关于载流长直螺线管磁场的讨论

摘要：本文从毕奥—萨伐尔定律出发，先求出单匝载流圆线圈周围任一点的磁感强度，再根据这一结论，利用等效电流叠加计算了载流长直螺线管内任一点的磁感强度；同时从理论上证明了载流长直螺线管外部磁长是零的结论。

关键词：长直螺线管；磁感强度；毕奥—萨伐尔定律

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）18-0106-03

在许多大学物理教材中，关于单层均匀密绕载流长直螺线管（以下简称载流长直螺线管）的磁场[1]，一般是先利用毕奥-萨伐尔定律计算出单匝载流园线圈轴线上一点的磁感强度，再根据这一结论，利用等效电流叠加计算出单层均匀密绕载流直螺线管内轴线上一点的磁感强度。这种做法只能得到长直螺旋管轴线上磁场的磁感强度。要得到长直螺旋管内任意一点的磁感强度，需利用磁场安培环路定律[2]。如图1所示，设矩形环路abcd，根据对称性可知在ad和bc线段上磁场对环路无贡献；改变cd的位置（同时ad和bc线段的长度），使得cd与轴线重合。则可以推知载流长直螺线管内部磁感强度与位置无关（即均匀磁场）、磁感强度为B=μnI，进一步可证明载流长直螺线管外部的磁场为零。这种推导综合利用了毕奥-萨伐尔定律和安培环路定律以及对称性原理。

事实上，载流长直螺线管内外任意一点的磁场可直接从毕奥-萨伐尔定律求解，相对于如上所示的做法更加直观。本文从毕奥-萨伐尔定律出发，先计算单匝载流圆线圈在其周围任一点所产生的磁感强度；再根据这一结论，利用等效电流叠加求出单层均匀密绕载流长直螺线管内外任一点的磁感强度。

一、载流圆线圈的磁场

图2 单匝载流圆线圈与坐标关系

首先考察单匝载流圆线圈在其周围空间任一点激发的磁场。设有单匝载流圆线圈，其半径为R，通有电流I，计算在其周围任一点所产生的磁感强度。如图2（a）所示，选取坐标，在载流圆线圈A点处，取一电流元Id■，考察它在其周围任一点P所产生的磁感强度。图2（b）为其侧视图，■l为电流元单位矢量。取A点位置为（xA，yA，zA），P点位置为（xP，yP，0）。则任意电流元：

Id■=IRdθ■l=IRdθ（-sinθ■+cosθ■） （1）

其中：

xA=Rcosθ xP=rP cosφ （2）

yA=Rsinθ yP=rP sinφ

■=■=（xP-xA）■+（yP-yA）■-zA■（3）

根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Id■在P点产生的磁场[3]：

d■=■■ （4）

d■=■dθ■

=■dθ■ （5）

则载流圆线圈在P点产生的总磁场为：

■=■d■=■■dθ■ （6）

其中，

r=AP=■ （7）

（6）式即为单匝载流圆线圈在其周围任一点所产生的总磁场。

二、载流长直螺线管的磁场

下面根据此式并利用等效电流叠加求出载流长直螺线管内外任一点的磁场。

对于载流长直螺线管，其剖面图如图3所示，在螺线管上沿轴向任取一小段dZA，那么这一小段上的线圈相当于电流为IndZA的一载流圆线圈，其中I为通电电流、n为单位长度的匝数。根据（6）式可知，这一等效载流圆线圈在任一点P所产生的磁感强度为

d■=■dZA■dθ■ （8）

图3 长直螺旋管剖面图

因此整个载流长直螺线管在任一点P所产生的总磁感强度可以通过对dzA在无穷长区间积分得到：

■=■d■=■■dzA■dθ■

=■■dθ-■+■■dzA

=■■■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■（9）

根据2（a），P和C点都在oxy平面内，存在几何关系

h=PC=■

sinα=■

zA=-hcotα （10）

对（10）式中最后一个等式的两边微分：

dzA=hcsc2 αdα （11）

将上式代入（9）式可得

■=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■

=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■

=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）h-2■sin αdα

=■■·■■dθ （12）

在以上推导过程中，没有对P点的位置做任何约束，P点可以是长直螺旋管内部任意一点（对应rP=■）R）。（12）式对P点磁感强度的求解最终转化为一个积分问题（有关推导请见附录）。

（a）当rP

（13）

（b）当rP>R时：■■dθ=0，■=0 （14）

（c）当rP=R时：■■dθ=π，■=μ0n I■/2

（15）

上述三种情况中，第一种情况对应了长直螺旋管内部任意一点的磁场，第二种情况对应长直螺旋管外部任意一点的磁场，而第三种情况计算的是螺线管的管面电流层中心位置的磁场。通常情况下所谓的载流长直螺线管是指该螺线管可视为“无限长”亦即螺线管的长度远大于其直径且单层均匀密绕载流螺线管厚度可以忽略不计的这样一个物理模型。而实际上不存在“无限长”且厚度可忽略的理想情况，但在研究物理问题的时候，可作近似处理，把它抽象为一理想载流长直螺线管模型。因此，一般情况下（15）式对考察载流长直螺线管的磁场没有物理意义，可舍弃。但是，从物理意义上来讲，当载流长直螺线管的电流层厚度必须考虑时，电流层中的磁场将从螺旋管内部的μ0n I逐渐降低到外部的零。从以上理论计算可见，从毕奥-萨伐尔定律出发，先计算出单匝载流园线圈在其周围任一点所产生的磁感强度，再根据这一结论，利用等效电流叠加求出载流长直螺线管内任一点的磁感强度为μ0n I，载流长螺线管外部磁感强度是零。与一般大学物理教材中利用磁场中的安培环路定律来求得的结果是一样的。

参考文献：

[1]程守珠，江之永.普通物理学上册（第六版）[M].北京高等教育出版社，2006：343—344.

[2]程守珠，江之永.普通物理学上册（第六版）.北京：高等教育出版社，2006：351—352.

[3]王少杰，顾牡，毛俊健.大学物理上册第二版[M].同济大学出版社，2002：222.

附录 公式（12）中积分式的推导

利用公式（2）和rP=■），积分式做如下变换：

■■dθ=■■dθ

（F1）

设r=rP/R和φ=θ-φ，则可进一步得到：

■■dθ=■■dφ

=π+■■■dφ （F2）

当r=1时：

■■dφ=■■dφ

=■■dφ=π （F3）

当r≠1时，存在：

■■dφ=2■■d■

2■■dβ

=4■■dβ

=■■■■d■tanβ （F4）

令t=■tanβ，则有

■■■■d■tanβ

=■■■■dt=■■■=■（F5）

因此：

■■dθ=π1+■=2π r<10 r>1 （F6）

综合（F3）和（F6）有：

■■dθ=2π r<1π r=10 r>1 （F7）

所以，（a）当r<1，即rP

■■dθ=2π，■=μ0n I■（F8）

（b）当r>1，即rP>R，亦即在载流长直螺线管外部任一点：

■■dθ=0，■=0 （F9）

（c）当r=1，即rP=R时，在电流层中心位置：

■■dθ=■■dθ=■■dθ=π，■=μ0n I■/2 （F10）

基金项目：上海市大学物理精品课程建设资助项目。

作者简介：梁丽萍（1963-），女，湖南会同人，理学硕士，上海理工大学《大学物理》课程骨干讲师，主要从事大学物理等教学，以及光学、凝聚态物理等研究。

摘要：本文从毕奥—萨伐尔定律出发，先求出单匝载流圆线圈周围任一点的磁感强度，再根据这一结论，利用等效电流叠加计算了载流长直螺线管内任一点的磁感强度；同时从理论上证明了载流长直螺线管外部磁长是零的结论。

关键词：长直螺线管；磁感强度；毕奥—萨伐尔定律

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）18-0106-03

在许多大学物理教材中，关于单层均匀密绕载流长直螺线管（以下简称载流长直螺线管）的磁场[1]，一般是先利用毕奥-萨伐尔定律计算出单匝载流园线圈轴线上一点的磁感强度，再根据这一结论，利用等效电流叠加计算出单层均匀密绕载流直螺线管内轴线上一点的磁感强度。这种做法只能得到长直螺旋管轴线上磁场的磁感强度。要得到长直螺旋管内任意一点的磁感强度，需利用磁场安培环路定律[2]。如图1所示，设矩形环路abcd，根据对称性可知在ad和bc线段上磁场对环路无贡献；改变cd的位置（同时ad和bc线段的长度），使得cd与轴线重合。则可以推知载流长直螺线管内部磁感强度与位置无关（即均匀磁场）、磁感强度为B=μnI，进一步可证明载流长直螺线管外部的磁场为零。这种推导综合利用了毕奥-萨伐尔定律和安培环路定律以及对称性原理。

事实上，载流长直螺线管内外任意一点的磁场可直接从毕奥-萨伐尔定律求解，相对于如上所示的做法更加直观。本文从毕奥-萨伐尔定律出发，先计算单匝载流圆线圈在其周围任一点所产生的磁感强度；再根据这一结论，利用等效电流叠加求出单层均匀密绕载流长直螺线管内外任一点的磁感强度。

一、载流圆线圈的磁场

图2 单匝载流圆线圈与坐标关系

首先考察单匝载流圆线圈在其周围空间任一点激发的磁场。设有单匝载流圆线圈，其半径为R，通有电流I，计算在其周围任一点所产生的磁感强度。如图2（a）所示，选取坐标，在载流圆线圈A点处，取一电流元Id■，考察它在其周围任一点P所产生的磁感强度。图2（b）为其侧视图，■l为电流元单位矢量。取A点位置为（xA，yA，zA），P点位置为（xP，yP，0）。则任意电流元：

Id■=IRdθ■l=IRdθ（-sinθ■+cosθ■） （1）

其中：

xA=Rcosθ xP=rP cosφ （2）

yA=Rsinθ yP=rP sinφ

■=■=（xP-xA）■+（yP-yA）■-zA■（3）

根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Id■在P点产生的磁场[3]：

d■=■■ （4）

d■=■dθ■

=■dθ■ （5）

则载流圆线圈在P点产生的总磁场为：

■=■d■=■■dθ■ （6）

其中，

r=AP=■ （7）

（6）式即为单匝载流圆线圈在其周围任一点所产生的总磁场。

二、载流长直螺线管的磁场

下面根据此式并利用等效电流叠加求出载流长直螺线管内外任一点的磁场。

对于载流长直螺线管，其剖面图如图3所示，在螺线管上沿轴向任取一小段dZA，那么这一小段上的线圈相当于电流为IndZA的一载流圆线圈，其中I为通电电流、n为单位长度的匝数。根据（6）式可知，这一等效载流圆线圈在任一点P所产生的磁感强度为

d■=■dZA■dθ■ （8）

图3 长直螺旋管剖面图

因此整个载流长直螺线管在任一点P所产生的总磁感强度可以通过对dzA在无穷长区间积分得到：

■=■d■=■■dzA■dθ■

=■■dθ-■+■■dzA

=■■■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■（9）

根据2（a），P和C点都在oxy平面内，存在几何关系

h=PC=■

sinα=■

zA=-hcotα （10）

对（10）式中最后一个等式的两边微分：

dzA=hcsc2 αdα （11）

将上式代入（9）式可得

■=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■

=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■

=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）h-2■sin αdα

=■■·■■dθ （12）

在以上推导过程中，没有对P点的位置做任何约束，P点可以是长直螺旋管内部任意一点（对应rP=■）R）。（12）式对P点磁感强度的求解最终转化为一个积分问题（有关推导请见附录）。

（a）当rP

（13）

（b）当rP>R时：■■dθ=0，■=0 （14）

（c）当rP=R时：■■dθ=π，■=μ0n I■/2

（15）

上述三种情况中，第一种情况对应了长直螺旋管内部任意一点的磁场，第二种情况对应长直螺旋管外部任意一点的磁场，而第三种情况计算的是螺线管的管面电流层中心位置的磁场。通常情况下所谓的载流长直螺线管是指该螺线管可视为“无限长”亦即螺线管的长度远大于其直径且单层均匀密绕载流螺线管厚度可以忽略不计的这样一个物理模型。而实际上不存在“无限长”且厚度可忽略的理想情况，但在研究物理问题的时候，可作近似处理，把它抽象为一理想载流长直螺线管模型。因此，一般情况下（15）式对考察载流长直螺线管的磁场没有物理意义，可舍弃。但是，从物理意义上来讲，当载流长直螺线管的电流层厚度必须考虑时，电流层中的磁场将从螺旋管内部的μ0n I逐渐降低到外部的零。从以上理论计算可见，从毕奥-萨伐尔定律出发，先计算出单匝载流园线圈在其周围任一点所产生的磁感强度，再根据这一结论，利用等效电流叠加求出载流长直螺线管内任一点的磁感强度为μ0n I，载流长螺线管外部磁感强度是零。与一般大学物理教材中利用磁场中的安培环路定律来求得的结果是一样的。

参考文献：

[1]程守珠，江之永.普通物理学上册（第六版）[M].北京高等教育出版社，2006：343—344.

[2]程守珠，江之永.普通物理学上册（第六版）.北京：高等教育出版社，2006：351—352.

[3]王少杰，顾牡，毛俊健.大学物理上册第二版[M].同济大学出版社，2002：222.

附录 公式（12）中积分式的推导

利用公式（2）和rP=■），积分式做如下变换：

■■dθ=■■dθ

（F1）

设r=rP/R和φ=θ-φ，则可进一步得到：

■■dθ=■■dφ

=π+■■■dφ （F2）

当r=1时：

■■dφ=■■dφ

=■■dφ=π （F3）

当r≠1时，存在：

■■dφ=2■■d■

2■■dβ

=4■■dβ

=■■■■d■tanβ （F4）

令t=■tanβ，则有

■■■■d■tanβ

=■■■■dt=■■■=■（F5）

因此：

■■dθ=π1+■=2π r<10 r>1 （F6）

综合（F3）和（F6）有：

■■dθ=2π r<1π r=10 r>1 （F7）

所以，（a）当r<1，即rP

■■dθ=2π，■=μ0n I■（F8）

（b）当r>1，即rP>R，亦即在载流长直螺线管外部任一点：

■■dθ=0，■=0 （F9）

（c）当r=1，即rP=R时，在电流层中心位置：

■■dθ=■■dθ=■■dθ=π，■=μ0n I■/2 （F10）

基金项目：上海市大学物理精品课程建设资助项目。

作者简介：梁丽萍（1963-），女，湖南会同人，理学硕士，上海理工大学《大学物理》课程骨干讲师，主要从事大学物理等教学，以及光学、凝聚态物理等研究。

摘要：本文从毕奥—萨伐尔定律出发，先求出单匝载流圆线圈周围任一点的磁感强度，再根据这一结论，利用等效电流叠加计算了载流长直螺线管内任一点的磁感强度；同时从理论上证明了载流长直螺线管外部磁长是零的结论。

关键词：长直螺线管；磁感强度；毕奥—萨伐尔定律

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）18-0106-03

在许多大学物理教材中，关于单层均匀密绕载流长直螺线管（以下简称载流长直螺线管）的磁场[1]，一般是先利用毕奥-萨伐尔定律计算出单匝载流园线圈轴线上一点的磁感强度，再根据这一结论，利用等效电流叠加计算出单层均匀密绕载流直螺线管内轴线上一点的磁感强度。这种做法只能得到长直螺旋管轴线上磁场的磁感强度。要得到长直螺旋管内任意一点的磁感强度，需利用磁场安培环路定律[2]。如图1所示，设矩形环路abcd，根据对称性可知在ad和bc线段上磁场对环路无贡献；改变cd的位置（同时ad和bc线段的长度），使得cd与轴线重合。则可以推知载流长直螺线管内部磁感强度与位置无关（即均匀磁场）、磁感强度为B=μnI，进一步可证明载流长直螺线管外部的磁场为零。这种推导综合利用了毕奥-萨伐尔定律和安培环路定律以及对称性原理。

事实上，载流长直螺线管内外任意一点的磁场可直接从毕奥-萨伐尔定律求解，相对于如上所示的做法更加直观。本文从毕奥-萨伐尔定律出发，先计算单匝载流圆线圈在其周围任一点所产生的磁感强度；再根据这一结论，利用等效电流叠加求出单层均匀密绕载流长直螺线管内外任一点的磁感强度。

一、载流圆线圈的磁场

图2 单匝载流圆线圈与坐标关系

首先考察单匝载流圆线圈在其周围空间任一点激发的磁场。设有单匝载流圆线圈，其半径为R，通有电流I，计算在其周围任一点所产生的磁感强度。如图2（a）所示，选取坐标，在载流圆线圈A点处，取一电流元Id■，考察它在其周围任一点P所产生的磁感强度。图2（b）为其侧视图，■l为电流元单位矢量。取A点位置为（xA，yA，zA），P点位置为（xP，yP，0）。则任意电流元：

Id■=IRdθ■l=IRdθ（-sinθ■+cosθ■） （1）

其中：

xA=Rcosθ xP=rP cosφ （2）

yA=Rsinθ yP=rP sinφ

■=■=（xP-xA）■+（yP-yA）■-zA■（3）

根据毕奥-萨伐尔定律，电流元Id■在P点产生的磁场[3]：

d■=■■ （4）

d■=■dθ■

=■dθ■ （5）

则载流圆线圈在P点产生的总磁场为：

■=■d■=■■dθ■ （6）

其中，

r=AP=■ （7）

（6）式即为单匝载流圆线圈在其周围任一点所产生的总磁场。

二、载流长直螺线管的磁场

下面根据此式并利用等效电流叠加求出载流长直螺线管内外任一点的磁场。

对于载流长直螺线管，其剖面图如图3所示，在螺线管上沿轴向任取一小段dZA，那么这一小段上的线圈相当于电流为IndZA的一载流圆线圈，其中I为通电电流、n为单位长度的匝数。根据（6）式可知，这一等效载流圆线圈在任一点P所产生的磁感强度为

d■=■dZA■dθ■ （8）

图3 长直螺旋管剖面图

因此整个载流长直螺线管在任一点P所产生的总磁感强度可以通过对dzA在无穷长区间积分得到：

■=■d■=■■dzA■dθ■

=■■dθ-■+■■dzA

=■■■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■（9）

根据2（a），P和C点都在oxy平面内，存在几何关系

h=PC=■

sinα=■

zA=-hcotα （10）

对（10）式中最后一个等式的两边微分：

dzA=hcsc2 αdα （11）

将上式代入（9）式可得

■=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■

=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）■■

=■■·■dθ（R2-xAxP-yAyP）h-2■sin αdα

=■■·■■dθ （12）

在以上推导过程中，没有对P点的位置做任何约束，P点可以是长直螺旋管内部任意一点（对应rP=■）R）。（12）式对P点磁感强度的求解最终转化为一个积分问题（有关推导请见附录）。

（a）当rP

（13）

（b）当rP>R时：■■dθ=0，■=0 （14）

（c）当rP=R时：■■dθ=π，■=μ0n I■/2

（15）

上述三种情况中，第一种情况对应了长直螺旋管内部任意一点的磁场，第二种情况对应长直螺旋管外部任意一点的磁场，而第三种情况计算的是螺线管的管面电流层中心位置的磁场。通常情况下所谓的载流长直螺线管是指该螺线管可视为“无限长”亦即螺线管的长度远大于其直径且单层均匀密绕载流螺线管厚度可以忽略不计的这样一个物理模型。而实际上不存在“无限长”且厚度可忽略的理想情况，但在研究物理问题的时候，可作近似处理，把它抽象为一理想载流长直螺线管模型。因此，一般情况下（15）式对考察载流长直螺线管的磁场没有物理意义，可舍弃。但是，从物理意义上来讲，当载流长直螺线管的电流层厚度必须考虑时，电流层中的磁场将从螺旋管内部的μ0n I逐渐降低到外部的零。从以上理论计算可见，从毕奥-萨伐尔定律出发，先计算出单匝载流园线圈在其周围任一点所产生的磁感强度，再根据这一结论，利用等效电流叠加求出载流长直螺线管内任一点的磁感强度为μ0n I，载流长螺线管外部磁感强度是零。与一般大学物理教材中利用磁场中的安培环路定律来求得的结果是一样的。

参考文献：

[1]程守珠，江之永.普通物理学上册（第六版）[M].北京高等教育出版社，2006：343—344.

[2]程守珠，江之永.普通物理学上册（第六版）.北京：高等教育出版社，2006：351—352.

[3]王少杰，顾牡，毛俊健.大学物理上册第二版[M].同济大学出版社，2002：222.

附录 公式（12）中积分式的推导

利用公式（2）和rP=■），积分式做如下变换：

■■dθ=■■dθ

（F1）

设r=rP/R和φ=θ-φ，则可进一步得到：

■■dθ=■■dφ

=π+■■■dφ （F2）

当r=1时：

■■dφ=■■dφ

=■■dφ=π （F3）

当r≠1时，存在：

■■dφ=2■■d■

2■■dβ

=4■■dβ

=■■■■d■tanβ （F4）

令t=■tanβ，则有

■■■■d■tanβ

=■■■■dt=■■■=■（F5）

因此：

■■dθ=π1+■=2π r<10 r>1 （F6）

综合（F3）和（F6）有：

■■dθ=2π r<1π r=10 r>1 （F7）

所以，（a）当r<1，即rP

■■dθ=2π，■=μ0n I■（F8）

（b）当r>1，即rP>R，亦即在载流长直螺线管外部任一点：

■■dθ=0，■=0 （F9）

（c）当r=1，即rP=R时，在电流层中心位置：

■■dθ=■■dθ=■■dθ=π，■=μ0n I■/2 （F10）

基金项目：上海市大学物理精品课程建设资助项目。

作者简介：梁丽萍（1963-），女，湖南会同人，理学硕士，上海理工大学《大学物理》课程骨干讲师，主要从事大学物理等教学，以及光学、凝聚态物理等研究。