 (m) 0.01677 (m)

4 0.0167 (m) 0.01667 (m)

5 0.0178 (m) 0.01785 (m)

6 0.0180 (m) 0.01820 (m)

7 0.0183 (m) 0.01832 (m)

8 0.0186 (m) 0.01867 (m)

9 0.0188 (m) 0.01885 (m)

10 0.0193 (m) 0.01928 (m)

11 0.0203 (m) 0.02050 (m)

12 0.0213 (m) 0.02160 (m)

表2迭代次数与位移变化关系

Table 2 Relationship between Iterative number and node displacement

编号 1次迭代位移（m） 2次迭代位移（m） 3次迭代位移（m） 4次迭代位移（m） 5次迭代位移（m） 6次迭代位移（m） 20次迭代位移（m）

1 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0.0022 0.0038 0.0160

4 0 0 0 0 0.0041 0.0051 0.0161

5 0 0 0 0.0018 0.0026 0.0041 0.0178

6 0 0 0 0.0036 0.0044 0.0055 0.0179

7 0 0 0.0008 0.0020 0.0030 0.0043 0.0183

8 0 0 0.0025 0.0037 0.0048 0.0059 0.0186

9 0 0.0004 0.0013 0.0026 0.0035 0.0049 0.0188

10 0 0.0017 0.0028 0.0039 0.0051 0.0062 0.0198

11 0 0.0017 0.0025 0.0040 0.0050 0.0063 0.0199

12 0.0042 0.0059 0.0075 0.0086 0.0099 0.0110 0.0207

图5.集中力作用点的位移与迭代次数之间的关系

Fig.5 the relationship between Concentration point of the displacement and the number of iterations

4.2空间桁架算例

一空间桁架结构如图6所示，截面尺寸为25×10 -4m2，杆件的长度为1m，斜杆长为1.414m。集中力为100KN，一端为铰支座，一端自由。

图6 三维桁架算例

Fig6. A case of 3-D truss

三维桁架中，元胞模型的状态函数有18个杆的截面面积，在本算例中18个杆件并不是全部存在，如，结点③有6个杆件，结点⑦有7个杆件。在本例中取迭代次数80次（迭代80次位移变化量小于1%）。

有限元算法与元胞自动机算法的竖向位移如表2所示：

表2竖向位移比较

Table 2 Comparison of vertical displacement of 3-D structure

编号 元胞算法 FEM算法

1 0 (m) 0 (m)

2 0 (m) 0 (m)

3 0 (m) 0 (m)

4 0 (m) 0 (m)

5 0.00136 (m) 0.001379 (m)

6 0.00137 (m) 0.001374 (m)

7 0.00137 (m) 0.001370 (m)

8 0.00137 (m) 0.001368 (m)

9 0.00170 (m) 0.001738 (m)

10 0.00172 (m) 0.001730 (m)

11 0.00182 (m) 0.001839 (m)

12 0.00183 (m) 0.001835 (m)

13 0.00242 (m) 0.002398 (m)

14 0.00265 (m) 0.002688 (m)

15 0.00271 (m) 0.002689 (m)

16 0.00257 (m) 0.002585 (m)

17 0.00349 (m) 0.003517 (m)

18 0.00398 (m) 0.004022 (m)

19 0.00425 (m) 0.004136 (m)

20 0.00368 (m) 0.003677 (m)

5结论

本文将元胞自动机方法应用于结构力学分析，结构的平衡是满足局部最小势能原理的自组织过程。元胞自动机仅将局部法则应用于单个元胞，因此避免建立总体刚度矩阵，只需求解线性方程组，因此计算量小。通过算例证明了该方法应用于空间桁架的可行性，而且位移的收敛性较好。由于方法仅对各元胞逐一求解，不需要形成结构的整体平衡方程，可克服有限元在大规模计算时数据存储中的困难，有望在大型结构计算和纳米力学大规模数值模拟方面发挥作用。作为一种新的数值计算方法，本文仅限于静力分析。元胞自动机应用于结构分析的研究尚处于起步阶段,有许多问题如收敛原因、计算速度、动力分析等需进一步探讨和深化。

参考文献

[1] J. V. Neumann. The Theory of Self-Reproducing Automata. A. W. Burks (ed), Univ. of Illinois Press, Urbana and London, 1966.

[2]M.Gardner.The fantastic combinations of John Conways new solitaire game life. Scientific Anerican,220(4):120,1970

[3]E.R.Berlekamp,J.O.Conway,and R.K.Guy.Winning Winning Ways for your Mathematical Plays, volume 2.Academic Press,1982.Chapter 25.

[4]K.Preton and M.Duff.Modern Cellular Automata:Theory and Applications. Plenum Press,1984.

[5] S. Wolfram. Theory and Applications of Cellular Automata. World Scientific,Singapore,1986. ISBN 9971-50-124-4 pbk.

[6] J. M. Sakoda. The Checkerboard Model of Social Interaction. J Math. Socio., 1:119-132., 1971.

[7] P. S. Albin. The Analysis of Complex Socioeconomic Systems. Lexington, MA: D. C. Heath and Company/Lexington Books, 1975.

[8] P. S. Albin and D. K. Foley(ed.). Barriers and Bounds to Rationality: Essays on Economic and Dynamics in Interactive Systems. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1998.

[9]杨吉新.并行元胞单元法.计算力学学报,2006, 23(1), 35-37.