Dithering对ADC量化误差影响的分析研究

刘 欣，熊兴中，杨平先

(四川理工学院人工智能四川省重点实验室，四川自贡 643000)

Dithering的中文意思为“抖动”，近年来，在ADC中加入抖动噪声来提高动态性能获得了研究人员的普遍重视和大力研究，如Dithering的加入可使15位20 Mbit/s的流水线ADC的无杂散动态范围提高约29 dB［1］;惠普公司在矢量分析仪HP86400的12位ADC中加入Dithering使其分辨率提高了11 位［2］。

理论上，量化噪声(QN)与输入信号完全无关的ADC是不存在的。ADC的非线性特性决定了输出噪声相对于输入信号毕竟存在一定的依赖关系。当前的研究主要集中在Dithering－ADC结构的优化和Dithering噪声对改善ADC 性能的应用等方面［3－4］，文献［3］探讨了 Dithering对流水线型ADC的SFDR指标的提升效应，文献［4］从硬件上证明了Dithering－ADC技术上的先进性并给出了一定的优化方案。而对于按照什么标准添加Dithering噪声目前还少有文献介绍和讨论。本文将对Dithering－ADC中Dithering对系统性能影响的数学模型进行分析研究，并且以3种典型分布的抖动信号为例，分别从微分非线性误差、谐波分量损伤和协方差等3方面进行了理论分析和探讨，并通过实验仿真进行了验证，最后给出了Dithering信号的有效性条件，从而为有目的、有针对性地选择Dithering信号提供了一定的参考。

1 Dithering算法的实现原理

由于ADC固有的非线性特性带来了QN与输入信号的关联性，降低了系统性能，目前人们广泛采用的有效方法是通过Dithering噪声来减少量化噪声对系统非线性性能的影响［5］。实际中QN以ADC谱分布的谐波形式出现，谐波或者QN的噪声调制产物对于许多模拟数字的转换应用都是有害的，有目的地添加Dithering可将量化噪声转换成白噪声，使得QN与输入信号相关性减弱，或者不再相关，大大减少了QN对谐波分量的贡献，从而有效地降低或抑制了ADC的量化噪声对系统性能的影响。

本文所讨论的Dithering信号采用加性(不减)方式，而且为了分析方便，系统采用窄频带Dithering结构，如图1所示。输入信号经过防混叠滤波器(低通滤波器)滤波后，Dithering信号与其叠加，然后进行A/D转换、D/A转换，经过低通滤波器对输出信号进行相应的处理。

图1 Dithering－ADC的模型框图

微分非线性DNL(Differential Non－Linearity)是ADC相邻2刻度差值的最大值，即对每个模拟数据按点量化产生的误差，所有DNL的数学积分即为积分非线性，都属于ADC的静态误差［6］。由于DNL由QN产生，根据ADC输出码字的概率密度函数，分析Dithering对DNL的总误差影响。一个信号在ADC的量化过程中由DNL造成的总误差为

式中:I为码字的位数;P(I)为输出码的概率密度函数;DNL(I)为微分非线性误差。

根据ADC信噪比SNR=6.02N+1.76(dB)及现有理论，大幅度且复杂信号的QN主要是白噪声，小幅度且简单信号的QN主要是谐波噪声，不同信号影响不同，但都会使SFDR指标恶化［9］。对于Dithering信号，一个幅度为A的正弦信号与幅度为C的抖动信号叠加后的输出概率密度函数设为Pd(x)，根据式(2)有

2 不同分布的Dithering

2.1 均匀分布的Dithering

均匀分布信号的概率密度函数为

振幅为C的Dithering信号叠加到振幅为A的正弦信号，通过理想ADC输出概率密度函数为

为更直观观察，分别画出A=1和加入C=0.08的均匀Dithering后输出信号的概率密度函数曲线，如图2所示。

图2 输出信号的概率密度函数曲线

由图2可知，引入Dithering后，输出概率密度的最大值由0.23左右降低到0.015左右，式(1)中的被积数减小了，和DNL共同引起的失真变小了，证明了均匀分布的Dithering可以降低ADC的量化噪声。

2.2 高斯分布的Dithering

将理想ADC的QN依据傅里叶级数展开，并写成频域形式，即

Dithering服从高斯分布［0，δ2］时，概率密度函数及其傅里叶变换为

画出的频谱曲线如图3所示。

图3 平均量化误差频谱曲线，其中σ/Δ=1

引入高斯Dithering后，量化噪声中其他高次谐波成分消失(第一个谐波成分仍然存在)。实际上谐波分量是被分散了，总的谐波损伤大大减少，证明高斯分布的Dithering也能有效降低ADC的量化噪声。

2.3 正弦分布的Dithering

式中:J(u)为第一类的零阶贝塞尔函数。用输入信号与量化误差的协方差函数讨论二者的关联性，即ADC的非线性特性。建立特征函数与协方差之间的关系式，特征函数相当于概率密度函数在频域上的期望值，因此二者在时频域上具有一一对应的关系。设输入信号为s，总的噪声为n，输入信号频率为ω，将联合期望值E(ω·u)频域上用概率密度函数积分为

协方差函数Cov(ω，u)=E(ω·u)－E(ω)E(u)，得到加入正弦Dithering输入信号与量化噪声的协方差函数，写成贝塞尔函数形式为

依据量化定理:如果协方差函数值比较小(理想情况下为0)，说明加入的Dithering对于ADC的量化误差具有很好的改善作用［11］。结合贝塞尔函数性质，加入正弦Dithering不能够使特征函数值有效地减少，因为除非c和u同时为0，而这在实际应用中毫无意义。2.4节将从Dithering信号可行性方面做进一步分析。

2.4 Dithering信号的优选条件

Dithering信号满足什么条件可以有效地改善量化噪声?这个问题一直没有准确的答案，本文将在理论上做一些初步的探索，假设概率密度函数为f(x)，均匀分布信号的特征函数为

式中:k为系数。由式(14)可以看出，QN的特征函数与Dithering信号特征函数近似呈现出正比例的关系，即当Dithering信号特征函数的值为0时，量化噪声的特征函数值才为0，此时量化噪声独立于输入信号，Dithering对QN才有很好的改善。因此，Cd(ω)=0(或者近似为0)可以作为有效Dithering的限制性条件，只要满足此限制条件，就能有效地改善ADC的量化噪声。

本文选取的均匀分布和高斯分布的Dithering信号理论上都是符合以上条件的，而正弦分布的Dithering信号不满足此条件［12］。具体的仿真结果分析在下一节做详细介绍。

3 仿真结果与分析

依据Dithering－ADC的模型框图，利用Simulink搭建的仿真图，如图4所示。

原始信号为正弦模拟信号，振幅A=60 mV，频率f=100 Hz，初相ψ =－0.52π，偏移h=119 mV。初始信号经过防混叠滤波可以减少一些“锯齿”，Dithering信号采取只加的方式，手动开关选择是否叠加抖动噪声。然后经过采样保持，在ADC中进行量化成为数字信号，数字信号在DAC中进行D/A转换，最后将信号通过低通滤波器滤波后输出，示波器用来记录不同时刻不同节点的波形特征。首先考察系统中有无抖动对ADC性能的影响，如图5所示。

图5 无Dithering信号时输入、输出波形仿真图

由图5可知，无Dithering信号时，还原出的信号有许多锯齿和毛刺，尤其在波峰、波谷处更加严重。引起很大的失真，这对ADC性能的影响是有害的。下面将考察加入Dithering后对系统性能的影响。Dithering噪声由专门的噪声生成模块生成，分别考察加入均匀分布、高斯分布和正弦分布的Dithering对ADC性能的影响，为便于观察，局部放大第一个周期左右的图像，仿真结果如图6所示。

由图6可以看出:加入均匀分布的Dithering信号时，波形比较光滑;加入高斯分布的Dithering信号时，接收信号有很多毛刺和少量的锯齿;加入正弦的Dithering信号，波形产生极大的畸变，有大量的方波和锯齿，不能有效抑制ADC的QN，此时输出信号不能准确分离出输入信号。

图6 加入不同分布Dithering的输出信号

图6a、图6b与图5b比较，接收信号的曲线都变“光滑了”，说明这2种Dithering可以有效抑制QN，提升ADC的性能。但是，输出信号的幅值增加了大约12 mV，这是因为系统采用的是“只加”模式，可以在接收端滤去Dithering或幅值等比例缩小，准确地还原出原始信号，因此和原始信号相比携带着等同的信息。仿真结果验证了2.4节的优选条件具备一定的科学性和指导意义。

4 结论

论文探讨了Dithering信号有效改善QN的优选条件，考虑了均匀分布、高斯分布和正弦分布的Dithering对ADC量化噪声的影响，从概率密度函数与DNL的共同作用、谐波分量损伤和协方差关系这3个方面进行了原理性的讨论分析。理论分析表明只要加入的Dithering信号的特征函数在一定条件下能够为零，那么在一定程度上就可减少ADC的QN。从仿真结果来看，均匀分布的Dithering性能最好，高斯分布次之，而正弦分布的Dithering不能有效抑制ADC的QN。本文对Dithering信号的加入条件及标准进行了探讨，给出了一些初步有效Dithering的优选条件，但如何得到最佳Dithering信号的通用计算表达式目前还没有得到很好解决，这也是笔者未来努力研究的方向。

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