推广的Stancu算子的A-统计逼近

刘生贵

(嘉应学院 数学学院，广东 梅州 514015)

0 引言

文献［1］中，Stancu D D 引入如下一类线性算子：

设0＜αn，f∈C［0，1］，

这里

显然，当αn≡0 时，Stancu 算子即为熟知的Bernstein算子.Stancu 算子是非常重要的算子，它的逼近性质吸引了众多学者的研究和探索［2～3］.

近年来，线性算子的统计逼近被逐步引入逼近论领域［4～7］.把统计收敛的理念引入到逼近论领域大大促进了逼近论的发展，特别是Cesàro 型矩阵可求和方法有力弥补了各类线性算子(例如Hermite-Feiér 插直算子)收敛性质上的不足，因为这些算子在那些简单的不连续点上并不收敛［8～9］.A-统计收敛正线性算子的求和上显得更为有效［5～7］.

设{xn}n∈N是一个数字序列，如果对任给ε＞0，有

则称{xn}n∈N统计收敛于数M，这里#B 表示集合B的基数［10～11］.{xn}n∈N统计收敛于数M，记为

设A=(ajn)是一个无限的可求和矩阵，记x=(xn)，如果对每一个收敛，则记关于x=(xn)的变换为Ax：=(Ax)j.我们说矩阵A 正则的，如果当limj→∞xj=M 时，有limj→∞(Ax)j=M［12］.例如，定义如下的Cesàro 矩阵C1=(cjn)

就是一个正则矩阵，设A 是非负可求的正则矩阵，Freedman 和Sember［13］引入了A-统计收敛.它是一种更为一般方法的统计收敛.我们说序列(xn)n∈NA-统计收敛到M，如果满足对任给ε＞0，式子

成立.A-统计收敛到M，记为

若将A 用单位矩阵代替，则A-统计收敛就是普通意义的收敛，不难看出，如果取A=C1，则C1统计收敛就是上面所提到的统计收敛，即

对任给的非负的正则矩阵，每一个收敛列A 统计收敛于同一的值，但它的逆命题不成立.特别，Kolk［14］已经证得，当非负正则矩阵A=(ajn)满足条件limnmax{ain}=0 时，A-统计收敛强于普通意义的收敛.

本文定义一类推广的Stancu 算子如下：设0≤αn，f∈C［0，1］，

这里

本文将研究该算子A—统计逼近的性质，同时，借助光滑模，讨论A—统计逼近收敛速度的估计.

1 算子的A-统计逼近

先给出主要结果所需的两个引理.

引理1设n∈N 和0≤αn，f∈C［0，1］，有

这里ei=tifor i=0，1，2.

证明

由Vandermode 公式

得

引理2［15］设A=(ajn)是一个非负正则可求和矩阵，若从C［a，b］到C［a，b］线性算子序列Ln满足

这里ei=ti，i=0，1，2.则对任意f∈C(a，b)，有

定理1设A=(ajn)是一个非负的正则可求和矩阵，序列{αn}满足

则对所有的f∈C［0，1］，有

证明由式(1)，(2)，(3)，显然有

对给定的ε＞0，定义如下集合：

由(3)式可知D⊆D1∪D2.对每一个j∈N，有

在(8)式中让j→∞并应用(4)式可得

由引理2，并应用(5)，(6)，(9)式，可得定理结果.

2 A-统计逼近的收敛速度估计

我们将借助光滑模，计算算子A-统计收敛的收敛速度.

对于连续函数f，函数f 的光滑模ω(f，δ)定义为

又知，对于光滑模有limδ→0ω(f，δ)=0，由光滑模的性质，有

定理2设n∈N，f∈C［0，1］，{αn}是满足0＜αn的序列，则

证明由于算子是正线性算子，所以有

由(10)式，对任意δ＞0，有

由正线性算子的Canchv-Schwarz 不等式，可得

上式中取即可得定理结果.