一道高考与自主招生试题对比分析

周太红

高考是国家为选拔优秀人才进入大学深造的重要考试，自主招生考试是重点高校对顶尖学生进行区分选拔的测试，二者相辅相成，互为补充.研究近年高考和自主招生试题，可以发现，有些试题形同质异.研究二者其异同，不但可以激励更多的学生参加自主招生，还有利于提高解题能力，高考取得优异成绩.

典例1（2013年山东）如图1所示，一质量m=0.4 kg的小物块，以v0=2 m/s的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t=2 s的时间物块由A点运动到B点，A、B之间的距离L=10 m.已知斜面倾角θ=30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ=313.重力加速度g取10 m/s2.（1）求物块加速度的大小及到达B点时速度的大小.（2）拉力F与斜面的夹角多大时，拉力F最小？拉力F的最小值是多少？

解析（1）设物块加速度的大小为a，到达B点时速度的大小为v，由运动学公式得

L=v0t+112at2（1）

v=v0+at（2）

联立（1）、（2）式，代入数据解得

a=3 m/s2（3）

v=8 m/s（4）

（2）设物块所受支持力为FN，所受摩擦力为Ff，拉力与斜面之间的夹角为α.受力分析如图2所示.由牛顿第二定律得

Fcosα-mgsinθ-Ff=ma（5）

Fsinα+FN-mgcosθ=0（6）

又Ff=μFN（7）

联立解得F=mg（sinθ+μcosθ）+ma1cosα+μsinα（8）

令μ=313=tanα，

由数学知识得cosα+313sinα=2313sin（60°+α）（9）

由（8）、（9）式可知对应的F最小值的夹角α=30°（10）

联立（3）、（8）、（10）式，代入数据得F的最小值为

Fmin=13315 N.

典例2（2013年华约自主招生）明理同学平时注意锻炼身体，力量较大，最多能提起m=50 kg的物体.一重物放置在倾角θ=15°的粗糙斜坡上，重物与斜坡间的摩擦因数为μ=313≈0.58.试求该同学向上拉动的重物质量M的最大值？

解析根据题述，拉力F=mg=50g N.

设该同学拉动重物的力F的方向与斜面夹角为，分析重物M受力，如图4所示.将各力分别沿斜面方向和垂直斜面方向分解，由平衡条件得：

在垂直斜面方向上FN+Fsin-Mgcosθ=0，

式中FN是斜面对重物的支持力，其大小等于重物对斜面的正压力.

沿斜面方向上 Fcos- f -Mgsinθ=Ma，

由摩擦定律f=μFN.

根据题意，重物刚好能被拉动，加速度a可近似认为等于零，即a=0.

联立解得M=F（cos+μsin）1g（μcosθ+sinθ）.

令μ=tanα，代入上式可得

M=Fcos（+α）1gsin（θ+α）.

要使該同学向上拉动的重物质量M最大 ，上式中分子取最大值，即

cos（+α）=1，

Mmax=F1gsin（θ+α）.

由μ=tanα=313，可得α=30°，代入上式可得该同学向上拉动的重物质量M的最大值

Mmax=F1gsin（15°+30°）=502 kg=70.7 kg.

点评这两道从题图上看很相似，都是斜面上物体受到一个拉力作用；从题目问题看，二者均为求极值，均需要运用数学上三角函数求极值.两道题的不同点主要有以下三方面：第一方面，典例1有两问，典例2只有一问.典例1的第（1）问容易得出，命题者的目的使考生容易得分，提高其得分率，这是高考命题的要求.第二方面，典例1利用牛顿运动定律，求拉力F的最小值；典例2利用平衡条件，求拉动的重物质量M的最大值.第三方面，典例1涉及的知识主要是匀变速直线运动规律、受力分析、力的分解、牛顿运动定律、摩擦定律、数学上三角函数极值等.典例2涉及的知识主要是受力分析、力的分解、牛顿运动定律、摩擦定律、数学上三角函数极值等.解答时要注意利用重物刚好能被拉动这一条件.要得出该同学向上拉动的重物质量M的最大值，需要根据题述列出相关方程，解得M的函数表达式，利用数学知识得到最大值.