用向量法求解函数最值
2014-09-22陈海蓉，胡华
陈海蓉，胡华
摘要：在一些求函数的最值的问题中，运用构造向量法能使问题得到优化，而且可以发散学生的思维，培养学生的创新精神的作用。学会观察函数问题的结构特征，把握函数结构的向量模型，构造向量，把函数最值问题转化为向量问题，使问题解决达到事半功倍的效果。
关键词：函数最值；向量法；最值求解
中图分类号：G633.66？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）06-0075-02
向量是数学中最基本和最重要的概念之一，它是解决数学问题的一个重要工具，沟通代数、几何与三角函数，有着非常广泛的实际应用背景，向量的大小具备了“数”的特征，向量的方向具备了“形”的特征。因此向量融数、形于一体，体现了数形结合的思想，成为中学数学知识的交汇点。掌握了向量的有关知识，有意识地运用向量这一工具去解决相关问题，不仅能使问题得到优化，而且能发散学生的思维，培养学生的创新精神。在一些求函数的最值的问题中，运用构造向量法就起到了这样的作用。学会观察函数问题的结构特征，把握函数结构的向量模型，构造向量，把函数最值问题转化为向量问题，会起到简化问题，使问题解决达到事半功倍的效果。下面我们就围绕一个定理，以几题的求解来阐述一下这一方法的运用，并就这一方法与其它方法作比较，其优势还是显而易见的。
Th：若■、■为两个向量，则（■·■）2≤|■|2·|■|2（亦可表示为|■|2≥■
例1 求实数x、y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2达到最小值（2001年全国初中数学联赛试题）
方法1：令u=（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2，则有5x2+6（y-5）x+（3y2-20y+46-u）=0 ∵x∈R，∴Δ=36（y-5）2-4×5（3y2-20y+46-u）≥0，即6y2-10y+5-5u≤0，又∵y∈R，∴Δ=100-4×6（5-5u）≥0 即得u≥■，当且仅当u=■时， 6y2-10y+5-5u=0，解得y=■，x=■即，当y=■，x=■时，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。
方法2：令■=（y-1，x+y-3，2x+y-6），■=（1，-2，1）由Th得 |■|2≥■=■，当且仅当■=■=■时取“=”，故得y=■，x=■时，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。
方法3：由柯西不等式：（■aibi）2≤■ai2■bi2（bi≠0，i=1，2…，n）当且仅当■=■=…=■时成立，因为（u2+v2+w2）[（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2]≥（u（y-1）+v（x+y-3））+w（2x+y-6）]2=（u+v+wy+（v+2w）x+（u+3v+6w），若令w=1，v=-2，u=1则u+v+w=0v+2w=0
故有（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2≥■，当且仅当■=■=■时取“=”，故得y=■，x=■时，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。
分析：构造向量求解函数最值显然简单一些，但要注意为使■·■及|■|是个定值，如何巧妙地构造构造向量■和■，而此题所给式子恰好可以看成向量的模的平方。
例2？摇如果a，b，c∈R+且a+b+c=1求■+■+■的最大值（第8届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题）
方法1：利用均值不等式∵a，b，c∈R+，∴■·■≤■，又■·■≤■，∴■·■≤■∴■（■+■+■）≤■，又∵a+b+c=1，■+■+■≤3■，当且仅当3a+1=2，3b+1=2，3c+1=2时，“=”成立，即a=b=c=■时，■+■+■有最大值3■。
方法2：向量法。令■=（■，■，■），■=（1，1，1）则由Th得，（■·■）2=（■+■+■）2≤[3（a+b+c）+3]×3
∵a+b+c=1，∴■+■+■≤3■当且仅当■=■=■时“=”成立，即a=b=c=■时，■+■+■有最大值3■。
方法3：概率法：由EX2≥（EX）2令x～■ ■ ■ ■ ■ ■，∵EX2≥（EX）2，∴■[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]≥[■（■+■+■）]2，又∵a+b+c=1 ∴18≥（■+■+■）2，∴■+■+■≤3■，当且仅当a=b=c=■时，取“=”
方法四：柯西不等式。（u2+v2+w2）[（■）2+（■）2+（■）2]≥（u■+v■+w■）2
令u=v=w=1得，3×[3（a+b+c）+3]≥（■+■+■）2，又∵a+b+c=1
∴■+■+■≤3■（当且仅当a=b=c=■时，取“=”）。
分析：此题借助于已知条件a+b+c=1构造向量比较容易，且所给式子可以看成两个数量积的和的形式，因此适合用Th完成。
以上题型均可构造空间向量，利用向量的数量积（■·■）2≤|■|2·|■|2求解，并且较其它方法更为简单、直接。此外，一般地涉及两向量数量积的和的形式的题型可利用上述公式求其最值，但在构造时也有其局限性，不是每一类函数都可运用该种方法。endprint
摘要：在一些求函数的最值的问题中，运用构造向量法能使问题得到优化，而且可以发散学生的思维，培养学生的创新精神的作用。学会观察函数问题的结构特征，把握函数结构的向量模型，构造向量，把函数最值问题转化为向量问题，使问题解决达到事半功倍的效果。
关键词：函数最值；向量法；最值求解
中图分类号：G633.66？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）06-0075-02
向量是数学中最基本和最重要的概念之一，它是解决数学问题的一个重要工具，沟通代数、几何与三角函数，有着非常广泛的实际应用背景，向量的大小具备了“数”的特征，向量的方向具备了“形”的特征。因此向量融数、形于一体，体现了数形结合的思想，成为中学数学知识的交汇点。掌握了向量的有关知识，有意识地运用向量这一工具去解决相关问题，不仅能使问题得到优化，而且能发散学生的思维，培养学生的创新精神。在一些求函数的最值的问题中，运用构造向量法就起到了这样的作用。学会观察函数问题的结构特征，把握函数结构的向量模型，构造向量，把函数最值问题转化为向量问题，会起到简化问题，使问题解决达到事半功倍的效果。下面我们就围绕一个定理，以几题的求解来阐述一下这一方法的运用，并就这一方法与其它方法作比较，其优势还是显而易见的。
Th：若■、■为两个向量，则（■·■）2≤|■|2·|■|2（亦可表示为|■|2≥■
例1 求实数x、y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2达到最小值（2001年全国初中数学联赛试题）
方法1：令u=（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2，则有5x2+6（y-5）x+（3y2-20y+46-u）=0 ∵x∈R，∴Δ=36（y-5）2-4×5（3y2-20y+46-u）≥0，即6y2-10y+5-5u≤0，又∵y∈R，∴Δ=100-4×6（5-5u）≥0 即得u≥■，当且仅当u=■时， 6y2-10y+5-5u=0，解得y=■，x=■即，当y=■，x=■时，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。
方法2：令■=（y-1，x+y-3，2x+y-6），■=（1，-2，1）由Th得 |■|2≥■=■，当且仅当■=■=■时取“=”，故得y=■，x=■时，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。
方法3：由柯西不等式：（■aibi）2≤■ai2■bi2（bi≠0，i=1，2…，n）当且仅当■=■=…=■时成立，因为（u2+v2+w2）[（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2]≥（u（y-1）+v（x+y-3））+w（2x+y-6）]2=（u+v+wy+（v+2w）x+（u+3v+6w），若令w=1，v=-2，u=1则u+v+w=0v+2w=0
故有（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2≥■，当且仅当■=■=■时取“=”，故得y=■，x=■时，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。
分析：构造向量求解函数最值显然简单一些，但要注意为使■·■及|■|是个定值，如何巧妙地构造构造向量■和■，而此题所给式子恰好可以看成向量的模的平方。
例2？摇如果a，b，c∈R+且a+b+c=1求■+■+■的最大值（第8届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题）
方法1：利用均值不等式∵a，b，c∈R+，∴■·■≤■，又■·■≤■，∴■·■≤■∴■（■+■+■）≤■，又∵a+b+c=1，■+■+■≤3■，当且仅当3a+1=2，3b+1=2，3c+1=2时，“=”成立，即a=b=c=■时，■+■+■有最大值3■。
方法2：向量法。令■=（■，■，■），■=（1，1，1）则由Th得，（■·■）2=（■+■+■）2≤[3（a+b+c）+3]×3
∵a+b+c=1，∴■+■+■≤3■当且仅当■=■=■时“=”成立，即a=b=c=■时，■+■+■有最大值3■。
方法3：概率法：由EX2≥（EX）2令x～■ ■ ■ ■ ■ ■，∵EX2≥（EX）2，∴■[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]≥[■（■+■+■）]2，又∵a+b+c=1 ∴18≥（■+■+■）2，∴■+■+■≤3■，当且仅当a=b=c=■时，取“=”
方法四：柯西不等式。（u2+v2+w2）[（■）2+（■）2+（■）2]≥（u■+v■+w■）2
令u=v=w=1得，3×[3（a+b+c）+3]≥（■+■+■）2，又∵a+b+c=1
∴■+■+■≤3■（当且仅当a=b=c=■时，取“=”）。
分析：此题借助于已知条件a+b+c=1构造向量比较容易，且所给式子可以看成两个数量积的和的形式，因此适合用Th完成。
以上题型均可构造空间向量，利用向量的数量积（■·■）2≤|■|2·|■|2求解，并且较其它方法更为简单、直接。此外，一般地涉及两向量数量积的和的形式的题型可利用上述公式求其最值，但在构造时也有其局限性，不是每一类函数都可运用该种方法。endprint
摘要：在一些求函数的最值的问题中，运用构造向量法能使问题得到优化，而且可以发散学生的思维，培养学生的创新精神的作用。学会观察函数问题的结构特征，把握函数结构的向量模型，构造向量，把函数最值问题转化为向量问题，使问题解决达到事半功倍的效果。
关键词：函数最值；向量法；最值求解
中图分类号：G633.66？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）06-0075-02
向量是数学中最基本和最重要的概念之一，它是解决数学问题的一个重要工具，沟通代数、几何与三角函数，有着非常广泛的实际应用背景，向量的大小具备了“数”的特征，向量的方向具备了“形”的特征。因此向量融数、形于一体，体现了数形结合的思想，成为中学数学知识的交汇点。掌握了向量的有关知识，有意识地运用向量这一工具去解决相关问题，不仅能使问题得到优化，而且能发散学生的思维，培养学生的创新精神。在一些求函数的最值的问题中，运用构造向量法就起到了这样的作用。学会观察函数问题的结构特征，把握函数结构的向量模型，构造向量，把函数最值问题转化为向量问题，会起到简化问题，使问题解决达到事半功倍的效果。下面我们就围绕一个定理，以几题的求解来阐述一下这一方法的运用，并就这一方法与其它方法作比较，其优势还是显而易见的。
Th：若■、■为两个向量，则（■·■）2≤|■|2·|■|2（亦可表示为|■|2≥■
例1 求实数x、y的值，使得（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2达到最小值（2001年全国初中数学联赛试题）
方法1：令u=（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2，则有5x2+6（y-5）x+（3y2-20y+46-u）=0 ∵x∈R，∴Δ=36（y-5）2-4×5（3y2-20y+46-u）≥0，即6y2-10y+5-5u≤0，又∵y∈R，∴Δ=100-4×6（5-5u）≥0 即得u≥■，当且仅当u=■时， 6y2-10y+5-5u=0，解得y=■，x=■即，当y=■，x=■时，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。
方法2：令■=（y-1，x+y-3，2x+y-6），■=（1，-2，1）由Th得 |■|2≥■=■，当且仅当■=■=■时取“=”，故得y=■，x=■时，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。
方法3：由柯西不等式：（■aibi）2≤■ai2■bi2（bi≠0，i=1，2…，n）当且仅当■=■=…=■时成立，因为（u2+v2+w2）[（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2]≥（u（y-1）+v（x+y-3））+w（2x+y-6）]2=（u+v+wy+（v+2w）x+（u+3v+6w），若令w=1，v=-2，u=1则u+v+w=0v+2w=0
故有（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2≥■，当且仅当■=■=■时取“=”，故得y=■，x=■时，（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2有最小值■。
分析：构造向量求解函数最值显然简单一些，但要注意为使■·■及|■|是个定值，如何巧妙地构造构造向量■和■，而此题所给式子恰好可以看成向量的模的平方。
例2？摇如果a，b，c∈R+且a+b+c=1求■+■+■的最大值（第8届“希望杯”全国数学邀请赛高二试题）
方法1：利用均值不等式∵a，b，c∈R+，∴■·■≤■，又■·■≤■，∴■·■≤■∴■（■+■+■）≤■，又∵a+b+c=1，■+■+■≤3■，当且仅当3a+1=2，3b+1=2，3c+1=2时，“=”成立，即a=b=c=■时，■+■+■有最大值3■。
方法2：向量法。令■=（■，■，■），■=（1，1，1）则由Th得，（■·■）2=（■+■+■）2≤[3（a+b+c）+3]×3
∵a+b+c=1，∴■+■+■≤3■当且仅当■=■=■时“=”成立，即a=b=c=■时，■+■+■有最大值3■。
方法3：概率法：由EX2≥（EX）2令x～■ ■ ■ ■ ■ ■，∵EX2≥（EX）2，∴■[（3a+1）+（3b+1）+（3c+1）]≥[■（■+■+■）]2，又∵a+b+c=1 ∴18≥（■+■+■）2，∴■+■+■≤3■，当且仅当a=b=c=■时，取“=”
方法四：柯西不等式。（u2+v2+w2）[（■）2+（■）2+（■）2]≥（u■+v■+w■）2
令u=v=w=1得，3×[3（a+b+c）+3]≥（■+■+■）2，又∵a+b+c=1
∴■+■+■≤3■（当且仅当a=b=c=■时，取“=”）。
分析：此题借助于已知条件a+b+c=1构造向量比较容易，且所给式子可以看成两个数量积的和的形式，因此适合用Th完成。
以上题型均可构造空间向量，利用向量的数量积（■·■）2≤|■|2·|■|2求解，并且较其它方法更为简单、直接。此外，一般地涉及两向量数量积的和的形式的题型可利用上述公式求其最值，但在构造时也有其局限性，不是每一类函数都可运用该种方法。endprint
