算子（矩阵）Ky－Fan不等式猜想的一个反例

宋 佳，姜健飞

（东华大学 理学院，上海 201620）

算子（矩阵）Ky－Fan不等式猜想的一个反例

宋 佳，姜健飞

（东华大学 理学院，上海 201620）

实数的几何平均概念也可推广到Hilbert空间上的自伴算子（矩阵），但其计算过程更复杂.通过矩阵的几何平均算法研究算子（矩阵）形式的Ky－Fan不等式，给出一个反例说明关于Hilbert空间上自伴算子（矩阵）的Ky－Fan不等式结果的猜想不成立.

几何平均；自伴算子；Lowner－Heinz不等式；Ky－Fan不等式

此即关于H上自伴算子的Young不等式（这里A≥B⇔A－B≥0）.式（1）的经典证明见文献［1］，文献［2］给出了式（1）的初等证法.

式（4）即著名的 Ky－Fan不等式［3］.注意到对数函数的单调性，式（4）指出在同样条件下有

并猜测MiMj＝MjMi（∀i，j）的条件是可去的.文献［5］证实了这一猜测.

1 关于H上自伴算子几何平均算法的探究

讨论当A和B为两H上自伴算子（矩阵）时，关于A与B的几何平均A＃B的算法，是找到式（8）不成立反例的关键.

1.1 直接法

以上过程即使A和B为2阶矩阵，要得到精确值仍十分困难，但通过以下性质可降低计算的难度.

性质1.1 设A，B∈B（H），若A＞0，B≥0，则有

证毕.

1.2 最大值法

性质1.2［7］设A，B∈B（H），若A＞0，B≥0，则有

1.3 关于2阶矩阵的特殊算法

性质1.3［7］设A和B为两2阶正定阵，若det（A）＝det（B）＝1，则有

这里给出一基于性质1.1的新证法.

证明 由A＞0，det（A）＝1知∃P可逆满足det（P）＝1使得PTAP＝I.又由PTBP为实对称阵，且det（PTBP）＝ ［det（P）］2det（B）＝1知，∃ 正

这样由性质1.1（ii）及Q为正交阵即得

ST（A＃B）S＝QTPT（A＃B）PQ＝

证毕.

由性质1.3易得推论1.1.

推论1.1 若A和B为两2阶正定矩阵，则有

2 关于H上自伴算子的Ky－Fan不等式的举例

通过实例指出关于数的Ky－Fan不等式在H上的一种推广形式的猜想不成立.

从而由推论1.1得

由（ⅰ）和（ⅱ）得

计算得

得

最后由（3）和（4）得：

得出关于算子的Ky－Fan不等式的猜想不成立.

上述最终计算值尽管为负数，但数量级非常小，因此要论证结果的准确性：究竟是由于条件自身对A和B的限制使得计算结果偏小，还是误差所致？为此，有必要做相应的误差分析，具体讨论如下所述.

其中：0＜εi＜10－5，（i＝1，2，…，6），故有

其中：θ1＝ε1－ε4，θ2＝ε2－ε5，θ3＝ε3－ε6.显然｜θi｜＜10－5（i＝1，2，3），而

其中

有

故

验证了关于Hilbert空间上自伴算子（矩阵）的Ky－Fan不等式结果的猜想（式（8））不成立.而关于Hilbert上自伴算子（矩阵）的Ky－Fan不等式是否还有其他形式呢？此问题仍悬而未决.

参 考 文 献

［1］FURUTA T.Invitation to linear operators：From matrices to bounded linear operators on a Hilbert space［M］.London：CRC Press，2001.

［2］XU Y，JIANG J F.A direct proof to Young inequality by operator mean［C］／／Proc of the Ninth International Conference on Matrix Theory and Its Applications.2010：86－88.

［3］WANG C L.On a Ky－Fan inequality of the complementary，A／G type and its variants［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1980，73（2）：501－505.

［4］WANG C L.On development of a Ky Fan inequality of the complementary AG type［J］.J Math Res Exp，1988，8：513－519.

［5］冯慈璜，正定矩阵的Ky－Fan不等式［J］.杭州大学学报：自然科学报，1992，19（2）：129－131.

［6］IANNAZZO B.The geometric mean of two matrices from a computational viewpoint［DB／OL］.（2011－12－30）［2013－06－15］.http：／／arxiv.org／abs／1201.0101

［7］ANDO T，LI C K，MATHIAS R.Geometric means［J］.Linear Algebra and Its applications，2004，385：305－334.

A Counter Example of Conjecture about Ky－Fan Inequality of Operator（Matrix）

SONGJia，JIANGJian－fei
（College of Science，Donghua University，Shanghai 201620，China）

The geometric mean concept about the real number can also be extended to the self－adjoint operators（matrices）in the Hilbert space，but the calculation process under such circumstances is more complicated.The Ky－Fan inequality of operator （matrix）is researched based on the algorithm of geometric mean about matrix.A counter example is provided to show that the result of speculation of Ky－Fan inequality of self－adjoint operators（matrices）in the Hilbert space cannot be established.

geometric mean；self－adjoint operator；Lowner－Heinz inequality；Ky－Fan inequality

O 177.1

A

1671－0444（2014）04－0503－06

2013－07－01

宋 佳（1989—），女，安徽六安人，硕士，研究方向为算子不等式.E－mail：806569045＠qq.com

姜健飞（联系人），男，副教授，E－mail：jjf＠dhu.edu.cn