对称性在结构动力学中的应用
2014-09-22王树范温泳
王树范+温泳
摘 要：本文分析了《结构动力学》课程的特点，提出了利用结构对称性求多自由度结构自振频率及其相应的主振型的方法。
关键词：结构动力学 ；结构对称性；自振频率；主振型
中图分类号：TU311 文献标识码：A
一、概述
《结构动力学》是一门技术性很强的专业基础课，涉及到的研究领域很多，同时具有鲜明的工程与应用背景，绝大多数学生对这门课有一个共同的感觉：公式多而冗长，计算难而复杂，求解繁琐而难以掌握，涉及面广而不易理解，针对上述问题，利用结构自身的特点，使多自由度结构的自振频率的计算得到简化。
二、用柔度系数表示的多自由度结构的自振频率
对多自由度结构进行振动分析，关键在于求解出其自振频率及其相应的主振型。现以柔度法为例，给出n个自由度结构自振频率和主振型的求解过程。
1振动微分方程的建立
图1（a）所示为n个自由度结构，在自由振动的任一时刻t，质量造词的位移为造词，作用在该质量上的惯性力为，则可建立n个方程
（1）
这里是结构的柔度系数，即单位力作用时质点i的位移（参见图1（b））。
2微分方程的解及频率
设解的形式为
并将其带入（1）式中，便可得到一个由小到大排列的n个自振频率ω1，ω2，…，ωn。
当时，求出两个频率分别为
（2）
三、利用对称性计算多自由度结构的自振频率
当一个结构对称，质量分布也是对称的结构，那么它的主振型要么是正对称的，要么是反对称的，我们可以利用这一点，取半边结构来计算，这样可以使计算简化。下面举例说明。
例：试求图2（a）所示三跨梁的自振频率。已知
；
；
；
。
解：该题如果按照三个自由度结构去考虑，计算量非常大，容易出错。如果注意到结构自身的特征，利用对称性会使计算量大大减少。
考虑结构自身的特点，其振型可分为对称振动和反对称振动。
反对称振动的半结构如图2（b）所示，该结构为单自由度结构，可通过求柔度系数的方法求频率。
；
对称振动的半结构如图2（c）所示，该结构为两个自由度结构，也可通过求柔度系数的方法求频率。
，
，
代入（2）式可求出两个频率分别为：和。
综合反对称的频率可得原结构的三个频率分别为
；
；
。
结 语
本文针对学生在求解多自由度结构自振频率时存在的困难，根据自己在教学实践中的探索，提出了自己的一点看法。实践证明学生掌握了这种方法后会使计算变简单。在学习中要多做练习，同时，一道题要注意采用多种方法来解。
参考文献
[1]包世华.结构力学[M].武汉理工大学出版社，2007，167-174.
[2]刘晶波，杜修力.结构动力学[M].工业机械出版社，2011，91-108.
[3]杜方江.结构动力学在建筑结构中的抗震分析[J].科技资讯，2009，N031，69.endprint
摘 要：本文分析了《结构动力学》课程的特点，提出了利用结构对称性求多自由度结构自振频率及其相应的主振型的方法。
关键词：结构动力学 ；结构对称性；自振频率；主振型
中图分类号：TU311 文献标识码：A
一、概述
《结构动力学》是一门技术性很强的专业基础课，涉及到的研究领域很多，同时具有鲜明的工程与应用背景，绝大多数学生对这门课有一个共同的感觉：公式多而冗长，计算难而复杂，求解繁琐而难以掌握，涉及面广而不易理解，针对上述问题，利用结构自身的特点，使多自由度结构的自振频率的计算得到简化。
二、用柔度系数表示的多自由度结构的自振频率
对多自由度结构进行振动分析，关键在于求解出其自振频率及其相应的主振型。现以柔度法为例，给出n个自由度结构自振频率和主振型的求解过程。
1振动微分方程的建立
图1（a）所示为n个自由度结构，在自由振动的任一时刻t，质量造词的位移为造词，作用在该质量上的惯性力为，则可建立n个方程
（1）
这里是结构的柔度系数，即单位力作用时质点i的位移（参见图1（b））。
2微分方程的解及频率
设解的形式为
并将其带入（1）式中，便可得到一个由小到大排列的n个自振频率ω1，ω2，…，ωn。
当时，求出两个频率分别为
（2）
三、利用对称性计算多自由度结构的自振频率
当一个结构对称，质量分布也是对称的结构，那么它的主振型要么是正对称的，要么是反对称的，我们可以利用这一点，取半边结构来计算，这样可以使计算简化。下面举例说明。
例：试求图2（a）所示三跨梁的自振频率。已知
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解：该题如果按照三个自由度结构去考虑，计算量非常大，容易出错。如果注意到结构自身的特征，利用对称性会使计算量大大减少。
考虑结构自身的特点，其振型可分为对称振动和反对称振动。
反对称振动的半结构如图2（b）所示，该结构为单自由度结构，可通过求柔度系数的方法求频率。
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对称振动的半结构如图2（c）所示，该结构为两个自由度结构，也可通过求柔度系数的方法求频率。
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代入（2）式可求出两个频率分别为：和。
综合反对称的频率可得原结构的三个频率分别为
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结 语
本文针对学生在求解多自由度结构自振频率时存在的困难，根据自己在教学实践中的探索，提出了自己的一点看法。实践证明学生掌握了这种方法后会使计算变简单。在学习中要多做练习，同时，一道题要注意采用多种方法来解。
参考文献
[1]包世华.结构力学[M].武汉理工大学出版社，2007，167-174.
[2]刘晶波，杜修力.结构动力学[M].工业机械出版社，2011，91-108.
[3]杜方江.结构动力学在建筑结构中的抗震分析[J].科技资讯，2009，N031，69.endprint
摘 要：本文分析了《结构动力学》课程的特点，提出了利用结构对称性求多自由度结构自振频率及其相应的主振型的方法。
关键词：结构动力学 ；结构对称性；自振频率；主振型
中图分类号：TU311 文献标识码：A
一、概述
《结构动力学》是一门技术性很强的专业基础课，涉及到的研究领域很多，同时具有鲜明的工程与应用背景，绝大多数学生对这门课有一个共同的感觉：公式多而冗长，计算难而复杂，求解繁琐而难以掌握，涉及面广而不易理解，针对上述问题，利用结构自身的特点，使多自由度结构的自振频率的计算得到简化。
二、用柔度系数表示的多自由度结构的自振频率
对多自由度结构进行振动分析，关键在于求解出其自振频率及其相应的主振型。现以柔度法为例，给出n个自由度结构自振频率和主振型的求解过程。
1振动微分方程的建立
图1（a）所示为n个自由度结构，在自由振动的任一时刻t，质量造词的位移为造词，作用在该质量上的惯性力为，则可建立n个方程
（1）
这里是结构的柔度系数，即单位力作用时质点i的位移（参见图1（b））。
2微分方程的解及频率
设解的形式为
并将其带入（1）式中，便可得到一个由小到大排列的n个自振频率ω1，ω2，…，ωn。
当时，求出两个频率分别为
（2）
三、利用对称性计算多自由度结构的自振频率
当一个结构对称，质量分布也是对称的结构，那么它的主振型要么是正对称的，要么是反对称的，我们可以利用这一点，取半边结构来计算，这样可以使计算简化。下面举例说明。
例：试求图2（a）所示三跨梁的自振频率。已知
；
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解：该题如果按照三个自由度结构去考虑，计算量非常大，容易出错。如果注意到结构自身的特征，利用对称性会使计算量大大减少。
考虑结构自身的特点，其振型可分为对称振动和反对称振动。
反对称振动的半结构如图2（b）所示，该结构为单自由度结构，可通过求柔度系数的方法求频率。
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对称振动的半结构如图2（c）所示，该结构为两个自由度结构，也可通过求柔度系数的方法求频率。
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代入（2）式可求出两个频率分别为：和。
综合反对称的频率可得原结构的三个频率分别为
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结 语
本文针对学生在求解多自由度结构自振频率时存在的困难，根据自己在教学实践中的探索，提出了自己的一点看法。实践证明学生掌握了这种方法后会使计算变简单。在学习中要多做练习，同时，一道题要注意采用多种方法来解。
参考文献
[1]包世华.结构力学[M].武汉理工大学出版社，2007，167-174.
[2]刘晶波，杜修力.结构动力学[M].工业机械出版社，2011，91-108.
[3]杜方江.结构动力学在建筑结构中的抗震分析[J].科技资讯，2009，N031，69.endprint
